В свободном поле mathcad введите оператор Given. Этот оператор запускает процесс ввода исходных данных для корректной работы функции odesolve. После этого найдите панель под названием Calculus. В этой панели нам понадобятся кнопки Derivative и Nth Derivative. Эти кнопки вводят заготовки для дифференциального уравнения. С помощью клавиатуры введите уравнение, как показано на рисунке 1. Знак равенства необходимо использовать из панели Boolean
Рис. 1. Ввод исходных данных для решения дифференциального уравнения
Далее введите начальные приближения. Количество начальных приближений зависит от порядка дифференциального уравнения. В нашем случае их будет 2. Введите приближения, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что для ввода значания первой производной вам нужно использовать символ «верхний апостроф«. Если вы его не можете ввести с клавиатуры вручную воспользуйтесь приложением windows Capter Map или используйте комбинацию клавиш Alt + 96 или Alt + 39
Рис. 2. Ввод первого приближения для решения дифференциального уравнения
Теперь, после начального приближения введите любую переменную (например y) и присвойте ей функцию Odesolve, как показано на рисунке 3. В качестве параметров функции Odesolve используется переменная t и интервал интегрирования. В нашем случае интервал равен 15
Рис. 3. Ввод функции odesolve для решения дифференциального уравнения
Можно отобразить функцию y на графике, где в качестве аргумента будет переменная t. Этот график и будет являться решением дифференциального уравнения. Обратите внимание, что график строится в пределах интервала интегрирования. Особенности оформления и отображения графиков в mathcad 15 смотрите в соответствующем разделе
Рис. 4. Вывод результата решения дифференциального уравнения на график
После корректного решения дифференциального уравнения функцию y(t) можно использовать далее в расчетах
Рис. 5. Результат решения дифференциального уравнения в mathcad 15 и старше
Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.
Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.
Как решать системы дифференциальных уравнений в mathcad
Как решать системы дифференциальных уравнений в mathcad
При решении дифференциального уравнения искомой величиной является функция. Для ОДУ неизвестная функция — функция одной переменной. Дифференциальные уравнения в частных производных — это дифференциальные уравнения, в которых неизвестной является функция двух или большего числа переменных. Mathcad имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения ОДУ. Каждая из этих функций предназначена для численного решения дифференциального уравнения. В результате решения получается матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором множестве точек (на некоторой сетке значений). Для каждого алгоритма, который используется при решении дифференциальных уравнений, Mathcad имеет различные встроенные функции. Несмотря на различные методы поиска решения, каждая из этих функций требует, чтобы были заданы по крайней мере следующие величины, необходимые для поиска решения:
Начальные условия.
Набор точек, в которых нужно найти решение.
Само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде, который будет детально описан в этой главе.
В этом разделе описано, как решить ОДУ, используя функцию rkfixed. Раздел начинается с примера того, как решить простейшее дифференциальное уравнение первого порядка. Затем будет показано, как можно решать дифференциальные уравнения более высокого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от неизвестной функции. На Рисунке 1 показан пример того, как решить относительно простое дифференциальное уравнение:
с начальными условиями: y(0) = 4
Функция rkfixed на Рисунке 1 использует для поиска решения метод Рунге-Кутты четвертого порядка. В результате решения получается матрица, имеющая два следующих столбца:
Первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения.
Второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.
Рисунок 1: Решение дифференциального уравнения первого порядка.
Функция rkfixed имеет следующие аргументы:
y =
Вектор начальных условий размерности n, где n — порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений). Для дифференциального уравнения первого порядка, как, например, для уравнения, приведенного на Рисунке 1, вектор начальных значений вырождается в одну точку y0 = y(x1).
x1, x2 =
Граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, заданные в векторе y, — это значение решения в точке x1.
npoints =
Число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1 + npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixed.
D (x, y) =
Функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.
Наиболее трудная часть решения дифференциального уравнения состоит в определении функции D(x, y), которая содержит вектор первых производных от неизвестных функций. В примере, приведенном на Рисунке 1, было достаточно просто разрешить уравнение относительно первой производной , и определить функцию D(x, y). Иногда, особенно в случае нелинейных дифференциальных уравнений, это может быть трудно. В таких случаях иногда удаётся разрешить уравнение относительно в символьном виде и подставить это решение в определение для функции D(x, y). Используйте для этого команду Решить относительно переменной из меню Символика.
Рисунок 2: Более сложный пример, содержащий нелинейное дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Как только Вы научились решать дифференциальное уравнение первого порядка, можно приступать к решению дифференциальных уравнений более высокого порядка. Мы начнем с дифференциального уравнения второго порядка. Основные отличия от уравнения первого порядка состоят в следующем:
Вектор начальных условий y теперь состоит из двух элементов: значений функции и её первой производной в начальной точке интервала x1.
Функция D(t, y) является теперь вектором с двумя элементами:
Пример, приведенный на Рисунке 3, показывает, как решить следующее дифференциальное уравнение второго порядка:
Рисунок 3: Решение дифференциального уравнения второго порядка.
Уравнения более высокого порядка
Методика решения дифференциальных уравнений более высокого порядка является развитием методики, которая применялась для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Основное различие состоит в следующем:
Вектор начальных значений y теперь состоит из n элементов, определяющих начальные условия для искомой функции и ее производных y, y’ , y». y (n-1)
Функция D является теперь вектором, содержащим n элементов:
Пример, приведенный на Рисунке 4, показывает, как решить следующее дифференциальное уравнение четвертого порядка:
с начальными условиями:
Рисунок 4: Решение дифференциального уравнения более высокого порядка.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Как решать системы дифференциальных уравнений в mathcad
Электронный курс по MathCAD
5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем.(Задача Коши и граничные задачи).
Решение одиночного дифференциального уравнения.
Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом.
Odesolve(x,b,[step]) — Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given. x — переменная интегрирования, действительное число b — конечная точка отрезка интегрирования step — величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)
Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.
Число заданных начальных или граничных условий внутри блока должно быть равно порядку уравнения.
При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные кнопки с панели Math или ‘ (штрих) — [Ctrl+F7], для знака равенства = [Ctrl+=] (в том числе и для дополнительных условий).
Конечная точка должна быть больше начальной.
Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа (f ‘(a)+f(a)=5).
Искомая функция в блоке дложна быть обязательно с аргументом ( f(x))
Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем.
Для численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем могут быть использованы функции: rkfixed(y,x1,x2,n,F) — возвращает матрицу решений системы уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка при фиксированном шаге по x rkadapt(y,x1,x2,n,F) — ищет решение с переменным шагом ( там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем rkfixed Bulstoer(y,x1,x2,n,F) — дает более точное решение (методом Bulirsch-Stoer) Агрумкнты вышеуказанных функций: y — вектор начальных условий x1,x2 — границы интервала для поиска решения n — количество точек на интервале F(x,y) — вектор-функция первых производных При решении дифференциальных уравнений порядка выше первого (или систем уравнений, выше первого порядка) исходное уравнение (систему) необходимо преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка. В результате работы укзанных функций рассчитывается матрица, количество стобцов которой равно порядку уравнения +1(или сумме порядков уравнений в системе +1), а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй — значение функции, третий — для диф. уравнений 2-го порядка — значение производной искомой функции (если решается система двух уравнений 1-го порядка, то третий столбец будет содержать значения второй функции). Для выделения решений (функций или их производных) можно воспользоваться стандартным оператором вывода столбцов матрицы M < > Если матрица правых частей дифференциальных уравнений почти вырождена, то такие системы называются жесткими. В этом случае решения, возвращаемые функцией rkfixed будет неустойчивым и для решения таких систем необходимо применять функции Stiffb , StiffrStiffb(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Bulirsch-Stoer Stiffr(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Rosenbrock
Первые пять аргументов такие же,как и при решении хорошо обусловленных систем дифференциальных уравнений . Дополнительный аргумент — матрица J размером nx(n+1), первый столбец которой содержит частные производные dF/dx, остальные столбцы и строки представляют собой матрицу Якоби dF/dy
Пример решения жесткой системы дифференциальных уравнений. Для отыскания решения системы диф. уравнений только в конечной точке используются функции bulstoer,rkadapt, stiffb, stiffr (начинаются с прописной буквы).
Набор парамтров для этих функций : bulstoer(y,x1,x2,acc,F,kmax,save) rkadapt(y,x1,x2,acc,F,kmax,save) stiffb(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save) stiffr(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save) Первые три параметра и пятый (F) этих функций те же, что идля функции Rkadapt. Дополнительные параметры: acc — параметр, контролирующий точность решения (реком. асс=0.001) kmax — максимальное число промежуточных точек в которых ищется решение save — минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение
Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Если для дифференциального уравнения n-го порядка k граничных условий заданы в начальной точке х1, а (n-k) граничных условий — в конечной точке х2, то такая задача называется краевой. В MathCAD реализованы две функции, позволяющие численно найти недостающие условия в точках х1 и х2. Двухточечная краевая задача Задача решается в два этапа. Сначала с помощью функции sbval находятся недостающие начальные значения, а затем применяется одна из выше описанных функций для решения стандартной задачи Коши на отрезке. sbval(v,x1,x2,F,load,score) — ищет недостающие начальные условия в точке х1 v — вектор началных приближений для искомых начальных значений в точке х1, х1,х2 — граничные точки интервала F(x,y) — вектор-столбец из n элементов, содержит правые части дифференциальных уравнений load(x1,v) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения. score(x2,y) — вектор-столбец размерности вектора v, содержащий разность между начальным условием в точке х2 и значеием искомого решения в этой точке. Краевая задача с условиями внутри интервала. На первом этапе используется функция balfit(V1,V2,x1,x2,xf,F,load1,load2,score) — ищет недостающие начальные условия в точках х1 и х2, сшивая решения, выходящие из этих точек, в точке xf V1,V2 — вектора началных приближений для искомых начальных значений в точках х1 и х2 х1,х2 — граничные точки интервала load1(x1,V1) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения load2(x2,V2) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х2; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения. score(xf,y) — вектор-столбец размерности n, содержащий разность между решениями, начинающимися в точках х1 и х2, в точке xf
MathCAD — это просто! Часть 21. Продолжаем борьбу с дифференциальными уравнениями
Итак, в прошлый раз, если вы помните, мы с вами поговорили об аналитическом решении дифференциальных уравнений. Процесс это, как мы убедились, совершенно несложный, однако имеющий один существенный и неоспоримый минус — совсем не факт, что мы сможем аналитически получить решение дифференциального уравнения даже тогда, когда наверняка знаем, что оно существует.
Мы с вами уже говорили когда-то о символьном процессоре MathCAD, и я рассказывал вам, что он, мягко говоря, далеко не всемогущ, и уж точно не настолько всемогущ, чтобы решать абсолютно все, что ему подсунет пользователь. В общем-то, причина этого вполне понятна: решение многих математических задач требует творческого подхода — откровенно говоря, лишь в очень малом числе задач оно лежит достаточно близко к поверхности, чтобы его сходу мог найти математический процессор MathCAD’а. Хотя алгоритмы, лежащие в его основе, чрезвычайно сложны (в отличие, кстати, от тех, на которых построены численные способы решения), они вовсе не безупречны и даже близко не приближают компьютер по мыслительным и аналитическим способностям к человеку. Когда речь идет о дифференциальных уравнениях, все сказанное не просто верно, а верно в квадрате. Дифференциальные уравнения сами по себе довольно сложны и коварны, и потому не зря, как я говорил в прошлый раз, вызывают трепет у студентов, имеющих «удовольствие» их изучать. Конечно, существуют выработанные многими поколениями математиков способы решения основных типов дифференциальных уравнений, однако в реальных задачах (особенно физических и технических) иногда возникают уравнения, которые сложно решить с помощью классических формул. И символьный процессор MathCAD’а тоже опускает руки. Как быть в этом случае? Сдаться и признать такое уравнение нерешаемым? Думаю, вряд ли это такая уж хорошая идея. Гораздо эффективнее вооружиться тем инструментом, который придуман специально для решения того, что невозможно решить аналитически — численными методами. Изначально MathCAD проектировался и создавался именно как средство численного решения математических задач, а потому это удается ему особенно хорошо. Решать дифференциальные уравнения в этой мощной математической среде численно ничуть не сложнее, чем аналитически, и сейчас вы сможете в этом воочию убедиться.
Небольшое отступление
Чтобы лучше понимать суть численного решения дифференциальных уравнений, стоит сначала напомнить, что именно представляют собой решения дифференциальных уравнений. Для простоты остановимся на простейшем (простите за тавтологию, но здесь она неизбежна) случае — обыкновенном дифференциальном уравнении с одной переменной первого порядка (т.е. только с первыми производными). Давайте вспомним, что именно мы ищем, решая дифференциальное уравнение? Ищем мы некоторую функцию, которая будет удовлетворять данному уравнению — то есть при подстановке в него превращать его в тождество (верное числовое равенство). Такая функция может существовать, а может и нет. Будем считать, что она существует — ведь в противном случае получается, что дифференциальное уравнение, которое мы пытаемся решить, на самом-то деле нерешаемо. Как мы помним, любое дифференциальное уравнение должно включать в себя хоть одну производную искомой величины — иначе оно не будет дифференциальным, и решать его нужно будет с помощью методов, применяемых к обычным уравнениям. Но, поскольку уравнение содержит производные — значит, его решение верно с точностью до константы. То есть, вообще говоря, решений бесконечное множество, и каждое отличается от другого каким-то постоянным членом. Ведь при дифференцировании любая постоянная обращается в ноль, и, значит, решение с любой константой будет верным.
Если интерпретировать геометрически решения дифференциального уравнения, мы получим семейство кривых, проходящих через все точки плоскости. Для того, чтобы выделить из этих всех кривых какую-то одну, на уравнение накладывают дополнительные ограничения. Формулироваться эти ограничения могут либо в виде задачи Коши, либо в виде граничной задачи. Задача Коши определяет заданную кривую с помощью задания значений самой искомой функции и ее производных (для уравнений высших порядков) в какой-то определенной точке. Граничная же задача формулируется как задание значений функции на границах искомого отрезка. Физическая интерпретация этих двух ограничений такова: задача Коши определяет решение временной задачи, задавая значения переменных в начальный момент времени. Граничная же задача (она также часто называется краевой) нужна для решения пространственных задач: она определяет начальные значения переменных в рамках какой-то пространственной области. Решение этих двух типов задач численно в MathCAD’е отличается, и вы сами сможете убедиться в том, что отличия эти порой довольно-таки существенны. Поэтому мы пойдем, как водится, от простого к сложному и начнем решение дифференциальных уравнений с рассмотрения задачи Коши.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Давайте посмотрим, как можно решать задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. В качестве уравнения возьмем простое до ужаса dX(t)/dt + X(t) = 0. Думаю, вы сможете сразу сказать, что за выражение будет решением данного уравнения. Конечно же, это экспонента с показателем минус t. Тем не менее, для того, чтобы удостовериться, что MathCAD правильно решает дифференциальные уравнения численными методами, мы подсунем это простейшее уравнение ему и посмотрим, как он с ним справится. Для того, чтобы показать MathCAD’у, где начинается условие нашей задачи Коши, мы должны воспользоваться ключевым словом MathCAD’а — Given (обязательно писать его с большой буквы, поскольку, как вы помните, среда MathCAD чувствительна к регистру букв в именах переменных, функций и ключевых слов). После того, как записано это слово, мы должны записать начальные условие. Поскольку у нас уравнение первого порядка, то оно у нас будет всего одно — например, можно написать X(0) = 1. Далее (то есть под начальным условием) мы должны записать само дифференциальное уравнение, решением которого мы нагрузим MathCAD. Ну, а для поиска решений мы применим функцию Odesolve. У функции этой предусмотрено два (в нашем случае) параметра. Первый — это имя переменной, по которой будет проводиться интегрирование уравнения (в нашем случае, сами понимаете, выбирать, собственно говоря, не из чего — это будет t), а второй параметр — конечное значение интегрирования, задающее верхнюю границу того интервала, для которого MathCAD будет искать решение нашего уравнения. Собственно, после функции Odesolve уже можно ничего и не писать — если уравнение имеет решения, то оно обязательно будет решено.
Не писать-то, конечно, можно, только это не лучший вариант. Как проверить решение уравнения? Исходя из того, что у нас сейчас простейший одномерный случай, проще всего построить график этого решения. По нему отлично видно, что MathCAD самым что ни на есть замечательным образом справился с поставленной перед ним задачей и решил уравнение именно так, как оно и должно решаться: перед нами — не что иное, как график экспоненциальной функции с отрицательным показателем.
Здесь, правда, возможны некоторые накладки. Совсем недавно мы с вами, если помните, говорили об использовании комплексных чисел в MathCAD’е. При решении дифференциальных уравнений MathCAD также по умолчанию оперирует именно комплексными числами, и это отнюдь не случайно: ведь комплексные решения получаются в дифференциальных уравнениях гораздо чаще, чем действительные. И если у вашего уравнения будут комплексные корни, то MathCAD не сможет построить его график, и тогда нужны будут другие способы знакомства с решением — можно будет, скажем, построить таблицу решения в определенных ключевых точках и посмотреть, какие они имеют значения.
Краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений
Давайте теперь еще коротко поговорим о решении граничной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью функции Odesolve, в общем-то, решать ее нужно будет точно так же, как и задачу Коши — с той только, конечно, разницей, что вместо начального условия нужно записать граничные. В качестве простой иллюстрации рассмотрим дифференциальное уравнение d2X(t)/dt2 + dX(t)/dt + X(t) = 0. Граничные условия будут такими: X(0) = 10, X(10) = 0. Конечно, теперь уже такую простую аналитическую формулу решения, как для первого уравнения, нам подобрать не удастся, однако в этом нет ничего страшного, потому что MathCAD сможет ничуть не хуже построить график решения нашего обыкновенного дифференциального уравнения.
Конечно, использование функции Odesolve — не единственный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MathCAD, однако он достаточно удобен в силу своей простоты. В следующий раз мы с вами, конечно, познакомимся и с другими способами их решения, которые предлагает пользователю эту мощная математическая среда, но пока что достаточно — нехорошо перегружать читателя информацией, особенно по такому сложному предмету, как дифференциальные уравнения. Пусть даже MathCAD и облегчает их решение, все равно лучше не торопиться с тем, чтобы в них въехать.
Подведем итоги
Что ж, давайте подытожим все то, о чем мы с вами успели сейчас поговорить. Как обычно, итоги будут простыми и жизнеутверждающими. Численное решение дифференциальных уравнений — гораздо более универсальный способ их решения, чем аналитическое решение, поскольку численные методы как раз и создавались для тех случаев, когда искать аналитическое решение не слишком удобно или попросту абсурдно. Правда, конечно, в результате численного решения мы не получим простую и красивую формулу (хотя, когда речь идет о дифференциальных уравнениях, весьма наивно ожидать ее получение и в результате аналитического решения). Зато мы получим хоть какой-то результат — а это, согласитесь, гораздо лучше, чем отсутствие вообще любого результата. То есть, как говорит мудрая пословица, лучше синица в руках, чем журавль в небе. Это как раз таки именно тот самый случай. Решать численно дифференциальные уравнения в MathCAD, как вы могли убедиться, совсем не сложно, однако, естественно, везде есть свои тонкости, и численные методы совсем не панацея. Немного об этом рассказано в справке самого MathCAD’а, и именно ее чтением вы можете заняться, чтобы не терять время зря в ожидании следующей статьи из серии «MathCAD — это просто».
SF, spaceflyer@tut.by
Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 35 за 2008 год в рубрике soft
Нелинейные дифференциальные уравнения, дискретность пространства-времени и эпсилон произведение
Всё содержание этой статьи является следствием решения задачи уровня первого года институтского курса математического анализа.
Здесь мы вводим новое произведение для решетчатых функций (мы будем называть его эпсилон-умножением), что дает нам возможность увидеть интересную связь между интегрально-дифференциальными уравнениями (в том числе и нелинейными) и рекуррентными соотношениями. Это позволяет с необычного ракурса взглянуть на некоторые методы их решения.
Но, что мне показалось особенно интересным, это то, что новое произведение также позволяет нам «порассуждать» о таких фундаментальных вещах, как непрерывность пространства-времени. Это рассуждение, конечно, нужно рассматривать, скорее, как интеллектуальное упражнение.
Мне показалось, что этот математический ребус или, если хотите, небольшое математическое путешествие на уровне знаний первого-второго курса технического ВУЗа может заинтересовать читателей Хабра, интересующихся математикой.
вы не увидите никаких ссылок и, вообще, всё это результат размышлений отдельно взятого человека
возможно (и даже скорее всего), всё это и не ново, и, возможно, некоторые термины, которые я использую не соответствуют математической традиции, но так как это не научная публикация, здесь нет претензии на новизну и всё это довольно просто, то это терминологическое отличие, на мой взгляд, не является чем-то действительно важным
Краткое изложение
В этой статье речь будет идти о двух типах функций (определенных в области действительных чисел): аналитических и решетчатых.
Точнее речь будет идти об аналитических справа от нуля функциях, которые мы будем обозначать заглавными буквами и о решетчатых функциях, определенных на множестве целых неотрицательных чисел (), для обозначения которых мы будем использовать строчные буквы . Множество таких решетчатых функций мы будем обозначать как . Точные определения этих функций будут приведены ниже в данной статье
Иногда, в примерах мы будем расширять наш подход и на область комплексных чисел. Строго говоря, это должно быть обосновано. Но я опускаю это обоснование (как и доказательства некоторых других утверждений), чтобы не перегружать и так длинную статью
Мы установим взаимно однозначное соответствие между функциями из этих двух классов. Мы также введем новые операции для решетчатых функций. Эти операции будут аналогичны «обычным» операциям над «обычными» функциями. Мы будем отличать эти новые операции добавлением приставки «эпсилон». Так «обычной» производной будет соответствовать эпсилон-производная, обычному произведению — эпсилон-произведение, обычному интегрированию — эпсилон-интегрирование и т.д. При этом, если операция остается неизменной (как в случае суммирования и вычитание) название меняться не будет.
Одна из основных целей введения этих операций проста — сохранить свойства производной произведения функций:
Что в случае решетчатых функций () будет выглядеть как
где — левый оператор эпсилон-производной — эпсилон-умножение
Это позволит нам (по аналогии, например, с преобразованием Лапласа) ввести новое преобразование, которое мы будем называть эпсилон-преобразованием. Это даст нам возможность преобразовывать в общем случае нелинейные интегрально-дифференциальные уравнения в рекуррентные выражения и решать их (численно или аналитически), соответственно, рекуррентными методами.
Также справедливо и обратное: мы получаем возможность решать рекуррентные соотношения методами интегрально-дифференциальных уравнений
Важным фактом при этом является то, что при стремлении шага решетчатой функции к нулю (), все наши эпсилон-функции, эпсилон-операции и рекуррентные уравнения стремятся к «обычным» функциям (аналитическим справа от нуля), обычным операциям между ними и обычным интегрально-дифференциальным уравнениям.
Но тогда, это наводит на фундаментальный вопрос: а не является ли эпсилон-умножение «истинным» умножением в нашем физическом мире (по крайней мере там, где речь идет о пространстве или о времени)?
Так, например, говоря о времени, при достаточно малом шаге (например, порядка Планковского времени сек) эпсилон-уравнение Шредингера c для временных процессов с характерным временем (или в области частот с частотами ) будет давать тот же результат, что и обычное уравнение Шредингера, но при этом, естественным образом вводится квантование времени.
В принципе, аналогичное рассуждение возможно и для пространства.
Обозначения, используемые в статье
— строчными буквами мы будем обозначать решетчатые функции, определенные на множестве , где , . В зависимости от контекста (или подобное, например, ) может быть или обозначением самой решетчатой функции или значением этой функции в точке
— множество всех функций определенных выше
— иногда, для обозначения функции для простоты будем писать просто
— заглавными буквами мы будем обозначать «обычные» функции. Все подобные функции в данной статье будут аналитическими справа от нуля функциями (определение будет дано ниже в статье)
— шаг решетчатой функции: . В зависимости от контекста может быть или обозначением самой решетчатой функции или значением этой функции в точке
— левый оператор, обозначающий производную дифференцируемой функции:
— левый оператор, обозначающий эпсилон-производную решетчатой функции:
— левый оператор, введенный для удобства записи некоторых выражений, и обозначающий производную дифференцируемой функции, применяемый только к функции (или к производной функции любого порядка) в произведении функций, например,
— единичный левый оператор для решетчатой функции:
— эпсилон-производная решетчатой функции:
— левый оператор, введенный для удобства записи некоторых выражений, и обозначающий эпсилон-производную решетчатой функции, применяемый только к решетчатой функции (или эпсилон-производной функции любого порядка) в произведении (обычном) решетчатых функций, например,
— -ая эпсилон-степень функции . Так, например,
— -ая эпсилон-производная функции . Так, например,
Если , то и являются эпсилон-сопряженными, при этом является эпсилон-образом и — эпсилон-прообразом
Краткая логика статьи
Здесь изложена логическая структура статьи. Кому-то этого будет достаточно для понимания всей статьи и таким образом сохранит его время.
Мы будем рассматривать решетчатые функции ,…, определенные на множестве , где , .
При этом может быть любым положительным действительным числом. Поэтому иногда в примерах, в тех случаях, когда мы не используем стремление , мы принимаем для простоты
Здесь три эквивалентные формулы для эпсилон-произведения:
свойства обычного умножения, такие как коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование единицы (единственной) и нулевого элемента (единственного)
для производной эпсилон-произведения решетчатых функций мы имеем ту же формулу, что и для производной произведения (обычных) дифференцируемых функций:
Позже будет показано что и , а также и являются попарно эпсилон-сопряженными
Если эпсилон преобразование обозначить через , то этот факт можно записать, как
Теперь для решения нелинейных дифференциальных уравнений мы можем применить следующую схему:
ДУ РС (решение РС) (решение ДУ)
решение линейного дифференциального уравнения гармонических колебаний
решение нелинейного дифференциального уравнения (Бесселя)
решение линейного рекуррентного уравнения (формула для чисел Фибоначчи)
Это уравнение предполагает непрерывность пространства времени и возможность бесконечно малой величины и (что заложено в том факте, что мы используем дифференцирование), что в случае квантовой механики подразумевает бесконечную энергию, что невозможно.
Решетчатые функции и эпсилон-производная
Решетчатая функция и множество
Решетчатые функции — это функции, определенные на дискретном множестве действительных чисел с постоянным шагом. Мы будем рассматривать только функции, определенные на множестве , где , . Так, например, такой функцией будет , где — целое неотрицательное число. При этом . Будем обозначать множество таких функций через . Все решетчатые функции, которые мы будем рассматривать ниже будут принадлежать этому множеству .
Пример решетчатой функции
Эпсилон-производная
Будем называть эпсилон-производной функции в следующую величину:
Соответственно, функцию, значение которой в для любого равно эпсилон-производной функции в , мы будем называть эпсилон-производной функции и обозначать как (или просто ).
Очевидно, что функция и поэтому по отношению к ней можно еще раз применить эпсилон дифференцирование, и т.д. Мы будем обозначать символом -ю -производную функции. По индукции легко доказывается, что
Эпсилон-интегрирование
Процедуру, обратную эпсилон-дифференцированию, назовем соответственно эпсилон-интегрированием. Функцию , значение которой в для любого
будем называть эпсилон-первообразной функции .
Эпсилон производная произведения
К сожалению, эпсилон-производная не обладает свойствами обычной производной. Так, например, очевидно, что в общем случае
Часть отличает эту «производную» от обычной производной произведения дифференцируемых функций. В случае решения численными методами нелинейных дифференциальных уравнений это дает дополнительную погрешность в вычислениях.
Это дополнительное слагаемое приводит также, в частности, к тому, что мы не можем применить обычную формулу Тейлора для разложения решетчатой функции в ряд
Теперь давайте представим, что у нас не было бы этого дополнительного члена. Чтобы нам это могло дать?
По крайней мере, мы могли бы применять некоторые методы решения дифференциальных уравнений для решения рекуррентных уравнений (уравнений с функциями из множества ). Например, мы имели бы разложение в ряд Тейлора, мы смогли бы пользоваться интегрированием (эпсилон-интегрированием) по частям, применять преобразования (эпсилон-преобразование) Лапласа. Но в действительности все даже интереснее, и этому и посвящена данная статья.
Но как избавиться от этого дополнительного элемента? Мы можем создать, например, другое умножение (эпсилон-умножение).
Базовая задача
Это именно та задача, следствием решения которой и является вся эта статья.
Мы хотим найти такую формулу для эпсилон-произведения , чтобы удовлетворялись следующие требования:
выполнялись бы свойства обычного умножения, такие, как коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование единицы (единственной) и нулевого элемента (единственного)
для эпсилон-производной эпсилон-произведения решетчатых функций мы должны иметь ту же формулу, что и для производной произведения (обычных) дифференцируемых функций, то есть
Эпсилон-умножение
Всем этим свойствам удовлетворяет функция , определяемая как (все три формулы эквивалентны):
, где — биномиальный коэффициент Ньютона: , ()
Чтобы не перегружать статью мы не будем приводить доказательства, но первые два свойства доказываются легко, последнее — не так очевидно
Чтобы немного освоиться с новым произведением, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. (умножение на число)
Если для некоторой функции все элементы , где — любое действительное число, то для любой функции элементы эпсилон-произведения равны .
Это легко можно увидеть из первой формулы эпсилон-умножения.
Как результат мы получаем, что единичным элемент эпсилон-умножения является функция все элементы которой равны 1, а нулевым элементом — со всеми элементами равными 0.
Пример 2. (эпсилон степень)
Из определения эпсилон-произведения легко найти эпсилон-степень , которая является эпсилон-аналогом (в следующей главе будет введено определение эпсилон-образа) функции :
Таким образом получаем, что эпсилон-аналог (далее будет введено понятие эпсилон-образа) функции является функция
Очевидно, что равна нулю для
Теперь формула для эпсилон-производных эпсилон-степени находится в полном соответствии с обычной производной обычной степени, так например,
В последней формуле пропущено , что не является проблемой, т.к. может быть любым (, ), в том числе и 1. Конечно, мы не должны забывать про , если исследуется зависимость от него, например, при
Эпсилон-ряд Тейлора
Теперь мы имеем полный аналог разложения Тейлора:
Будем называть этот ряд эпсилон-рядом Tейлора, а само разложение — эпсилон-разложением в ряд Tэйлора.
Эпсилон преобразование
Определение. (Эпсилон преобразование)
Пусть такое, что на множестве ряд Tэйлора функции в правой окрестности нуля сходится к самой функции. Тогда функцию мы будем называть аналитической функцией в нуле справа. Тогда функции и будем называть эпсилон-сопряженными, если для любого целого или нулевого -ая производная справа функции в нуле равняется -ой эпсилон-производной функции в нуле.
Функцию тогда будем называть эпсилон-образ или в случае, если эта функция имеет название (например, cos), то будем называть просто эпсилон-‘название функции’ (например, эпсилон-косинус) и обозначать как »обозначение функции» (cos). Функцию будем называть эпсилон-прообраз функции .
Пример 1. (Эпсилон-экспонента)
Найдем формулу для эпсилон-экспоненты, которую мы в соответствии с оговоренным правилом будем обозначать . Пусть произвольное комплексное число. Найдем функцию эпсилон-сопряженную функции
При этом очевидно, что , поэтому предыдущее равенство мы будем записывать в виде (хотя эта запись и не совсем корректна):
Такой вид записи мы будем использовать и для других эпсилон-функций.
Пример 2. (Эпсилон-косинус, эпсилон-синус)
Найдем формулу для эпсилон-косинуса и эпсилон-синуса. Пусть — действительное число. Tогда
Пример 3. (Эпсилон-умножение на икс в эпсилон-степени)
Найдем эпсилон-ряд Тейлора для
где — неотрицательное целое число
Найдем производные в нуле справа для функции
Тогда эпсилон-ряд Тейлора для эпсилон-сопряженной функции можно записать как
В дальнейшем будет показано, что эта формула справедлива также и для отрицательных целых , что значит, что эта формула справедлива для любых целых
Эпсилон-преобразования операций
В данной таблице и в следующей функции и , а также и — попарно эпсилон-сопряженные, то есть
Тогда операции преобразовываются (в результате эпсилон-преобразования) следующим образом:
Эпсилон-преобразование некоторых аналитических функций
Разложение в эпсилон-ряд Тейлора
Эта формула становится очевидной, если мы заметим, что оператор является оператором смещения на шагов:
Эпсилон-преобразование Лапласа
Мы можем также ввести эпсилон-преобразование Лапласа и пользоваться им также, как и обычным преобразованием Лапласа но применительно к решетчатым функциям , но это выходит за рамки целей данной статьи.
Примеры эпсилон-преобразований для тригонометрических формул
В силу вышесказанного мы можем записать, например, аналоги тригонометрических формул
Но все же эпсилон-косинус и эпсилон-синус не обладают в отличии от обычного косинуса и синуса одной важной чертой — они не периодичны. Действительно,
при этом функции и — периодические функции с периодом . Поэтому функции и — не периодические функции, с нулями в точках и соответственно, при этом »размах» между минимумами и максимумами при увлечении возрастает как .
Соответственно для эпсилон-экспоненты имеем
Примеры решения дифференциальных уравнений методом эпсилон-отображения
Пример 1. Гармонические колебания
Давайте начнем с решения линейных дифференциальных уравнений и в качестве примера возьмем уравнение гармонических колебаний:
Распишем процедуру решения по шагам.
Шаг 1. (Эпсилон преобразование)
Получили рекуррентное уравнение.
Далее, в зависимости от того, хотим ли мы найти приблизительное решение численными методами или хотим найти точное аналитическое решение, последовательность шагов может быть разной.
Если мы ищем точное решение, выраженное формулой, то последовательность шагов может быть следующей.
Шаг 2. Аналитическое решение. (Эпсилон-производные функций в нуле всех порядков)
Находим формулу для -ой эпсилон-производной для нашего рекуррентного выражения и находим рекуррентное выражение для всех эпсилон-производных в нуле.
Берем значение в нуле
Шаг 3. Аналитическое решение. (Коэффициенты ряда Тейлора)
Будем для определенности считать, что начальное смещение , а начальная скорость . Тогда имеем:
Шаг 4. Аналитическое решение. (Ряд Тейлора для искомой функции)
Если же мы хотим решать численным методом (приблизительное решение), то
Шаг 2. Численное решение. (Находим значения )
Для наглядности в данном примере мы будем сохранять и в наших формулах, но в реальном численном расчёте вместо должно быть подставлено его численное значение, а вместо может быть подставлено любое положительное число , например,
Решаем последовательно для значений , начиная с 0. Чем больше значений будет найдено, тем больше коэффициентов ряда Тейлора нам будет известно, и, соответственно, тем точнее будет результат.
Для определенности, как и в предыдущем случае, будем считать, что начальное смещение , а начальная скорость 1. Имеем:
Шаг 3. Численное решение. (Эпсилон-производные в нуле)
Шаг 4. Численное решение. (Ряд Тейлора для искомой функции)
Имея необходимое для точности наших вычислений количество (или все, если получилось найти аналитическую формулу) эпсилон производных в нуле, мы можем построить ряд Тейлора для эпсилон-сопряженной функции, что и будет решением:
Подставляя значения эпсилон производных для нашего случай получим
Таким образом мы можем с точностью до любого члена разложения в ряд Тейлора найти нашу искомую функцию.
В данном случае, конечно, не было особого смысла использовать эпсилон-преобразование, и мы привели это лишь, как пример, чтобы продемонстрировать подход
Пример 2. Уравнение Бесселя
Теперь давайте применим этот метод для решения для чего-то более интересного. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение, например, уравнения Бесселя.
Шаг 1. (Эпсилон преобразование)
Шаг 2. Аналитическое решение. (Эпсилон-производные функций в нуле)
Берем -ую эпсилон-производную в нуле. Получаем формулу
Шаг 3. Аналитическое решение. (Коэффициенты ряда Тейлора)
Будем последовательно находить значения эпсилон-производных в нуле:
Пусть — -ый коэффициент эпсилон-ряда Тейлора. Тогда предыдущее равенство можно записать в виде
Мы видим, что если не целое число и не 0, то все коэффициенты ряда Tейлора равны 0. Если целое или ноль, то это говорит о том, что -тый коэффициент эпсилон-ряда Tейлора может быть не равен нулю и его выбор произволен и определяется требованиями нормировки. При этом для коэффициенты эпсилон-ряда Тейлора также не равны 0, а для ( — натуральное) — равны 0.
Найдем — ые коэффициенты эпсилон-ряда Тейлора. Подставляя вместо получим
Тогда легко получить, что -ый член разложения в эпсилон-ряд Tэйлора имеет вид
Шаг 4. Аналитическое решение. (Ряд Тейлора для искомой функции)
Тогда для неотрицательных целых , принимая получим формулу
что соответствует известной формуле функции Бесселя первого рода для целых, неотрицательных .
Для всех других решений — не существует разложения в ряд Tэйлора в нуле.
Пример 3. Числа Фибоначчи
Теперь рассмотрим, как можно решать рекуррентные уравнения с помощью эпсилон-преобразования.
Рассмотрим числа Фибоначчи, которые задаются следующим рекуррентным соотношением:
, при этом, , , откуда следует, что
Это можно записать как или
Будем считать, что . Tогда получим ,
Шаг 1. (Обратное эпсилон-преобразование)
Выполняя обратное эпсилон-преобразование получим
Шаг 2. (Решаем дифференциальное уравнение)
Мы можем решить это уравнение через преобразование Лапласа. Применим преобразование Лапласа. Получим
где , — корни уравнения и соответственно равны:
Шаг 3. (Производим прямое эпсилон-преобразование)
Теперь запишем функцию, являющуюся эпсилон-образом .
Соответственно, при получаем известную формулу
Свойства эпсилон-отображения при ε → 0
Обратное эпсилон-преобразование можно осуществить просто устремив
Это можно сформулировать более строго в виде теоремы, которую я приведу без доказательства.
Пусть функции и — эпсилон-сопряженные для любого . Тогда, при стремлении , при условии, что (где имеет тот же смысл, что и в определении эпсилон-отображения ), значение на множестве стремится к , то есть
Не аналитические функции
деление на икс в эпсилон-степени
До сих пор мы говорили только об аналитических (справа от нуля) функциях.
Можно ли «расширить» этот подход и на другие функции?
В качестве примера, попробуем найти эпсилон-образ для функции , где — натуральное число. Для этой функции нет разложения в ряд Тейлора в 0. Обозначим этот эпсилон-образ в соответствии с нашим подходом как . Пусть
Если , то получим, что
, таким образом получаем, что
для любого целого (а не только для )
Эпсилон-произведение и дискретность пространства-времени
Все сказанное выше наводит на фундаментальный вопрос: a не является ли эпсилон-умножение «истинным» умножением в нашем физическом мире (по крайней мере там, где речь идет о пространстве или о времени)?
Рассмотрим, например, одномерное уравнение Шредингера:
Это уравнение предполагает непрерывность пространства-времени и возможность бесконечно малой величины и (это неявно принимается, если мы используем дифференцирование). Если говорить о времени, то это подразумевает бесконечную энергию, что противоречит современным представлениям о вселенной.
Чтобы не усложнять рассуждения, давайте рассмотрим случай когда не зависит от . В этом случае можно записать в виде:
Но ведь — это аналитическая функция, значит мы можем применить к ней наш подход, то есть мы можем сделать эпсилон-преобразование (относительно времени) нашего исходного уравнения Шредингера и мы получим
То есть при очень меленьком шаге времени (кванте времени) не существенном для наших расчетов, мы не увидим разницы между решением (обычного) уравнения Шредингера и решением эпсилон-уравнения Шредингера.
Но тогда это значит, что мы не можем в действительности сказать, какое произведение является «истинным» («используется» природой) — наше обычное или эпсилон-произведение (с достаточно малым квантованием времени).
При этом в случае эпсилон-произведения (и соответственно эпсилон-уравнения Шредингера и его эпсилон-волнового решения), мы имеем очевидный плюс — квантование времени становится естественным, и мы не сталкиваемся с требованием бесконечной энергии. Фактически мы имеем все то же уравнение, с теми же решениями, но при этом естественным образом устраняем необходимость допущения непрерывности времени.
Когда мы говорим о дискретности какой-либо измеряемой сущности, имеется ввиду то, что существуют четко отграниченные, неделимые элементы, из которых эта сущность состоит. Но когда мы говорим о дискретности пространства или о времени, то возможна также и иная интерпретация. Например, возможно, при достаточно малых значениях или/и уже нет смысла говорить о времени или о пространстве. Время и пространство, возможно, перестают существовать для этих величин. Таким образом мы получаем некие «размытое пятна» вместо точек, которые можно рассматривать как точки при или/и . В данном случае нельзя выделить кванты, но также нельзя говорить и о непрерывности. Но даже в этом случае мы также можем использовать описанный здесь эпсилон-подход, предполагая, что — это те минимальные или/и , когда еще имеет смысл говорить о времени или/и пространстве (грубо говоря, это усредненный размер «пятна»).
Как проверить?
Итак, если время дискретно с «шагом» , а »истинным» умножением является эпсилон-умножение с шагом дискретности времени, то как это может проявиться? Можно ли поставить мысленный или реальный эксперимент и понять, какое произведение является «истинным» и какой шаг (квант) при этом используется?
Можно привести некоторые оценки, для понимания насколько сильно изменились бы наши представления о мире, если «истинным» было бы именно «эпсилон-умножение» (а не обычное умножение).
Тогда для имеем:
частота будет отличаться от частоты синусоидального колебания и будет равняться
Пример 1. Изменения за время жизни вселенной
Предположим, что наша временная дискретность сравнима с Планковским временем:
Время жизни вселенной:
Найдем для каких частот за время жизни вселенной амплитуда колебаний могла измениться, например, на 0,5%.
Это значит, что для частот порядка 1 TГц (или для частиц с энергией эВ) за время жизни вселенной амплитуда (волновой функции) изменилась бы на порядка один процент (порядок). То есть понятно, что как минимум в обычной жизни мы никак не можем это увидеть.
Пример 2. Изменения за секунду
Давайте оценим во сколько раз изменится амплитуда волновой функции частицы с ультравысокой энергией порядка эВ за одну секунду.
эв по порядку соответствует Гц
То есть за секунду амплитуда волновой функции такой частицы увеличится в 100 тысяч раз (порядок).
Выглядит существенным. Но как это обнаружить? Дело в том, что физический смысл имеет не сама волновая функция, а , а в случае эпсилон-образа это будет . Но
Что говорит о том, что как раз величина, которая имеет физический смысл меняться не будет, и данный подход не позволит нам ответить на поставленный вопрос.
Ответы на вопросы из комментариев
Как было получено эпсилон-произведение
Разложим обычное произведение двух аналитических функций в ряд Тейлора (в точке 0). В компактном виде это разложение можно записать как:
— это краткое обозначение оператора
Заменим теперь в формуле обычного произведения операторы производной на операторы эпсилон-производной, экспоненту на (как было показано, это и есть эпсилон-экспонента) и наши аналитические, непрерывные функции на решетчатые функции (из ) .
Это и будет нашим искомым эпсилон произведением, которое, как мы увидим удовлетворяет всем нашим требованиям:
, где — единичный левый оператор для решетчатой функции:
Раскрыв скобки, мы получим следующий вид
что в компактном виде можно записать как:
Далее раскрывая скобки можно получить еще одну формулу:
