Как решать системы дифференциальных уравнений в mathcad

Возвращает матрицу [xpts x tpts] , содержащую решения одномерного дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП), в pde_func . Каждый столбец представляет решение в одномерном пространстве в одном интервале времени. Для системы уравнений решение по каждой функции дополняется горизонтально так, что матрица всегда имеет xpts строк и tpts * (num_pde + num_pae) столбцов. Решение находится с использованием численного метода линий.

• x_endpts, t_endpts — двухэлементные векторы-столбцы, задающие действительные конечные точки областей интегрирования.

• xpts, tpts — целые числа, соответствующие количеству точек в областях интегрирования, в которых требуется выполнять аппроксимацию решения.

• num_pde, num_pae — целые числа, обозначающие соответственно количество дифференциальных и алгебраических уравнений в частных производных. Аргумент num_pde должен быть как минимум 1, num_pae может быть 0 или больше.

• Функция pde_func является векторной функцией x , t , u , u x и u xx длины ( num_pde + num_pae ). Она содержит правые части дифференциальных и алгебраических уравнений в частных производных и предполагается, что все левые части равны u t . Предполагается, что решение, u , является вектором функций.

При работе с системой ДУЧП каждая переменная u в каждой строке pde_func определяется индексом с использованием оператора элемента в матрице, а также с использованием оператора индекса в имени переменной или функции. Например, u[0 обозначает первую функцию в системе, а ux[1 обозначает первую производную второй функции в системе.

• pinit является векторной функцией x длины ( num_pde + num_pae ), содержащей начальные условия для всех функций системы.

Как решать системы уравнений в mathcad

Дифференциальные уравнения являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные уравнения — это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение — значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ с помощью MathCAD:

— задачи Коши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения;

— краевые задачи, для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Из дифференциальных уравнений в частных производных есть возможность решать только уравнения с двумя независимыми переменными: одномерные параболические и гиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии, волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения (уравнения Пуассона и Лапласа).

В MathCAD нет универсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть около двадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий и методов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).

Решение уравнений и систем

Для численного поиска корней уравнения в программе MathCad используется функция root. Она служит для решения уравнений вида f(x) = 0, где f (х) — выражение, корни которого нужно найти, a x — неизвестное. Для поиска корней с помощью функции root, надо присвоить искомой переменной начальное значение, а затем вычислить корень при помощи вызова функции: root (f(x),x). Здесь f(x) — функция переменной х, используемой в качестве второго параметра. Функция root возвращает значение независимой переменной, обращающее функцию f(x) в 0. Например:

Решение уравнений и систем

Рисунок 3 — Решение уравнений и систем

Если уравнение имеет несколько корней (как в данном примере), то результат, выдаваемый функцией root, зависит от выбранного начального приближения. Если надо решить систему уравнений (неравенств), используют так называемый блок решения, который начинается с ключевого слова given(дано) и заканчивается вызовом функции find(найти). Между ними располагают «логические утверждения», задающие ограничения на значения искомых величин, иными словами, уравнения и неравенства. Всем переменным, используемым для обозначения неизвестных величин, должны быть заранее присвоены начальные значения.

Чтобы записать уравнение, в котором утверждается, что левая и правая части равны, используется знак логического равенства — кнопка BooleanEquals (Логически равно) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Другие знаки логических условий также можно найти на этой панели. Заканчивается блок решения вызовом функции find, у которой в качестве аргументов должны быть перечислены искомые величины. Эта функция возвращает вектор, содержащий вычисленные значения неизвестных.

Работа с массивами

Одна из задач ЭВМ — автоматизация труда, повышение эффективности научных исследований. Основная особенность ЭВМ — ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К подобным пакетам относится MATHCAD.

MATHCAD — универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета — естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи.

Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

Цель работы: изучение выполнения основных операций с массивами, решения систем линейных и нелинейных уравнений в Mathcad.

