Как найти определитель матрицы в maple

Лекция 10. Пакеты для математической обработки данных.Maple. Матрицы и графики

План

Работа с массивами.
Графики и анимация.
Использование пакета для решения задач экономического профиля.

Работа с массивами

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командойwith(linalg). Способы задания векторов Для определения вектора в Mapleиспользуется командаvector([x1,x2,…,xn]),где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора. Например: >x:=vector([1,0,0]);x:=[1, 0, 0] Координату уже определенного вектора xможно получить в строке вывода, если ввести командуx[i], гдеi номер координаты. Например, первую координату заданного в предыдущем примере вектора можно вывести так: >x[1]; 1 Сложение векторов Сложить два вектора aиbможно с помощью двух команд: 1) evalm(a+b); 2) matadd(a,b).Скалярное, векторное произведение векторов и угол между векторами Скалярное произведение двух векторов вычисляется командойdotprod(a,b). Векторное произведение двух векторов вычисляется командойcrossprod(a,b). Угол между двумя векторами aиbвычисляется с помощью командыangle(a,b). Норма вектора Норму (длину) вектора , которая равна, можно вычислить с помощью командыnorm(а,2). Можно нормировать вектор ас помощью командыnormalize(a),в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины. Примеры 1. Даны два вектора: и. Найтии угол междуaиb. Для решения этой задачи наберите: > with(linalg): > a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]); a:=[2,1,3,2] b:=[1,2,-2,1] > dotprod(a,b); 0 > phi=angle(a,b); 2. Найти векторное произведение , а затем скалярное произведение, где,. > restart; with(linalg): > a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]); a:=[2, 2,1] b:=[2,3,6] >c:=crossprod(a,b);c:=[ 15, 10,10] >dotprod(a,c); 0 3. Найти норму вектора . >restart; with(linalg): >a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);Определение матрицы Для определения матрицы в Maple можно использовать командуmatrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]),гдеn число строк,m– число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например: >A:=matrix([[1,2,3],[-3,-2,-1]]);В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например: >J:=diag(1,2,3);Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n,m,f), где где n — число строк, m – число столбцов. Например: >f:=(i, j)->x^i*y^j;>A:=matrix(2,3,f);Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A). Арифметические операции с матрицами Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

evalm(A&*B);
multiply(A,B).

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например: >A:=matrix([[1,0],[0,-1]]); >B:=matrix([[-5,1], [7,4]]);>v:=vector([2,4]);>multiply(A,v);>multiply(A,B);>matadd(A,B);Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например: >С:=matrix([[1,1],[2,3]]): >evalm(2+3*С);Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы. Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой minor(A,i,j). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A). >A:=matrix([[4,0,5],[0,1,-6],[3,0,4]]);>det(A); 1 >minor(А,3,2);>det(%); -24 >trace(A); 9 Обратная и транспонированная матрицы Обратную матрицу А 1 , такую что А 1 А=АА 1 =Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

15.02.2016 159.74 Кб 46 L12_SQL.doc

15.02.2016 280.06 Кб 57 L13_MnogopolzBD.doc

15.02.2016 119.3 Кб 207 L14_Administryr.doc

15.02.2016 223.23 Кб 56 L14_Maple1.doc

15.02.2016 144.9 Кб 37 L15_IscIntellect.doc

15.02.2016 238.08 Кб 47 L15_Maple2.doc

15.02.2016 156.67 Кб 42 L9_EconInform.doc

26.04.2019 4.67 Mб 6 lekcii.doc

15.02.2016 1.64 Mб 135 Lektsii_logistika_2011_r_4.doc

15.02.2016 7.15 Mб 1008 levkovich_o_a_burceva_i_n_buhgalterskiy_uchet.pdf

15.02.2016 1.17 Mб 23 LR_Access2007.pdf

Ограничение

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Определитель матрицы.

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.
Определителем матрицы n × n будет число:

det(A) =	Σ	(-1) N( α ₁, α ₂. α_n ) · a _{α ₁1}· a _{α ₂2}·. · a _{α_nn}
( α ₁, α ₂. α_n )

где ( α ₁, α ₂. α_n ) — перестановка чисел от 1 до n , N( α ₁, α ₂. α_n ) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .
Обозначение
Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1
Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.
При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(A T )
Определитель обратной матрицы: det(A -1 ) = det(A) -1

Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

Если квадратная матрица n -того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n -той степени: B = k ·A => det(B) = k n ·det(A) где A матрица n × n , k — число.

Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B)

Научный форум dxdy

Задал матрицу, комп ее выводит. Пишу det(m); он выводит det(изображение матрицы).Как задать вычисление значения определителя?

Re: вычислить определитель в maple
04.11.2010, 12:38
with(linalg);

Откройте для себя F1
Re: вычислить определитель в maple
11.11.2010, 22:17

linalg устарел. Надо пользоваться LinearAlgebra. Он круче, потому что команды в пять раз длиннее: Determinant(m). Зато можно заалиасить: alias(det=Determinant).

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 3 ]

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Как найти определитель матрицы в maple

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами.

Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD.

Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания ( + ). Затем откройте панель операций с матрицами и нажмите кнопку «Создать матрицу или вектор» или выберите в меню Вставка (Insert) команду Матрицу (Matix) . В окне диалога введите число строк и столбцов и заполните значениями поле ввода матрицы.

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнять тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

За кнопками на панели инструментов Матрицы закреплены следующие функции:

· определение размеров матрицы

· X n – ввод нижнего индекса

· |X| — вычисление определителя матрицы: ; вычисление длины вектора

· поэлементные операции с матрицами: если , то

· M <> – определение столбца матрицы: M — j-й столбец матрицы

· M T – транспонирование матрицы:

· — вычисление скалярного произведения векторов:

· — вычисление векторного произведения двух векторов:

· — вычисление суммы компонент вектора: ;

· — определение диапазона изменения переменной

· визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, собраны в разделе Векторы и матрицы (Vector and Matrix) ; их можно разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

· matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i-ой строке, j-ом столбце, равен значению f(i,j) функции f(x,y);

· diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали хранятся в векторе v;

· identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

· augment(A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк);

· stack(A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число столбцов);

· submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc (ir + .

Варианты заданий.

Размерность матрицы А 3*4.

Размерность матрицы А 5*3.

Размерность матрицы А 4*4.

Размерность матрицы А 7*4.

Размерность матрицы А 7*8.

Размерность матрицы А 7*7.

Размерность матрицы А 7*8.

Размерность матрицы А 7*5.

Размерность матрицы А 5*7.

Размерность матрицы А 5*4.

Рассмотрим еще несколько исключительно важных действий линейной алгебры, связанных с понятием определителя матрицы. Несмотря на то, что некоторые из них реализованы в Mathcad также в виде операторов, они требуют (при проведении расчетов по численным алгоритмам) несравненно больше внимания, нежели операторы упомянутые в двух предыдущих разделах.

Определитель (Determinant ) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (листинг 7.14) или набрать на клавиатуре | (нажав клавиши SHIFT + \ ). В результате любого из этих действий появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу. Чтобы вычислить определитель уже введенной матрицы:

Переместите курсор в документе таким образом, чтобы поместить матрицу между линиями ввода (напоминаем, что линии ввода — это вертикальный и горизонтальный отрезки синего цвета, образующие уголок, указывающий на текущую область редактирования).
Введите оператор нахождения определителя матрицы.
Введите знак равенства (либо символьного вывода), чтобы вычислить определитель (численно или аналитически соответственно, как это показано в листинге 7.14).

Внимание!
Не путайте операторы вычисления определителя квадратной матрицы и длины вектора. В Matncad 12 введен принудительный контроль действий пользователя при вводе этих операторов во избежание путаницы (т. к. один и тот же символ используется для этих двух операций). При попытке вычислить определитель матрицы с помощью оператора |А| , введенного с панели Calculator (Калькулятор), а не Matrix (Матрица), будет выдано сообщение об ошибке, а результат вычисления детерминанта появится только после того, как пользователь вызовет контекстное меню и подтвердит в нем, что он собирается вычислить именно определитель матрицы. То же самое касается и длины вектора, если попытаться ввести его не с панели Calculator (Калькулятор), а с панели Matrix (Матрица) .

Массив — имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы), двумерные (матрицы).

Все встроенные средства пакета MathCAD, предназначенные для работы с матрицами собраны на Панели векторов и матриц (vector and matrix toolbar). Задавать матрицу можно либо вставив с панели матриц шаблон нужного размера и заполнив его числами, либо присваивая каждому элементу матрицы его значение (обычно это производится в цикле). Если элемент массива (матрицы) имеет несколько индексов (порядковый номер элемента), то они указываются через запятую. Для элементов матрицы первым идёт номер строки, вторым — номер столбца. Индексация массивов по умолчанию начинается с нуля, однако есть возможность управлять этим процессом. Номер первого элемента хранится в предопределённой переменной ORIGIN, значение которой можно менять. Встретив присвоение ORIGIN:=k, MathCAD будет все встречающиеся ниже массивы нумеровать, начиная с номера k. Любое обращение к элементу с меньшим номером будет вызывать сообщение об ошибке.

Для ввода матрицы (или вектора) требуется проделать следующую последовательность операций:

Задаём имя матрицы и вводим знак присваивания. Например, для задания матрицы А пишем А:. Получаем А:=;

С помощью команды Insert -> Matrix…, или комбинации клавиш Ctrl + M, или щелчком на кнопке панели Матрица, заполнив массив пустых полей для не слишком больших массивов.

Также векторы и матрицы можно задавать с использованием дискретного аргумента, когда имеется некоторая явная зависимость для вычисления элементов через их индексы.

Формирование вектора осуществляется аналогично.

Следует отметить второй вариант формирования матриц и векторов без обращения к окну работы с матрицами, а через переменные с индексами, например, Ai,j, Bi. Индекс к имени переменной припечатывается нажатием либо на кнопку Xn на панели математических инструментов, либо на клавишу [(открывающаяся квадратная скобка).

Операции с матрицами и векторами осуществляются по тем же правилам, что и для арифметических выражений.

ORIGIN:=1 определяем номер первого элемента

формируем матрицу А

формируем матрицу В

решаем матричное уравнение АХ=В

|A|=-2 находим определитель

ORIGIN:=0 определяем номер первого элемента

А0,0:=1 А0,1=1 формируем матрицу А

В0:=138 В1=540 формируем матрицу В

X:=lsole(A,B) решаем матричное уравнение АХ=В

Х0=63 Х1=75 вывод решения

Вычисления с векторами и матрицами.

Векторные матричные операторы.

Для работы с векторами и матрицами система MathCAD содержит ряд операторов и функций. Введём следующие обозначения: для векторов — V, для матриц — M, и для скалярных величин — Z.

Сложение двух векторов V1 и V2

Вычитание двух векторов V1и V2

Смена знака у элементов вектора V

Смена знака у элементов матрицы M

Вычитание из вектора V скаляра Z

Умножение вектора V на скаляр Z

Умножение двух векторов V1 и V2

Умножение матрицы M на вектор V

Умножение двух матриц M1 и M2

Деление вектора V на скаляр Z

Деление матрицы M на скаляр Z

Обращение матрицы M

Возведение матрицы M в степень n

Вычисление квадратного корня из мV

Вычисление определителя матрицы M

Транспонирование вектора V

Транспонирование матрицы M

Кросс — умножение двух векторов V1 и V2

Получение комплексно — сопряженного вектора

Получение комплексно — сопряженной матрицы

Вычисление суммы элементов вектора V

Векторизация вектора V

Векторизация матрицы M

Выделение n-го столбца матрицы M

Выделение n-го элемента вектора V

Выделение элемента (m, n) матрицы M

фильтр excel строка матрица

Под понятием “векторизация” подразумевается одновременное проведение математических операций в их скалярном значении над всеми элементами вектора или матрицы, помеченными векторизации. Это можно понимать и как возможность параллельных вычислений.

Если А и В — векторы, то А*В даёт скалярное произведение этих векторов. Но то же произведение под знаком векторизации создает новый вектор, каждый j-й элемент которого есть произведение j -х элементов векторов А и В. Векторизация позволяет использовать скалярные операторы и функции с массивами.

Векторные и матричные функции.

Существует также ряд встроенных векторных и матричных функций:

возвращает длину вектора

возвращает максимальный по значению элемент

возвращает минимальный по значению элемент

возвращает вектор действительных частей вектора с комплексными элементами

возвращает вектор мнимых частей вектора с комплексными элементами

полностью асимметричный тензор размерности три. i, j, k должны быть целыми числами от 0 до 2 (или между >ORIGIN и ORIGIN+2, если ORIGIN?0). Результат равен 0, если любые два аргумента равны, 1 — если три аргумента являются чётной перестановкой (0, 1, 2), и минус 1, если три аргумента являются перестановкой (0, 1, 2), кратной 2 и некратной 4

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций. Они перечислены ниже:

Объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк (объединение идёт “бок о бок”)

Создаёт единичную квадратную матрицу размером n*n

Объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число столбцов, располагая М1 над М2

Возвращает субматрицу, состоящую из всех элементов, содержащихся в строках от ir по jr и столбцов с ic по jc (irJjr и icJjc)

Создаёт диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой — вектор V

Матрицу, в которой (i,j)-й элемент содержит f(i,j), где i= 0, 1, …m и j=0, 1, …n

Возвращает матрицу действительных частей матрицы М с комплексными элементами

Возвращает матрицу мнимых частей матрицы М с комплексными элементами

Функции, возвращающие специальные характеристики матриц.

Специальные характеристики матриц возвращаются следующими функциями:

возвращает число столбцов матрицы М

возвращает число строк матрицы М

возвращает ранг матрицы М

возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М

возвращает среднее значение элементов массива М

возвращает медиану элементов массива М

возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L1

возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L2

Возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме евклидова пространства

Возвращает число обусловленности матрицы, основанное на равномерной норме

Возвращает L1, норму матрицы М

Возвращает L2, норму матрицы М

Возвращает евклидову норму матрицы М

Возвращает неопределённую норму матрицы М

Дополнительные матричные функции.

В профессиональные версии MathCAD включён ряд дополнительных матричных функций:

возвращает вектор, содержащий собственные значения матрицы М

для указанной матрицы М и заданного собственного значения Z возвращает принадлежащий этому собственному значению вектор

возвращает матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы М (порядок расположения собственных векторов соответствует порядку собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals)

возвращает вектор обобщенных собственных значений v, соответствующий решению уравнения M ? x = vi — N — x (матрицы М и N должны быть вещественными)

возвращает матрицу, столбцы которой содержат нормированные обобщенные собственные векторы

выполняет треугольное разложение матрицы М: P ? M = L ? U, L и U — соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы. Все четыре матрицы квадратные, одного порядка

дает разложение матрицы A, A=Q ? R, где Q — ортогональная матрица и > — верхняя треугольная матрица

дает сингулярное разложение матрицы А размером n?m: A=U ? S ·VT где и — ортогональные матрицы размером m·m и n·n соответственно, S — диагональная матрица, на диагонали которой расположены сингулярные числа матрицы А

возвращает вектор, содержащий сингулярные числа матрицы А размером m·n, где mі n

возвращает матрицу левую обратную к матрице А. L·A=E, где E — единичная матрица размером n·n, L — прямоугольная матрица размером n·m, A — прямоугольная матрица размером m·n

Функции сортировки для векторов и матриц.

Начиная с третьей версии, в системе MathCAD появились некоторые дополнительные функции сортировки — перестановки элементов векторов и матриц.

Рассмотрим простейшие операции матричной алгебры, реализованные в MathCAD в виде операторов, причем следует отметить, что их запись максимально приближена к математической форме записи. Наиболее часто используемые операции расположены на панели инструментов Матрица (Matrix) (рис. 14), остальные можно найти используя меню Вставка → Функция … категории функций Vector and Matrix .

Рис. 14. Панели инструментов Матрица и Логика

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности M ×N в матрицу размерности N ×M , делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Матрица (Matrix) или нажатием клавиш + . Не забывайте, что для вставки символа транспонирования матица должна находиться между линиями ввода.

Сложение и вычитание . В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы «+» или «-», соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Результат унарной операции смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того, чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом.

При умножении следует помнить, что матрицу размерности M ×N допустимо умножать только на матрицу размерности N ×P (P может быть любым). В результате получается матрица размерности M ×P .

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой или воспользоваться панелью инструментов Матрица (Matrix), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой.

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции:

· rows (A) — число строк;

· cols (A) — число столбцов;

· length(v) — число элементов вектора;

· last (v) — индекс последнего элемента вектора,

где A — матрица или вектор; v — вектор.

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно , где — угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение.

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом между ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v . Обозначают векторное произведение символом , который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Матрица (Matrix) или сочетанием клавиш + .

Определитель матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Матрица (Matrix) или набрать на клавиатуре (нажав клавиши + ).

Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k , для которого существует не равный нулю определитель k -го порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для определения ранга матрицы в MathCAD используется функция rank(A) , где А — матрица, ранг которой требуется найти.

Как известно, поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Инверсия (Inverse) на панели инструментов Матрица (Matrix).

В линейной алгебре используются различные векторные и матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. MathCAD имеет четыре встроенных функции для расчета разных норм квадратных матриц:

· norm1(A) — норма в пространстве L1;

· norm2 (А) — норма в пространстве L2;

· norme (A) — евклидова норма (euclidean norm);

· normi (A) — max-норма, или -норма (infinity norm):

где A — квадратная матрица.

Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

· sort(v) — сортировка элементов вектора в порядке возрастания;

· reverse (v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке;

· csort(A, i) — сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-столбца в порядке возрастания;

· rsort(A,i) — сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементе i-й строки в порядке возрастания, где v — вектор; А — матрица; i — индекс строки или столбца.

Примеры работы рассмотренных выше операторов представлены на рис. 15.

Для задания логических функций в MathCAD имеется панель инструментов Логические (Boolean) рис. 6.13. На ней расположены кнопки, отражающие отношения (=, >, + ). Затем откройте панель операций с матрицами и нажмите кнопку «Создать матрицу или вектор» или выберите в меню Вставка (Insert) команду Матрицу (Matix) . В окне диалога введите число строк и столбцов и заполните значениями поле ввода матрицы.

За кнопками на панели инструментов Матрицы закреплены следующие функции:

· определение размеров матрицы

· X n – ввод нижнего индекса

· X -1 – вычисление обратной матрицы

· |X| — вычисление определителя матрицы: ; вычисление длины вектора

· поэлементные операции с матрицами: если , то

· M <> – определение столбца матрицы: M — j-й столбец матрицы

· M T – транспонирование матрицы:

· — вычисление скалярного произведения векторов:

· — вычисление векторного произведения двух векторов:

· — вычисление суммы компонент вектора: ;

· — определение диапазона изменения переменной

· визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

· diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали хранятся в векторе v;

· identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

Вычислить определитель матрицы онлайн с решением подробно. Методы вычисления определителей. Бесплатный онлайн калькулятор

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду . Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу .
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы порядка , называется число

где — определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина «определитель» используется также термин «детерминант», имеющий тот же самый смысл. От слова «детерминант» и появилось обозначение det .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.

Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица — заменой i-ой строки на строку .

Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где — определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Пример. Пусть . Тогда

Замечание. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так:

Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.

Для определителя матрицы справедлива формула

Пример. Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех — нули. Получим

Утверждение 12. Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение .

Утверждение 13. Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 — 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу и равенство при .

Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, .

Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен .

Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен . Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид

причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу

Так как , то

В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма — по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

Пример. Вычислите определитель матрицы .

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. В результате получаем

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

В результате получаем

Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа — целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.

Обратная матрица

Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .

Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1) где — алгебраические дополнения к элементам .

Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица — невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй — номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример. .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица — невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке: (2)

Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.

Замечание. В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
(3)

Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц — целые числа. И наоборот, если элементы матрицы — десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.

Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. — существует.

Ответ: .

Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .

Именно, определитель матрицы равен det .

Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:

Где есть j-тый столбец единичной матрицы , — искомый вектор.

Полученные векторы решений — образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .

Формулы для определителя

1. Если матрица невырожденная, то и (произведение ведущих элементов).

Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения

Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания стоки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителя порядка имеет порядок . Будем его обозначать через .

Пример 1. Пусть , тогда .

Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется соответствующий минор, умноженный на , т.е , где –номер строки и -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

Пример 2. Пусть , тогда

Пример 3. Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.

Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.

Определителемматрицы порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.

Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.

Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.

Пример 4. Вычислить определитель:

Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.

Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства VII . Умножим первую строку последовательно на числа и прибавим её ко строкам и получим:

Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:

так как определитель содержит два пропорциональных столбца.

Некоторые виды матриц и их определители

Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы ()называется треугольной.

Их схематичное строение соответственно имеет вид: или

Как находить определитель матрицы

Определителем матрицы является многочлен из всевозможных произведений ее элементов. Одним из способов вычисления определителя является разложение матрицы по столбцу на дополнительные миноры (подматрицы).
Вам понадобится

Как находить определитель матрицы

Известно, что определитель матрицы второго порядка вычисляется так: из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали. Поэтому удобно разложить матрицу на миноры второго порядка и потом уже вычислить определители этих миноров, а также определитель исходной матрицы.
На рисунке представлена формула для вычисления определителя любой матрицы. Пользуясь ею, разложим матрицу сначала на миноры третьего порядка, а потом каждый полученный минор на миноры второго порядка, что позволит легко вычислить детерминант матриц.

Как находить определитель матрицы

Разложим по формуле исходную матрицу на дополнительные матрицы размера 3 на 3. Дополнительные матрицы, или миноры, образуются вычеркиванием из исходной матрицы одной строки и одного столбца. В ряд многочленов такие миноры входят умноженными на тот элемент матрицы, к которому они являются дополнительным, знак многочлена определяется степенью -1, которая представляет собой сумму индексов элемента.

Как находить определитель матрицы

Теперь каждую из матриц третьего порядка раскладываем таким же образом на матрицы второго порядка. Находим определитель каждой такой матрицы и получим ряд многочленов из элементов исходной матрицы, дальше идут чисто арифметические вычисления.

Вычислить определитель матрицы методом разложения по строке. Найти определитель разложением по строке или столбцу

(e) Сначала найдем матрицу (A − 2E ) , а затем ее определитель:

det(A − 2E )= 0 (− 1) (− 3)= 0 .

2.4. Вычисление определителей

Здесь мы рассмотрим два метода вычисления определителей. Суть одного из них заключается в разложении определителя по элементам строки или столбца, в результате чего исходный определитель n -го порядка выражается черезn определителей меньшего порядка. Другой метод основывается на свойствах определителей и связан с преобразованием определителя к более простому виду. Комбинация двух методов дает наиболее эффективный путь вычисления определителей.

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Предварительно введем некоторые важные для последующего изложения понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n- го порядка. Выберем i,j -ый элемент этой матрицы и вычеркнем i -ую строку и j -ый столбец. В результате

мы получаем матрицу (n –1)-го порядка, определитель которой называетсяминором элементаa i , j и обозначается символомM i , j .

Алгебраическое дополнение A i , j элементаa i , j определяется формулой

A i, j= (− 1) i + j M i, j.

Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j -го элемента совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных значенийi+j алгебраическое дополнение отличается от минора только знаком.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

det A = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n =

Доказательство : По определению, определитель матрицыA представляет собой сумму

∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,k i K a n ,k n (− 1) P

по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы. Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с

номером i . Один из элементов этой строки представлен в каждом произведенииa 1, k 1 a 2, k 2 K a i , k i K a n , k n . Поэтому слагаемые суммы (*)

можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a i ,1 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a i , j (j = 1,2,L ,n ),

∑ a 1,k 1 a 2,k 2 K a i ,j K a n ,k n (− 1) P =

∑ a 1, k1 a 2, k2 K a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 a n, kn (− 1) P =

= ∑ a i ,j A i ,j = a i ,1A i ,1+ a i ,2A i ,2+K+ a i ,n A i ,n ,

∑ a 1, k1 a 2, k2 L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K a n, kn (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , j , k i + 1 , L , k n ) .

A i , j представляет собой алгебраическое

элемента a i , j .

Рассмотрим четность перестановки .

требуется i –1 транспозиций элементаj с

элементами, чтобы получить перестановку .

Во-вторых, в полученной перестановке, элементj образует j –1 инверсий с другими элементами.

(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,j ,k i + 1 ,L ,k n )= (− 1) i − 1+ j − 1(− 1) P (k 1 ,L ,k i − 1 ,k i + 1 ,L ,k n )=

= (− 1) i+ j(− 1) P(k1 , L , ki − 1 , ki + 1 , L , kn )

∑ L a i− 1, ki − 1 a i+ 1, ki + 1 K (− 1) P (k 1 , L , k i − 1 , k i + 1 , L , k n ) = M i, j

представляет собой минор элемента a i , j .

Таким образом, A i , j = (− 1) i + j M i , j , что и требовалось доказать.

Поскольку det A = det A T , то тем самым справедлива и следующая

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

det A = a 1,j A 1,j + a 2,j A 2,j +K+ a n ,j A n ,j

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливает, что проблема вычисления определителя n- го порядка сводится к проблеме вычисленияn определителей (n –1)-го порядка.

1) Вычислить определитель произвольной матрицы A = ||a ij || третьего

порядка разложением по элементам

(i) первой строки;

(ii) второго столбца.

A 11(a 22a 33− a 23a 32) − a 12(a 21a 33− a 23a 31) + a 13(a 21a 32− a 22a 31)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31,

= − a 12(a 12a 33− a 23a 31) + a 22(a 11a 33− a 13a 31) − a 32(a 11a 23− a 13a 21)

A 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32− a 11a 23a 32− a 12a 21a 33− a 13a 22a 31.

Результаты, полученные различными методами, идентичны.

разложением по элементам

(i) первой строки,

(ii) второго столбца.

Разложение определителя по элементам первой строки дает

2 4 5 + 5 1 5+ 3(7+ 12)= 122.

(ii) Тот же самый результат получается при разложении определителя по элементам второго столбца:

5(5 + 0)+ 4 (10+ 9)− 7(0− 3)= 122.

2.4.2. Вычисление определителей методом элементарных

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции.

С учетом равноправия строк и столбцов определителя подобные операции в полной мере применимы к столбцам.

Идея метода заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов привести определитель к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца). Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Вычислить det A , приведя матрицу к

Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов:

det A = − 1 8 9= − 72 . 2) Вычислить определитель матрицы

Решение : Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Определения определителя и его основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Критерий обратимости матрицы .

Определителем илидетерминантом n -го порядка называется число, записываемое в виде

и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:

распространенная на всевозможные различные перестановки
из чисел
. Число
равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки
к перестановкеn -го порядка
. Произведение
называетсячленом определителя .

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 +. + a i n A i n (i =
)

или j- го столбца

d = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j +. + a n j A n j (j =
).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Убедимся в справедливости теоремы на примере разложения определителя 3-го порядка, например, по 1-й строке. По теореме это разложение будет иметь вид: =
= а 11 А 11 + а 12 А 12 + а 13 А 13 = = =а 11 (1) 2 М 11 + а 12 (1) 3 М 12 + а 13 (1) 4 М 13 = а 11
 а 12
+ а 13
= а 11 (а 22 а 33  а 23 а 32)  а 12 (а 21 а 33  а 23 а 31) + а 13 (а 21 а 32  а 22 а 31) = =а 11 а 22 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32  а 13 а 22 а 31  а 12 а 21 а 33  а 11 а 23 а 32 = =
=. Аналогичный результат получается при разложении определителя по любой строке (столбцу). Fin.

Следствие. Если в i–й строке (j-м столбце) определителя  есть только один ненулевой элемент а ij  0, то результатом разложения определителя по этой строке (столбцу) будет выражение  = а ij А ij .

Определители n -го порядка удовлетворяют свойствам:

1) При транспонировании определителя его значение не меняется, (то есть значение определителя не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами).

 =
=
= a 11 a 22  а 12 а 21

NB. Следовательно, строки и столбцы определителя равноправны, поэтому его свойства можно формулировать и доказывать либо для строк, либо для столбцов.

2) При взаимной перестановке любых двух строк (столбцов) определителя его знак меняется на противоположный.

 =
= a 11 a 22  а 12 а 21 =  (а 12 а 21  a 11 a 22) = 

3) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель  имеет две одинаковые строки. Если поменять их местами, то, с одной стороны, величина определителя не изменится, так как строки одинаковы, а с другой стороны определитель должен поменять свой знак на противоположный по свойству 2. Таким образом, имеем:  =    = 0.

4) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

=
=a 11 a 22  а 12 а 21 = (a 11 a 22  а 12 а 21) = 
.

Следствие:  =
=
.

NB. Правило умножения определителя на число. Чтобы умножить определитель на число, надо все элементы какой-то одной его строки (столбца) умножить на это число.

5) Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель  = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0 = 0.

6) Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) ≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.

7) Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представить в

виде суммы k слагаемых, то такой определитель равен сумме k определителей, у которых элементы этой строки (столбца) заменены соответствующими слагаемыми, а все остальные элементы такие же как у исходного определителя.

=
= (а 11 + b 11)а 22  (а 12 + b 12)а 21 = (а 11 а 22  а 12 а 21) + (b 11 а 22  b 12 а 21) = =
+
.

Опр. n-ая строка определителя называется линейной комбинацией его остальных (n1) строк, если ее можно представить в виде суммы произведений этих строк на соответствующие числа  1 ,  2 , …,  n  1 . Например, в определителе

3–я строка является линейной комбинацией первых двух строк.

NB. Линейная комбинация называется тривиальной, если в ней  i = 0. В противном случае линейная комбинация называется нетривиальной (if  i  0).

8 а) Если одна строка (столбец) определителя является линейной комбинацией других его строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

8 б) Величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца) определителя, умноженные на одно и то же число.

Пусть =
 

=
.

9) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) определителя равна нулю, то есть
= 0 (if i ≠ j).Например, пусть

 =
 0

Тогда а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = 0, так как выполнено умножение элементов 1-ой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов 2-ой строки.

а 11 А 21 + а 12 А 22 + а 13 А 23 = а 11 (1) 2+1
+ а 12 (1) 2+2
+ а 13 (1) 2+3
=

Если определитель 0, то по свойству 8 б) в нем всегда можно «обнулить» i-ю строку (j-й столбец) до единственного ненулевого элемента и разложить определитель по этой строке (столбцу). Применяя эту операцию нужное число раз, всегда можно из определителя n-го порядка получить определитель 2-го порядка.

Обратная матрица

Опр. Матрица называется присоединенной (союзной) к квадратной матрице А, если она состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А т. Чтобы получить присоединенную матрицу , следует транспонировать матрицу А, а затем все ее элементы заменить их алгебраическими дополнениями, то есть

=
(3.1)

Опр. Квадратная матрица А называется вырожденной (особенной), если ее определитель |A|=0, и невырожденной, если ее определитель |A|0.

Опр. Квадратная матрица А  1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие

А  1 А = АА  1 = Е (3.2)

NB. Обратная матрица А  1 возможна только для невырожденной матрицы А.

Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А  1 , которая находится по формуле

А  1 = (3.3)

Доказательство.

1) Из определения А  1 А = АА  1 следует, что А и А — 1  это квадратные матрицы одного порядка.

Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим

А=

=
=

= |A|= |A|E

Следовательно, А= |A|E. Аналогично доказывается, чтоА = |A|E.

Из А= |A|E  А  1 А = А — 1 ×|A|E  Е = А  1 |A|  = А  1 |A|  А  1 = .

2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение АВ=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А  1 и получим: А  1 АВ = А  1 Е  ЕВ = А  1 Е  В = А  1 . Fin.

Свойства обратной матрицы:

АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ. Наибольший общий делитель двух многочленов (алгоритм Евклида).

Многочленом n -ой степени называется функция вида

где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а– комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения
или, выражаясь геометрическим языком,может быть любой точкой комплексной плоскости.

Если
при
, то числоназываетсякорнем или нулем многочлена
.

Для многочленов определены следующие арифметические операции:

В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.

Деление многочленов с остатком.

где
– частное, а
– остаток.

Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен
имел (комплексный) корень, необходимо и достаточно, чтобы он делился на
, т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения, где
– некоторый многочлен степениn -1 .

Если при разложении
, то на основании теоремы Безу применимой к
, многочлен
не делится на
, а
хотя и делится на
, но не делится на
. В этом случае говорят, что–простой корень (нуль) многочлена .

Пусть теперь
. Тогда по теореме Безу, применимой к
, многочлен
делится на
, и мы получим
, где
– некоторый многочлен степениn -2 . Если
, то
делится на
, но не делится на
, и тогда числоназываетсякорнем (нулем) кратности 2 .

В общем случае для некоторого натурального
имеет место

где
– многочлен степениn — s , и тогда говорят, что –корень (нуль) многочлена кратности s .

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).

Всякий многочлен n -ой степени (ненулевой, т.е.
) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).

Следствие из теоремы Гаусса.

Многочлен n -ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом
имеетn комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря
представляется в виде произведения

где
– различные корникратностей, соответственно
.

Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если
– корень многочлена, то и корень
будет являться корнем многочлена.

Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни
на сопряженные, т.е.
получим разложение многочленана линейные множители.

В результате получим разложение вида

где
отвечает вещественному корнюb кратности l , а
– комплексным корнямикратностиm .

Наибольший общий делитель многочленов

Пусть даны произвольные многочлены
и
. Многочлен будет называтьсяобщим делителем для
и
, если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Свойство 5. показывает, что к числу общих делителей многочленов
и
принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называютсявзаимно простыми .

В общем же случае многочлены
и
могут обладать делителями, зависящими от, и введем понятие онаибольшем общем делителе этих многочленов.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов
и
называется такой многочлен
, который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов
и
символом
.

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов
и
. Ответ на этот вопрос положительный. Существует метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов, называемыйалгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида.

Алгоритм Евклида – метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Он первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме как способ нахождения общей меры двух отрезков. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, как в кольце целых чисел, так и в кольце многочленов от одного переменного является частным случаем некого общего алгоритма в евклидовых кольцах.

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов
и
состоит в последовательном делении с остатком
на
, затем
на первый остаток
, затем
на второй остаток
и так далее. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело и процесс остановится. Последний отличный от нуля остаток
, на который нацело делится предыдущий остаток
, и является наибольшим общим делителем многочленов
и
.

Для доказательства запишем изложенное в виде следующей цепочки равенств:

Последнее равенство показывает, что
служит делителем для
. Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на
, а поэтому
будет делителем и для
. Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что
является делителем и для
, …,
,
. Отсюда ввиду второго равенства, будет следовать, что
служит делителем для
, а поэтому, на основании первого равенства, — и для
.

Возьмем теперь произвольный общий делитель
многочленов
и
. Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств делятся на
, то
также будет делится на
. Переходя ко второму и следующему равенствам, таким же способом получим, что на
делятся многочлены
,
, … Наконец, если уже будет доказано, что
и
делятся на
, то из предпоследнего равенства получим, что
делится на
. Таким образом,
на самом деле будет наибольшим общим делителем для
и
.

Мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены
и
имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными, хотя у этих многочленов могут существовать и такие делители, не все коэффициенты которых рациональны (действительны).

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

2. Правило Саррюса

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Лекция 1.

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n -го порядка.

Определение 1.1 . Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения:А – матрица, — элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 1.2 . Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной , если m = n . Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Определение 1.5 . Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Определение1. 6 . Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А` , называемая транспонированной по отношению к матрице А , элементы которой связаны с элементами А соотношением a ` ij = a ji .

Основные свойства определителей.

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2 . При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Свойство 5 . Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6 . При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

Разложение определителя по строке.

Определение1. 7 . Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: выбранный элемент определителя, его минор.

Определение1. 8. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i + j есть число четное, или число, противоположное минору, если i + j нечетно, т.е.

Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:

Теорема 1.1 . Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.

Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя. полученных r попарными перестановками элементов из множества1,2,…, n .

Замечание 1. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n -го порядка.

Замечание 2. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.

Пример. Вычислим определитель 4-го порядка с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем и :

Похожие публикации:

Как перевернуть видео в windows movie maker
Как перенести настройки перьев в archicad
Как подключить реакции к каналу в telegram
Как получить ссылку на канал в telegram

Как найти определитель матрицы в maple

Лекция 10. Пакеты для математической обработки данных.Maple. Матрицы и графики

Определитель матрицы.

Свойства определителя матрицы

Научный форум dxdy

Кто сейчас на конференции

Как найти определитель матрицы в maple

Вычислить определитель матрицы онлайн с решением подробно. Методы вычисления определителей. Бесплатный онлайн калькулятор

12. Слау 3 порядка

Пример

Постановка задачи

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Обратная матрица

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Формулы для определителя

Как находить определитель матрицы

Вычислить определитель матрицы методом разложения по строке. Найти определитель разложением по строке или столбцу

2.4. Вычисление определителей

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

12. Слау 3 порядка

Добавить комментарий Отменить ответ