Как решить нелинейное уравнение в python
Перейти к содержимому

Как решить нелинейное уравнение в python

  • автор:

Digiratory

Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов

TensorFlow. Решение систем нелинейных уравнений

В прошлой статье мы рассмотрели, как можно решать системы линейных алгебраических уравнений, однако возможности TensorFlow этим не ограничиваются. Несмотря на то, что в явном виде библиотека не содержит инструментария для решения нелинейных систем, в ней есть множество инструментов для решения оптимизационных задач, а численное решение сиcтемы уравнений сводится как раз к такой задаче.

Идея решения

Для получения решения необходимо выполнить следующие действия:

  1. Определить область поиска решений/сетку начальных условий
  2. Построение графа, реализующего систему
  3. Выбрать начальные условия
  4. Решить оптимизационную задачу
  5. Перейти на п.3, если не найдены все решения/не перебраны все выбранные начальные условия
  6. Объединить эквивалентные решения
  7. Profit

В целом, как видно алгоритм не сложный, однако позволяет решать системы практически любой сложности.

Пример решения задачи

Для большей ясности изложения решения, рассмотрим его на примере следующей системы:

\[
\begin
x^2 — 2y^2 — xy + 2x — y + 1 = 0 \\
2x^2 — y^2 +xy + 3y — 5 = 0
\end
\]

Инициализация переменных (начальных условий)

Импортируем пакет tensorflow

import tensorflow as tf

Создаем интерактивную сессию

sess = tf.InteractiveSession()

Далее объявляем инициализаторы. Одним из простейших вариантов является использование случайного равномерного распределения для инициализации переменных.

x_init = tf.initializers.random_uniform(minval=-3.0, maxval=3.0) y_init = tf.initializers.random_uniform(minval=-3.0, maxval=3.0)

Теперь создаем переменные и передаем им объект инициализатора

x = tf.get_variable('x', shape=1 ,initializer=x_init) y = tf.get_variable('y', shape=1 ,initializer=y_init)

Запустим для демонстрации 5 раз и выведем начальные значения переменных. Для запуска выполняем инициализацию всех переменных sess.run(tf.global_variables_initializer()) и вычисление начальных значений sess.run([x,y])

for i in range(5): sess.run(tf.global_variables_initializer()) sess.run([x,y]) print(x.eval(), y.eval()) # Output: # [-0.65766764] [1.8217659] # [2.3475676] [-2.5066323] # [-0.06060576] [-0.32884097] # [2.2769918] [1.5647278] # [1.4144545] [-0.12284446]

Заметим, что вывод, скорее всего, будет другой, так как значения инициализируются случайным образом.

Построение графа системы нелинейных уравнений

Следующим шагом является создание графа, реализующего левую часть системы (в правой части должны быть 0). Граф формируется на базе созданных ранее переменных \(x\) и \(y\). При необходимости использования математических функций, их можно найти в пакете tf.math, например, квадратный корень.

Так как в нашем случае использование функций необязательно, можно использовать обычные операторы умножения, сложения и др., предусмотрительно уже перегруженные для тензоров.

eq1 = x*x - 2*y*y - x*y + 2*x - y + 1 eq2 = 2*x*x - y*y + x*y + 3*y - 5

Выведем значения уравнений при последних значениях переменных, заданных ранее:

print(eq1.eval(), eq2.eval()) # Output # [6.096011] [-1.5560191]

Поиск одиночного решения

Теперь можно перейти к процессу поиска решения системы уравнений. По определению, необходимо, чтобы значений выражений левых частей (в нашем случае eq1 и eq2) были равны 0, а на практике имели минимальное отклонение от 0.

Первым делом необходимо задать функцию потерь \(E\) и выбрать тип оптимизатора. Будем использовать среднеквадратичное отклонение в качестве функции потери и градиентный спуск в качестве оптимизатора.

loss = tf.losses.mean_squared_error([eq1, eq2],[(0.0,), (0.0,)]) # функция потерь optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(loss) # метод оптимизации

Зададим \(\epsilon\) меньше которого должна быть ошибка решения \(E < \epsilon\)

epsilon = 0.0001

Предварительно инициализируем переменными новыми значениями и выполним оптимизацию.