Ранжированные переменные

В математике часто возникает необходимость в задании некоторого ряда значений. Например, при вычислении нужно сформировать ряд чисел от 1 до N с шагом 1 и перемножить их. Для создания таких рядов в Mathcad используются ранжированные переменные . В простом случае для создания ранжированной переменной используется выражение

Name:=Nbegin…Nend,

Где Name – имя переменной, Nbegin – начальное значение переменной, Nend – ее конечное значение. Символ «…» (он вводится с клавиатуры знаком точка с запятой «;») указывает на изменение переменной в заданных границах. Если Nbegin то шаг изменения переменной будет равен +1, в противном случае –1. Например, выражение a:=1…10 описывает ранжированную переменную a со значениями от 1 до 10.

Для создания ранжированной переменной общего вида используется выражение

Name:=Nbegin, (Nbegin+Step)…Nend,

где Step — заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin и отрицательным в противном случае).

Например, выражение a:=1, 1.5, …10 описывает ранжированную переменную a со значениями от 1 до 10 с шагом 0,5.

Ранжированные переменные широко применяются для представления функций в виде таблиц вывода , а также для построения их графиков.

Если после некоторого выражения с ранжированной переменной поставить знак равенства, то после щелчка мышью на экране будет выведена таблица значений этого выражения. Такие таблицы называются таблицами вывода .

Необходимо учитывать следующее свойство таблиц вывода: если количество значений ранжированной переменной и, соответственно, строк в таблице вывода больше 16, то выводятся первые 16 строк. Если указатель мыши находится в пределах таблицы, то щелчок левой кнопкой мыши приводит к появлению вертикальной полосы прокрутки, позволяющей просмотреть все строки таблицы.

Помните, что задание ранжированных переменных эквивалентно заданию конечных циклов.

Примеры использования ранжированных переменных приведены на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Примеры использования ранжированных переменных

Работа с массивами

Ранжированная переменная отличается от вектора (одномерного массива) тем, что невозможно использование ее отдельных значений. При необходимости иметь доступ к каждому значению переменной со многими компонентами она должна быть задана в виде одномерного (вектора) и двумерного (матрицы) массива.

Местоположение элемента массива задается одним индексом для вектора и двумя для матрицы. Индексы могут быть только положительными целыми числами . Для ввода индекса используется знак « [ » – прямая открывающая скобка.

Для задания массивов можно либо воспользоваться командой Matrices меню Math, либо нажать комбинацию клавиш Ctrl+V , либо щелкнуть на значке с изображением шаблона матрицы. Любое из этих действий вызывает появление диалогового окна, в котором надо указать количество строк m и столбцов n в массиве. При m=1 получим вектор-столбец, а при n=1 – вектор-строку.

В отношении массивов действуют те же правила присваивания и вывода, что и для обычных переменных. В частности, с помощью оператора присваивания можно создать массив заданного размера и заданного типа без ручного заполнения шаблона (рисунок 2.1.).

Рис. 2.1 Пример создания матриц без использования шаблонов матриц

Для работы с массивами Mathcad содержит ряд операторов и функций. Ниже представлены операторы для работы с векторами и матрицами. В таблице используются следующие обозначения: V – для векторов, M – для матриц, Z – для скалярных величин.

Компьютерные сети

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет рядвстроенных функций:

rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методомРунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.

y – вектор начальных условий из k элементов (k – количество уравнений в системе);

x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системыОДУ;

p –число точек внутри интервала (x1, x2) , в которых ищется решение;

D –вектор, состоящий из k- элементов, который содержит первуюпроизводную искомой функции или первые производные искомых функций, если речьидет о решении системы.

Результатом работыфункции является матрицаиз p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, вкоторых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

При решении дифференциального уравнения первогопорядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y 1 ,который затем используется при формировании вектора-функции правой частидифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y , границыинтервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количествоточек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую частьдифференциального уравнения – D . Врезультате получается матрица z , в первом столбце которой содержатся значенияаргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции.При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указываетсякак аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужносоздать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v , который затем используется при формированиивектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении кфункции rkfixed указывается имя вектора v , и границы интервала, на котором ищется решениеуравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100,вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица s , впервом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во второми третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значенииаргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцомполученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – какфункциями.

Для решения уравнения спомощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второгопорядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравненийприведен ниже.

Более полную информацию и примеры можно скачать сдесь

Мой блог находят по следующим фразам

Метки: MathCad, дифференциальных, Решение, систем, уравнений

Программирование

Уточнения, корректировки и обсуждения статьи «Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad» — под данным текстом, в комментариях.

Ответственность, за все изменения, внесённые в систему по советам данной статьи, Вы берёте на себя.

Похожие публикации:

Как добавить стикеры из telegram в whatsapp

Как задать кусочную функцию в matlab

Как закрасить круг в mathcad

Как запустить movie maker в windows 10

Как решать дифференциальные уравнения в wolfram mathematica

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Ключевые слова

Текст научной работы

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в [1-5].

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение y’=\frac

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

Читайте также

Зинина А.И.

Зинина А.И.

Зинина А.И.

Зинина А.И.

Зинина А.И.

Список литературы

Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.

Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.

Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.

Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.

Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.

Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.

Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Цитировать

Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 13.04.2022).

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Решение дифференциального уравнения — Wolfram Alpha vs Mathematica, разные результаты

Я решаю дифференциальное уравнение в Mathematica. Вот что я решаю:

Когда я использую Wolfram Alpha для его решения, он дает мне хорошее решение:

Но когда я использую Mathematica, решение длинное и уродливое:

(2 s (2 E^(((2 g s + u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/( 2 s) + ((-u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) g s — 2 E^(((-u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/( 2 s) + ((2 g s + u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) g s + E^(((2 g s + u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/( 2 s) + ((-u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) u — E^(((-u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/( 2 s) + ((2 g s + u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) u + E^(((2 g s + u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/( 2 s) + ((-u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) Sqrt[ 4 r s + u^2] + E^(((-u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/( 2 s) + ((2 g s + u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) Sqrt[ 4 r s + u^2]))/(Sqrt[ 4 r s + u^2] (-2 g s — u + Sqrt[4 r s + u^2]) (2 g s + u + Sqrt[4 r s + u^2])) + E^(((-u — Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) C[1] + E^(((-u + Sqrt[4 r s + u^2]) w)/(2 s)) C[2]>>

В общем, я бы хотел, чтобы Mathematica дал мне хорошее решение, как это делает Wolfram Alpha. Кто-нибудь знает, если мне не хватает и условия? Или я делаю что-то неправильно? Благодаря!

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Области прикладного применения систем компьютерной математики для численных и аналитических расчетов. Возможности программы Wolfram Mathematica. Примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений и геометрических задач в системе Wolfram Mathematica.

Рубрика Математика

Вид статья

Язык русский

Дата добавления 16.07.2018

Размер файла 274,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в [1-5].

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение .

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

компьютерный математика дифференциальный

1. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.

2. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.

3. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. — Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. — С. 76-77.

4. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. — Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.

5. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.

6. Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.

7. Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Деякі відомості математичного аналізу. Виховне значення самостійної навчальної роботи. Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп’ютерної математики. Відомості про систему Wolfram Mathematica. Обчислення границь функції, похідних та інтегралів.

курсовая работа [1,0 M], добавлен 10.05.2011

Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные — элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.

контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016

Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера — системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.

лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012

Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.

курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011

Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.

курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009

Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Области прикладного применения систем компьютерной математики для численных и аналитических расчетов. Возможности программы Wolfram Mathematica. Примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений и геометрических задач в системе Wolfram Mathematica.

Подобные документы

Изучение методов решения систем линейных и нелинейных уравнений. Постановка краевых задач. Приближенное вычисление обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений c частными производными. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.

учебное пособие, добавлен 16.05.2010

Задача Коши в разделе численных методов решения дифференциальных уравнений. Возможность применения переменного шага. Малая погрешность при решении методом Рунге-Кутта. Анализ причин получаемых неприятностей при численном решении конкретных задач.

статья, добавлен 26.10.2010

Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ погрешности, основные достоинства и недостатки метода Адамса решения дифференциальных уравнений.

курсовая работа, добавлен 11.06.2014

Сущность обыкновенных дифференциальных уравнений, описание их общего вида и основные правила решения. Понятие условия Коши, его применение. Роль дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Порядок нахождения уравнения кривой, основные методы.

курсовая работа, добавлен 25.11.2013

Классификация методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие понятия теории многошаговых методов. Явные и неявные формулы Милна. Практические способы оценки погрешности приближенного решения. Автоматический выбор шага интегрирования.

контрольная работа, добавлен 02.12.2012

История развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений, их значение для решения задач механики. Дифференциальные уравнения первого и высшего порядков, их нормальные системы. Задачи, приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений.

учебное пособие, добавлен 30.09.2014

Сведение краевой задачи к задаче Коши. Поиск параметрического семейства решений для системы уравнений. Понятие уравнения «сшивания». Метод стрельбы для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация метода.

курсовая работа, добавлен 22.04.2011

Предложение эффективного численного метода решения линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Изложение свойстве составной кинематической кривой. Рассмотрение примеров решения краевых задач линейного уравнения.

статья, добавлен 27.05.2018

Изучение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений с частными производными. Алгоритмы методов численного решения систем нелинейных уравнений, согласно которым произведен поиск корней типовой для прикладных задач системы.

статья, добавлен 07.08.2020

Анализ систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрение системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими функциями в комплексной области. Области притяжения вырожденной системы.

Похожие публикации:

Как работать в mathcad prime

Как разложить функцию в ряд тейлора в mathcad

Как решать уравнения в mathcad prime

Как сделать gif в maple

Как решаются системы линейных алгебраических уравнений в среде mathcad

Решение в пакете Mathcad систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами методом Гаусса

В системе Mathcad возможно решение систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Любое выражение, начинающееся с цифры, Mathcad интерпретирует как число. Большинство операций в среде Mathcad по умолчанию осуществляется над комплексными числами. В Mathcad комплексное число представляется в алгебраической форме. Чтобы ввести комплексное число следует в начале ввести действительную часть комплексного числа, затем знак + или — , коэффициент перед мнимой частью (это может быть любое действительное число), а затем символ . Для ввода мнимой единицы надо нажать клавиши ,. Комплексное число можно ввести в виде обычной суммы действительной и мнимой частей или в виде выражения, содержащего мнимое число. В Mathcadе используют две встроенные константы, обозначающие мнимую единицу .

Из курса линейной алгебры известно, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет единственное решение, если ее матрица коэффициентов является невырожденной. Самый простой способ решения таких систем — использование алгоритма Гаусса, реализованного во встроенной функции Lsolve.

Для применения этого способа необходимо, чтобы СЛАУ была записана в матричной форме.

Для обращения к функции нужно указать два аргумента: . В функции Lsolve запрограммирован численный метод LU-разложения, основанный на алгоритме последовательных исключений Гаусса. Суть его состоит в преобразовании матрицы коэффициентов к верхнему треугольному виду, т.е. к форме, когда все элементы ниже главной диагонали матрицы являются нулевыми. Результат, выдаваемый методом Гаусса, является точным.

Расширенная матрица коэффициентов принимает вид:

Mathcad- программа решения систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами

В результате получили , что значения контурных токов, найденные с помощью Excel программы совпадают со значения, найденными в Mathcad программе.

Решение в пакете Mathcad систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Краткие теоретические сведения

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений используются для расчета переходных процессов в электроэнергетических системах. Рекомендуемый численный метод расчета переходного процесса — метод Рунге-Кутта. Все изложение ведется под реализацию этого метода.

В качестве исходных данных задачи имеем:

1. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, описывающую переходный процесс в электроэнергетической системе.

2. Начальные условия Коши. Под начальными условиями Коши понимают значения искомых переменных при .

3. Интервал интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Переходные процессы в линейных электрических цепях обычно являются быстропротекающими, длительность их составляет десятые, сотые доли секунды.

Должен быть задан шаг интегрирования . В Mathcad имеется несколько встроенных функций, которые позволяют решать задачу Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

· — метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом ;

· — метод Рунге-Кутта с переменным шагом ;

У этих функций следующие аргументы:

-вектор начальных значений в точке размерностью ,

— начальная точка расчета,

— конечная точка расчета,

— число шагов, на которых численный метод находит решение, эта переменная однозначно определяет шаг интегрирования, он равен длине отрезка интегрирования , деленному на число , чем больше число , тем точнее найденное решение,

— векторная функция размера двух аргументов — скалярного и векторного . При этом — искомая векторная функция аргумента того же

Средства MathCad для решения систем линейных уравнений

В пакете MathCad системы линейных уравнений (СЛУ) решаются аналогично системам нелинейных уравнений, то есть с использованием вычислительного блока Given и функции Find или Minerr.

Однако в том случае, когда система линейных уравнений невырожденная, то есть ее определитель отличен от нуля, более изящным (хотя и не самым эффективным с точки зрения вычислительной математики) является матричный способ решения. Для этого в начале задается матрица коэффициентов системы и вектор свободных членов, а решение находится путем умножения столбца свободных членов b на матрицу, обратную a.

В современных версиях MathCad сразу после задания матриц коэффициентов и свободных членов решение может быть получено с помощью функцией lsolve:

Средства MathCad для приближенного описания функций

На практике часто возникает задача замены последовательности данных, полученных в ходе эксперимента, приближенной функцией, которую можно использовать в дальнейших расчетах. Такая функция называется аппроксимирующей. Для этой цели в MathCad имеются встроенные функции двух видов: позволяющие увидеть аналитическую зависимость, то есть возвращающие набор аппроксимирующих коэффициентов и не позволяющие увидеть аналитическую зависимость, а позволяющие получить только значения функции в промежуточных точках.

Если аппроксимирующая кривая должна проходить через все экспериментальные точки, то операция получения промежуточных точек и расчетной функции называется интерполяцией. В MathCad имеется несколько функций интерполяции, различающихся способом «соединения» точек (прямой линией или различными кривыми).

Пусть значения функции, полученные в ходе эксперимента, представлены в виде:

X 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

y(x) -0.085 -0.462 0.128 3.546 2.654

Выполним линейную интерполяцию данных (экспериментальные точки соединяются отрезками прямой) с использованием функции linterp(x, y, t), где x – вектор значений аргументов, y – вектор значений функции и t – текущее значение аргумента, при котором вычисляется значение функции.

Теперь, используя те же экспериментальные данные, применим кубическую сплайн-интерполяцию, при которой экспериментальные точки соединяются отрезками кубических полиномов. Для этого одновременно используются две функции: interp(s,x,y,t) и cspline(x,y), где x – вектор значений аргументов, y – вектор значений функции, s – вектор вторых производных, создаваемый функцией cspline, t – аргумент интерполирующей функции.

Следующий пример иллюстрирует интерполяцию таблично заданной функции по методу Лагранжа.

Если аппроксимирующая кривая, заменяющая исходную функцию, не обязательно должна проходить через все экспериментальные точки, а служит усреднением исходных данных, то операция получения промежуточных точек и расчетной функции называется регрессией. В приведенном ниже примере рассмотрено использование функции linfit(x,y,f), где x, y — соответственно вектора значений аргументов и функции, а f – символьный вектор коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов. Использование этой функции позволяет определить невязку (среднеквадратическую погрешность) приближения исходных точек к аппроксимирующей функции ( ). Степень аппроксимирующего многочлена задается при описании символьного вектора f. Вектор s – является вектором коэффициентов аппроксимирующей функции, что позволяет получить приближенное выражение таблично заданной функции. В примере представлена аппроксимация таблично заданной функции многочленом 1-й и 2-й степени.

Линейная аппроксимация Квадратичная аппроксимация Графики функций Оценка погрешности — среднеквадратическое отклонение

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 225 ; Мы поможем в написании вашей работы!

32. Решение систем линейных алгебраических уравнений в mathcad методом обратной матрицы и с использованием специальной функции.

33. Решение систем линейных алгебраических уравнений в MATHCAD в блоке GIVEN.

1) Метод обратной матрицы

-записываем матрицу коэффициентов

запишем вектор столбец свободных значений

Похожие публикации:

Где купить технику siemens

Как убрать уведомление о текущей сессии от whatsapp web на iphone

Как установить vk me ios

Чем заклеить бензобак луаз