sess.run(tf.global_variables_initializer()) sess.run([x,y]) loss_v = sess.run([loss]) step=0 print("Step: " + str(step) + " Loss: " + str(loss_v)) print("x = %f, x = %f" % (x.eval(), y.eval())) while loss_v[0] >= epsilon: step = step+1 sess.run(optimizer) sess.run([x, y]) loss_v = sess.run([loss]) print("Step: " + str(step) + " Loss: " + str(loss_v)) print("x = %f, x = %f" % (x.eval(), y.eval())) # Output: # . # Step: 121 Loss: [9.734182e-05] # x = -1.499883, x = 0.508757

Поиск всех решений

Теперь, когда мы научились находить один какой-то корень, можно перейти к нахождению всех корней в рассматриваемой области. Для решения этой задачи необходимо запустить множество поисков корней, при разных начальных условиях.

Для удобства сделаем функцию поиска корня, возвращающую историю поиска:

def find_root(): sess.run([x,y]) loss_v = sess.run([loss]) step=0 x_root = [] y_root = [] while loss_v[0] >= epsilon: step = step+1 sess.run(optimizer) sess.run([x, y]) loss_v = sess.run([loss]) x_root.append(x.eval()) y_root.append(y.eval()) return (x_root, y_root)

Тогда для каждого корня можно получить траекторию:

sess.run(tf.global_variables_initializer()) (x_root, y_root) = find_root() import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline plt.plot(x_root, y_root, 'r') plt.grid() plt.show()

Теперь запустим поиск множество (100) раз, сохраняя найденные корни для дальнейшего анализа и построим траектории для получаемых корней.

import numpy as np x_roots = [] y_roots = [] for _ in range(100): sess.run(tf.global_variables_initializer()) (x_root, y_root) = find_root() x_roots.append(x_root[-1]) y_roots.append(y_root[-1]) plt.plot(x_root, y_root, 'r') plt.grid() plt.show()

На данный момент мы имеем 100 пар корней, среди которых, естественно, есть повторяющиеся. Теперь необходимо найти повторяющиеся корни.

Предварительно выполним округление до десятых, т.к. шаг алгоритма оптимизации и целевая ошибка была 1 сотая. Кроме того, сразу сделаем NumPy массив из корней.

x_roots = np.around(x_roots, decimals=1) y_roots = np.around(y_roots, decimals=1) roots = np.hstack((x_roots, y_roots))

Следующей командой найдем уникальные корни, получив тем самым ответ:

np.unique(roots, axis=0) # Output: #array([[-1.7, -0.3], # [-1.5, 0.5], # [ 1. , 1. ]], dtype=float32)

Таким образом у системы имеется три решения в рассматриваемой области:

Заключение

Приведенные способ хоть и решает поставленную задачу, он не является единственно верным и оптимальным. Так, например, для решения систем с одним корнем не обязательно делать перебор. Кроме того, случайная инициализация вектора начальных условий не всегда является оптимальной.

В целом подобным способом можно решать нелинейные системы алгебраических уравнений практически любой сложности с соответствующими оговорками.

Код и статья в формате Jupiter Notebook.

Решение нелинейного уравнения

Добрый день, есть СЛАУ на картинке, дружу с маткадом, там решение получил, а в Pyton понять не могу, как можно взять массив с неизвестным (x) в скобки, да еще и в квадрате. Есть идеи? Может кто помочь?
Уравнение похожего вида получается решить примерно так:
3x + 1x + 5x = 1
1x + 3x + 1x = 2
2x + 2x +2x = 1 

1 2 3 4 5
import numpy as np a = np.array([[3,1,2], [1,3,2], [5,1,2]]) b = np.array([1,2,1]) x = np.linalg.solve(a, b) print(x)

Вывод: [0 0.5 0.25]
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Построение графиков и решение нелинейного уравнения
Исследовать область определения и построить графики следующих функций

Написать программу, используя класс, для решения нелинейного уравнения третьей степени
Написать программу, используя класс, для решения нелинейного уравнения третьей степени.

Построение графиков и решение нелинейного уравнения
Нужна помощь , выходит ошибка на ( x = ( a*math.cos(t))*(1+math.cos(t)) ) Ошибка : only size-1.

Построение графиков и решение нелинейного уравнения
Нужна помощь . 1)Графически исследовать решение нелинейного уравнения и получить все (если.

Не получается найти корни нелинейного уравнения
Добрый вечер всем в этом чатике Суть того что хочу сделать: есть величина G, значение которой мне.

Эксперт Python

4615 / 2036 / 359
Регистрация: 17.03.2012
Сообщений: 10,103
Записей в блоге: 6

Getter17, если там квадраты, то уравнение уже не линейное и буковка «Л» в аббревиатуре СЛАУ теряет силу. Это совершенно не похоже на СЛАУ.

Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

Дело в том, что корня два, а значит и два отрезка [a, b]: на одном отрезке метод прекрасно находит корень, а на втором ([0.8; 1.0]) программа падает с ошибкой math domain error. Я понимаю, что это из-за того, что мы берем натуральный логарифм от отрицательного числа, но как решить эту проблему? Вот сам метод Ньютона: 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
def newtonsMethod(self, f, a, b, derrirative): try: x0 = (a+b)/2.0 xn = f(x0) xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) while abs(xn1-xn) > math.pow(10,-3): xn = xn1 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) return xn1 except: print("Error!")

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений
Получить корни для системы с точностью 0,001 Заранее спасибо;)

Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
Вот собственно задача: Найти ближайший к точке x=0 корень уравнения с точностью . Используя.

Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
Добрый день, уважаемые форумчане. Написал программу для решения уравнения "(exp(-x)-sin(x)" методом.

Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
В общем, помогите составить программу в Win.Form для решения нелинейных уравнений методом Ньютона.

Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
Помогите написать код для решения уравнений данным методом

Эксперт Python

7279 / 4102 / 1794
Регистрация: 27.03.2020
Сообщений: 6,926
yarxslav, прекрасно работает 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
from math import log def newtonsMethod(a,b): try: xn = (a+b)/2 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) while abs(xn1-xn) > 1e-3: xn = xn1 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) return xn1 except: print("Error!") def derrirative(x) : return 1/(1+x) - 4*x def f(x) : return log(abs(1+x)) - 2*x*x x1 = newtonsMethod(-2, -1) print(x1) x2 = newtonsMethod(0.8, 1) print(x2)

Только по идее достаточно точки вхождения, а не диапазона.
Определяешь точку перегиба и берешь (для квадратичной функции) точки слева и справа практически набоум, учитывая, чтобы функции в них находились в области применения.
Так как код не полный, то «вангую» — или производная или сама функция с ошибкой(-ами)

Регистрация: 05.01.2019
Сообщений: 45

Вот полный код. Буду признателен, если найдете ошибку Там есть еще метод половинного деления, но это не важно ибо он работает на «ура». 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
import math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt class Function(): def f(self, x): return math.log(x+1) - 2*math.pow(x, 2) + 1 class NewtonMethod(): def derrirative(self, x): return 1/(x+1) - 4*x def newtonsMethod(self, f, a, b, derrirative): try: x0 = (a+b)/2.0 xn = f(x0) xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) while abs(xn1-xn) > math.pow(10,-3): xn = xn1 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) return xn1 except: print("Error!") func = Function() hi = HalfInterval() nm = NewtonMethod() variant = input("Enter the name of method:\nHI - Half Interval Method\nNM - Newton`s Method\nSIP - Simple Iterations Method\n") if variant == "HI": x = hi.halfIntervalMethod(func.f, -0.6, -0.4) y = hi.halfIntervalMethod(func.f, 0.8, 1.0) print("The first solution on such interval [-0.6; -0.4] x1 is: " + str(x)) print("The second solution on such interval [0.8; 1] x2 is: " + str(y)) print("F(x1) is: " + str(func.f(x))) print("F(x2) is: " + str(func.f(y))) elif variant == "NM": x1 = nm.newtonsMethod(func.f, -0.6, -0.4, nm.derrirative) #y1 = nm.newtonsMethod(func.f, 0.8, 1.0, nm.derrirative) print("The first solution on such interval [-0.6; -0.4] x1 is: " + str(x1)) #print("The second solution on such interval [0.8; 1] x2 is: " + str(y1)) print("F(x1) is: " + str(func.f(x1))) #print("F(x2) is: " + str(func.f(y1))) elif variant == "SIP": pass else: print("No such method detected. Please, try again")

Эксперт Python

7279 / 4102 / 1794
Регистрация: 27.03.2020
Сообщений: 6,926

Лучший ответ

Сообщение было отмечено yarxslav как решение

Решение

yarxslav, кое что закомментировал — нет библиотек
«Ньютон» чувствителен к выбору точки входа.
А ошибка — логарифм от модуля. 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
import math import numpy as np #import matplotlib.pyplot as plt class Function(): def f(self, x): return math.log(abs(x+1)) - 2*math.pow(x, 2) + 1 class NewtonMethod(): def derrirative(self, x): return 1/(x+1) - 4*x def newtonsMethod(self, f, a, derrirative): try: x0 = a xn = f(x0) xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) while abs(xn1-xn) > math.pow(10,-3): xn = xn1 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) return xn1 except: print("Error!") func = Function() #hi = HalfInterval() nm = NewtonMethod() variant = input("Enter the name of method:\nHI - Half Interval Method\nNM - Newton`s Method\nSIP - Simple Iterations Method\n") if variant == "HI": x = hi.halfIntervalMethod(func.f, -0.6, -0.4) y = hi.halfIntervalMethod(func.f, 0.8, 1.0) print("The first solution on such interval [-0.6; -0.4] x1 is: " + str(x)) print("The second solution on such interval [0.8; 1] x2 is: " + str(y)) print("F(x1) is: " + str(func.f(x))) print("F(x2) is: " + str(func.f(y))) elif variant == "NM": x1 = nm.newtonsMethod(func.f, -0.4, nm.derrirative) y1 = nm.newtonsMethod(func.f, 0.8, nm.derrirative) print("NM The first solution on such interval [-0.6; -0.4] x1 is: " + str(x1)) print("NM The second solution on such interval [0.8; 1] x2 is: " + str(y1)) print("F(x1) is: " + str(func.f(x1))) print("F(x2) is: " + str(func.f(y1))) elif variant == "SIP": pass else: print("No such method detected. Please, try again")

Добавлено через 7 минут
yarxslav, Извиняюсь — нашел еще одну ошибку — исправил 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
import math import numpy as np #import matplotlib.pyplot as plt class Function(): def f(self, x): return math.log(abs(x+1)) - 2*math.pow(x, 2) + 1 class NewtonMethod(): def derrirative(self, x): return 1/(x+1) - 4*x def newtonsMethod(self, f, a, b,derrirative): try: x0 = (a+b)/2 xn = x0 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) while abs(xn1-xn) > math.pow(10,-3): xn = xn1 xn1 = xn - f(xn) / derrirative(xn) return xn1 except: print("Error!") func = Function() #hi = HalfInterval() nm = NewtonMethod() variant = input("Enter the name of method:\nHI - Half Interval Method\nNM - Newton`s Method\nSIP - Simple Iterations Method\n") if variant == "HI": x = hi.halfIntervalMethod(func.f, -0.6, -0.4) y = hi.halfIntervalMethod(func.f, 0.8, 1.0) print("The first solution on such interval [-0.6; -0.4] x1 is: " + str(x)) print("The second solution on such interval [0.8; 1] x2 is: " + str(y)) print("F(x1) is: " + str(func.f(x))) print("F(x2) is: " + str(func.f(y))) elif variant == "NM": x1 = nm.newtonsMethod(func.f, -0.6, -0.4, nm.derrirative) y1 = nm.newtonsMethod(func.f, 0.8, 1., nm.derrirative) print("NM The first solution on such interval [-0.6; -0.4] x1 is: " + str(x1)) print("NM The second solution on such interval [0.8; 1] x2 is: " + str(y1)) print("F(x1) is: " + str(func.f(x1))) print("F(x2) is: " + str(func.f(y1))) elif variant == "SIP": pass else: print("No such method detected. Please, try again")

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

n=100 def f(x): f = zeros([n]) for i in arange(0,n-1,1): f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2 f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3 f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4 return f

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

from numpy import* from scipy import optimize import time ti = time.clock() n=100 def f(x): f = zeros([n]) for i in arange(0,n-1,1): f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2 f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3 f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4 return f x0 =zeros([n]) sol = optimize.root(f,x0, method='krylov') print('Solution:\n', sol.x) print('Krylov method iteration = ',sol.nit) print('Optimize root time', round(time.clock()-ti,3), 'seconds')

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Решение для n=200

Solution:
[1.00000018 0.99999972 0.99999985 1.00000001 0.99999992 1.00000049
0.99999998 0.99999992 0.99999991 1.00000001 1.00000013 1.00000002
0.9999997 0.99999987 1.00000005 0.99999978 1.0000002 1.00000012
1.00000023 1.00000017 0.99999979 1.00000012 1.00000026 0.99999987
1.00000014 0.99999979 0.99999988 1.00000046 1.00000064 1.00000007
1.00000049 1.00000005 1.00000032 1.00000031 1.00000028 0.99999992
1.0000003 1.0000001 0.99999971 1.00000023 1.00000039 1.0000003
1.00000013 0.9999999 0.99999993 0.99999996 1.00000008 1.00000016
1.00000034 1.00000004 0.99999993 0.99999987 0.99999969 0.99999985
0.99999981 1.00000051 1.0000004 1.00000035 0.9999998 1.00000065
1.00000061 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006
1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.00000059 1.00000056
1.00000047 1.00000016 1.00000018 0.99999988 1.00000061 1.00000002
1.00000033 1.00000034 1.0000004 1.00000046 1.00000009 1.00000024
1.00000017 1.00000014 1.00000054 1.00000006 0.99999964 0.99999968
1.00000005 1.00000049 1.0000005 1.00000028 1.00000029 1.00000027
1.00000027 0.9999998 1.00000005 0.99999974 0.99999978 0.99999988
1.00000015 1.00000007 1.00000005 0.99999973 1.00000006 0.99999995
1.00000021 1.00000031 1.00000058 1.00000023 1.00000023 1.00000044
0.99999985 0.99999948 0.99999977 0.99999991 0.99999974 0.99999978
0.99999983 1.0000002 1.00000016 1.00000008 1.00000013 1.00000007
0.99999989 0.99999959 1.00000029 1.0000003 0.99999972 1.00000003
0.99999967 0.99999977 1.00000017 1.00000005 1.00000029 1.00000034
0.99999997 0.99999989 0.99999945 0.99999985 0.99999994 0.99999972
1.00000029 1.00000016]
Krylov method iteration = 9178
Optimize root time 23.397 seconds

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Программа отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

from numpy import* import time ti = time.clock() def jacobian(f, x): h = 1.0e-4 n = len(x) Jac = zeros([n,n]) f0 = f(x) for i in arange(0,n,1): tt = x[i] x[i] = tt + h f1= f(x) x[i] = tt Jac [:,i] = (f1 - f0)/h return Jac, f0 def newton(f, x, tol=1.0e-9): iterMax = 50 for i in range(iterMax): Jac, fO = jacobian(f, x) if sqrt(dot(fO, fO) / len(x)) < tol: return x, i dx = linalg.solve(Jac, fO) x = x - dx print ("Too many iterations for the Newton method") n=100 def f(x): f = zeros([n]) for i in arange(0,n-1,1): f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2 f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3 f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4 return f x0 =zeros([n]) x, iter = newton(f, x0) print ('Solution:\n', x) print ('Newton iteration = ', iter) print('Newton method time', round(time.clock()-ti,3), 'seconds')

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

n=10 def f(x): f = zeros([n]) for i in arange(0,n-1,1): f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i]*sin([i]) - x[i-1] - 2*x[i+1] - 2+e**-x[i] f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] - 2*x[1] - 3 f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] - x[n-2] - 4 return f

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 15
Newton method time 11.754 seconds

Выводы:

Программа, написанная на Python по модифицированному методу Ньютона, при решении систем нелинейных уравнений из приведенной модельной функции обладает большей устойчивостью решения, чем при решении с помощью библиотечной функции optimize.root(f,x0, method='krylov') для метода Крылова. Относительно быстродействия окончательного вывода сделать нельзя из-за разного подхода к управлению шагом.

  1. Рейтинг языков программирования 2018.
  2. Бондарь И.В, Фалейчик Б.В. Безматричные итерационные процессы со среднеквадратичным подавлением ошибки для больших систем нелинейных уравнений.
  3. scipy.optimize.root.
  4. Вабищевич П.Н. Численные методы: Вычислительный практикум. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 320 с.
  • Численные методы
  • scipy.optimize.root
  • Метод Ньютона – Крылова
  • нелинейные уравнения
  • python
Похожие публикации:
  1. Как настроить интернет на nokia n80
  2. Как писать стили в html
  3. Как сделать буквы разного цвета в html
  4. Сколько стоит suzuki swift новый

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *