Как решать уравнения в wolfram mathematica

Как решить уравнение в mathematica

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

NovaInfo55, с. 5-9
Опубликовано 20 ноября 2016
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 49
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Ключевые слова

Текст научной работы

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в 4.

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение y’=\frac

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

Читайте также

Математическая подготовка студентов в вузе в контексте будущей профессиональной деятельности

Использование прикладных программ при изучении математической статистики

Применение систем компьютерной математики при изучении комплексного анализа

Организация самостоятельной работы студентов в условиях информационно-образовательной среды вуза

Системы компьютерной математики в решении дифференциальных уравнений

Список литературы

1. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
2. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.
3. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.
4. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.
5. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
6. Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.
7. Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Цитировать

Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 23.02.2022).

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.

Как решать уравнения в wolfram mathematica

7. Уравнения и системы уравнений

Многие математические задачи сводятся к решению в общем случае нелинейных уравнений вида f(x) = 0 или f(x) = expr.

В системе Mathematica они обозначаются как eqns (от слова equations — уравнения). Разумеется, могут решаться и системы, состоящие из ряда таких уравнений.

Для решения уравнений (как одиночных, так и систем) в численном и символьном виде Mathematica имеет функцию Solve:

• Solve [eqns, vars] — предпринимает попытку решить уравнение или систему уравнений eqns относительно переменных vars;
• Solve [eqns, vars, elims] — пытается решать уравнения eqns по переменным vars, исключая переменные elims.

Входные параметры этой функции могут быть представлены списками или записаны выражениями через объединительный знак«&&». В eqns в качестве знака равенства используется знак «= =». Примеры применения функции Solve представлены на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Примеры решения уравнений

Обратите внимание на то, что в определенных ситуациях система подсказывает тонкости решения, выдавая предупреждающие сообщения. Если такие ситуации не являются ошибками, препятствующими решению, то полученное решение выводится в ячейку вывода.

Решение систем нелинейных уравнений в символьном виде

Приведенные на рис. 4.13 примеры показывают решение систем нелинейных уравнений с помощью функции Solve.

Достаточно характерен пример с применением функции N. Если убрать в нем функцию N, то будет получен чрезвычайно громоздкий, хотя и точный результат (проверьте это сами, поскольку размеры результата делают нецелесообразным его приведение в книге). Функция N осуществляет выполнение всех промежуточных вычислений, благодаря чему результат получается вполне обозримым и представленным в комплексных числах.

В последнем примере рис. 4.13 получен набор из пяти пар корней, определенных через функцию Root. Эта функция, в свою очередь, означает вычисление корней полиномиального уравнения пятой степени. Данный пример, как и ранее приводимые решения кубического уравнения, является наглядной иллюстрацией того, что простота нелинейных уравнений порой оказывается весьма обманчивой, а их решение порой приводит к весьма громоздким и сложным результатам. Тем не менее, возможность решения отдельных нелинейных уравнений и их систем в символьном виде трудно переоценить. К сожалению, далеко не все уравнения имеют такие решения — многие можно решать только в численном виде.

Рис. 4.13. Примеры решения систем нелинейных уравнений

Не следует полагать, что Mathematica всегда выдает верное решение систем нелинейных уравнений. На самом деле решение иногда бывает ошибочным. Поэтому в большинстве случаев стоит оформлять решение таким образом, чтобы обеспечить его проверку. Для этого рекомендуется отдельно задать систему уравнений и результат решения. Тогда проверка легко осуществляется с помощью подстановки. Два примера решения систем уравнений с проверкой решений показаны на рис. 4.14.

В первом примере решение кажется очевидным (равенства выполняются, например, при х=2 и у=3). Однако здесь Mathematica дает сразу три пары решений, и все они оказываются верны, поскольку после подстановки проверка всех равенств возвращает True.

А вот во втором примере проверка дала не совсем обычный результат, что связано с наличием в решении неопределенной переменной а. В таких случаях стоит попробовать упростить решение с помощью функции Simplify, что и показано на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Примеры решения уравнений с проверкой

Опции функции Solve

С функцией Solve можно использовать ряд опций. Их можно вывести командой Options [Solve]. Ниже описано их назначение:

• InverseFunctions — указывает, следует ли использовать обратные функции;
• MakeRules — указывает, должен ли результат быть представлен как объект AlgebraicRulesData;
• Method — устанавливает алгоритм, используемый для вычисления результата (возможны методы 1, 2 и 3);
• Mode — задает характер решения уравнения (возможны Generic, Modular и Rational);
• Sort — устанавливает, нужна ли сортировка результатов;
• Verif ySolutions — устанавливает, следует ли проводить проверку полученных решений и удаление посторонних решений;
• WorkingPrecision — устанавливает число цифр промежуточных вычислений (по умолчанию Infinity).

На рис. 4.15 приведены примеры применения функции Solve с опцией Inverse-Functions.

Обратите внимание на то, что последняя система уравнений при отсутствии опции InverseFunctions решается с предупреждением. Она вообще не решается, если эта опция задана как False, и гладко решается при InverseFunctions -> True.

Рис. 4.15. Примеры решения уравнений с опцией InverseFunction

То, насколько может влиять на решение опция Method, наглядно показывают примеры, представленные на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Примеры решения уравнений разными методами

Множество примеров решения систем нелинейных уравнений в символьном виде можно найти в справочной системе Mathematica.

Численное решение уравнений

Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют аналитических решений. Однако их решение вполне возможно численными методами. Для численного решения систем нелинейных уравнений используется функция NSolve:

• NSolve [eqns, vars] — пытается численно решить одно уравнение или систему уравнений eqns относительно переменных vars;
• NSolve [eqns, vars, elims] — пытается численно решить уравнения eqns относительно vars, исключая переменные elims.

С этой функцией используется единственная опция WorkingPrecision, задающая число верных цифр результата — по умолчанию 16. На рис. 4.17 представлены примеры использования функции NSolve для численного решения уравнений.

Риc. 4.17. Примеры численного решения уравнений

Результаты решения с помощью функции NSolve также рекомендуется проверять с помощью подстановки, например, так:

Нетрудно заметить, что в данном случае решение верно.

Поиск корней уравнений

Для вычисления корней полиномиальных уравнений используется функция Roots:

На рис. 4.18 представлены примеры применения функции Roots.

Рис. 4.18. Примеры использования функции Roots

Формат выдачи результатов для функции Roots отличается от такового для функции Solve. Поэтому проверку решения подстановкой надо выполнять как в следующем примере:

Для преобразования результата вычислений в список решений (подобный решениям, получаемым с помощью функции Solve) здесь использована функция ToRules.

При затруднениях в решении уравнений с помощью функции Roots можно использовать следующие опции:

Ниже они описаны подробно:

• Cubics — указывает, следует ли искать явные решения для неприводимых кубических уравнений;
• EquatedTo — задает выражение для замещения переменной в решении;
• Modulus — задает промежуточную факторизацию полинома;
• Multiplicity— устанавливает кратность каждого из корней в конечном результате;
• Quartics — задает точное решение квадратного уравнения и полинома четвертой степени;
• Using — указывает какие-либо дополнительные уравнения, которые следует использовать для решения уравнений.

Применение опций нередко позволяет получать решения, которые не удаются с первого раза. Однако это требует определенного опыта и понимания сути решаемой задачи.

Дополнительные функции для решения уравнений

Имеется также ряд дополнительных функций, которые используются описанными ранее функциями и также могут применяться при решении нелинейных уравнений:

• Auxiliary [v] — применяется модулем Solve для указания того, что переменная v должна использоваться функцией Roots для результирующих решений, но соответствующие значения v не должны быть включены в окончательный ответ;
• Eliminate [eqns, vars] — исключает переменные vars из системы уравнений eqns;
• FindRoot [Ihs == rhs, ] — ищет численное решение уравнения Ihs == rhs, начиная с х = x0;
• MainSolve [eqns] — основная функция для преобразования системы уравнений. Ее вызывают Solve и Eliminate. Уравнения должны быть представлены в форме Ihs == rhs. Они могут объединяться с помощью && и | |. MainSolve возвращает False, если не существует решения уравнений, и возвращает True, если все значения переменных являются решениями. MainSolve перестраивает уравнения, применяя определенные директивы;
• MainSolve [eqns, vars, elim, rest] — пытается перестраивать уравнения eqns так, чтобы найти решения для переменных vars и исключить переменные elim. Список rest может включаться для указания порядка исключения любых остальных переменных;
• NRoots [lhs==rhs, var] — возвращает список численных приближений корней полиномиального уравнения;
• Residue [ехрr, ] — ищет вычет ехрг в точке х = х0;
• SolveAlways [eqns, vars] — возвращает значения параметров, которые превращают уравнения eqns в тождества для всех значений переменных vars.

Примеры использования некоторых из этих функций показаны на рис. 4.19.

Рис. 4.19. Примеры применения дополнительных функций для решения уравнений

В целом надо отметить, что система Mathematica обладает обширными средствами для решения уравнений и их систем. Умение их применять — залог правильного и эффективного решения сложных математических задач, относящихся к классу решения уравнений.

Графическая иллюстрация и выбор метода решения уравнений

При рассмотрении приведенных выше примеров может сложиться благодушное впечатление о том, что решение нелинейных уравнений может производиться автоматически и без размышлений. Но это далеко не так — представленные выше примеры просто подобраны так, что они имеют решение с помощью соответствующих функций.

На самом деле порой даже простые уравнения могут не иметь решения. В сложных случаях очень полезна графическая визуализация решения. В качестве примера на рис. 4.20 показана визуализация вычисления корней квадратного уравнения. В данном случае график функции явно указывает на существование двух действительных корней при х, близких к 0.2 и 2.3. Функция Nsolve без труда находит оба корня.

Рис. 4.20. Визуализация решения квадратного уравнения для случая двух действительных корней

А вот на рис. 4.21 показан случай, когда из-за изменения последнего члена квадратичной функции ее график уже не пересекает ось х вообще. Это говорит о том, что решения в виде действительных корней нет. И в самом деле, NSolve находит корни как комплексно-сопряженные числа. Действительная часть найденных корней дает координату х для впадины кривой — параболы.

Если требуется решение равенства f1(х) = f ₂ (x), то для графической визуализации решения можно построить графики функций f1(х) и f ₂ (лг) — наличие точек их пересечения будет означать существование действительных корней. Этот случай иллюстрирует рис. 4.22. В данном случае проблем с решением нет, поскольку, по существу, решается квадратное уравнение.

Рис. 4.21. Визуализация решения квадратного уравнения для случая двух комплексных корней

Рис. 4.22. Пример визуализации решения уравнения вида f(x) = 5х + 1

Но вот на рис. 4.23 показан случай решения уравнения f(x) = ехр(х/2). Графики функций ясно показывают, что парабола пересекается экспонентой в двух точках. Однако функция NSolve отказывается решать такое уравнение и выдает сообщение о том, что оно является трансцендентным.

Таким образом, в данном случае наличие графического решения говорит о необходимости смены функции, с помощью которой до сих пор решались уравнения. Подходящей в данном случае является функция FindRoot, которая отыскивает одно решение вблизи заданной начальной точки. Применив ее дважды, нетрудно получить оба корня данного уравнения.

Рис. 4.23. Пример решения уравнения вида f(x) = ехр(х/2)

Приведенные примеры далеко не исчерпывают проблему графической визуализации решения и выбора методов решения. Однако они иллюстрируют возможности системы Mathematica в этой области и заостряют внимание на потенциальных проблемах. Для реализации численных расчетов в системе Mathematica отобраны наилучшие и наиболее эффективные численные методы из описанных в литературе, в том числе в отечественной.

Получение сразу нескольких корней

Многие уравнения с тригонометрическими функциями могут иметь периодические или близкие к ним решения. К сожалению, функции Mathematica, вычисляющие корни уравнений, не способны в этом случае дать сразу несколько корней. Однако ситуация тут далеко не безнадежна — приведенный ниже пример наглядно показывает это.

Пусть требуется в интервале изменения х от 0 до 20 найти все решения уравнения

График функции, представляющей левую часть уравнения, показан на рис. 4.24. Хорошо видно, что он пересекает ось х семь раз, то есть имеет в интересующем нас диапазоне семь корней.

Рис. 4.24. График функции х sin(x) + х/2 — 1 и пример вычисления всех ее корней в интервале изменения х от 0 до 20

Колебательная составляющая функции обусловлена входящей в нее функцией sin(x), которая имеет нули в точках 0, n, 2n, Зn. Однако, как видно из рис. 4.24, эти значения лишь приближенные, ввиду влияния других членов уравнения.

Ключевая идея получения всех корней уравнения заключается в поиске нужных решений с помощью функции FindRoot, которой последовательно подставляются различные начальные приближения. Однако вместо уже испытанного приема — поиска корней поодиночке — можно воспользоваться «таблицей» решений, используя функцию Table. Решение, приведенное под графиком функции на рис. 4.24, наглядно иллюстрирует возможности этого приема — найдены (или, вернее, уточнены) все семь корней исходного уравнения.

Получение неизвестных в явном виде

Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решения всех представленных выше примеров выглядят не совсем обычно — в виде списка подстановок. Это не позволяет использовать неизвестные в явном виде, например, для проверки решений или передачи найденных неизвестных в последующие вычислительные блоки. Однако от этого затруднения легко избавиться, если перед конструкций блока решения использовать выражение следующего вида:

Список переменных в этом выражении должен однозначно соответствовать списку неизвестных системы уравнений. Покажем этот прием в действии. Ниже приведено решение системы из трех нелинейных уравнений:

Обратите внимание на то, что вывод списка не дает полученных значений неизвестных. Это связано с тем, что переменные в блоке решения имеют ло-к(1лъный характер и за пределами блока их значения (в том числе неопределенные) сохранятся такими, какими они были до применения в блоке решения.

Теперь зададим решение в ином виде:

Как видите, на сей раз решение получено в виде списка с числами — явными значениями неизвестных. Можно обозначить их как а, Ь и с, получить список и даже использовать их отдельно:

Теперь можно проверить решение данной системы:

Полученный вектор правых частей системы совпадает с заданным, что свидетельствует о правильности решения. Разумеется, вместо нового списка для вектора решения можно было использовать и вектор .

Решение системы нелинейных уравнений в Mathematica

Я пытаюсь численно решить приведенную ниже систему из шести уравнений (g0-g5) для a0-a5 в системе Mathematica. Я не специалист по математике и не совсем уверен, как это сделать.

Однако я потратил много времени, пытаясь заставить NSolve и FindRoot дать решение. Вот этот код:

Еще одна дополнительная информация, которую я могу предложить, заключается в том, что результирующее решение для f (x, y) должно быть эквивалентно двумерной стандартной нормальной плотности. Любая помощь приветствуется. Это мой первый пост на SO, дайте мне знать, если потребуется дополнительная информация.

2 ответа

Я поражен. Я никогда не ожидал, что это закончится. Но если вы все время вычитаете, чтобы он выполнил интегралы, то Reduce завершится в мгновение ока.

Примечание. Это дает Simplify одно предположение, которое вы должны проверить, является ли оно обоснованным. Это предположение позволяет превратить все ваше ConditionalExpression в предположительно допустимые выражения для вашей проблемы. Я получил это предположение, просмотрев каждый из результатов, возвращаемых интеграцией, и увидел, что все они зависят от этого, чтобы результат был действительным.

Вот как это сформулировать численно:

Обратите внимание, что я сделал первоначальное предположение, очень близкое к известному решению (спасибо @Bill), и поиск ответа все еще занимает очень много времени.

Научный форум dxdy

Последний раз редактировалось misha89 23.05.2014, 14:07, всего редактировалось 3 раз(а).

Пытаюсь решить систему уравнений с помощью Математики. Взял пример отсюда http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Solve.html и все работало, но стоило подставить какой-то другой набор уравнений, для проверки, так сразу что-то не так.

Как правильно решать системы уравнений в Математике?

Вот конкретное задание , Complexes]$»>.
Вот ответное замечание со стороны Математики

Какое правило ему надо указать? Мне необходимо это решить в ^3$»>

Последний раз редактировалось Ms-dos4 23.05.2014, 14:38, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось arseniiv 23.05.2014, 17:30, всего редактировалось 1 раз.

А ещё Complexes указывать не нужно — по умолчанию она так и решает в комплексных. Вот если нужны действительные, указывать Reals уже понадобится.

И насчёт оформления: маленькие кусочки кода окружайте тегами [​tt][​/tt] , это же не формулы.

— Пт май 23, 2014 20:30:22 —

Какое правило ему надо указать? Мне необходимо это решить в ^3$»>
В с какими операциями? Может, всё-таки просто ?

arseniiv
, нет, в ^3$»>.

Это то самое задание с базисом Грёбнера.

Используя базис Грёбнера решить в ^3$»> заданную систему уравнений.

Я решил, после нахождения базиса, вбить базис и найти его решение. Если найду решение базиса, то найду решение системы. Но не уверен в этой идее в принципе.

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Решение «буквенных» уравнений в Wolfram|Alpha

Задача «выразить х из уравнения (с несколькими неизвестными)» встречается довольно часто. Ее можно рассматривать, как решение уравнения с буквенными коэффициентами. Поэтому логично, что Wolfram|Alpha использует для решения таких «буквенных» уравнений запрос solve, который обычно служит для решения уравнений с одним неизвестным.

Вот простой пример такой задачи.

Запрос solve применительно к этому уравнению дает такой результат:

Здесь Wolfram|Alpha отдает приоритет отысканию переменной y. Возможно, полагая, что y это — функция, а x — ее аргумент? Кстати, тот же самый результат дает и запрос solve 2x+3y-1.

Если же из данного уравнения нужно найти именно х, то это следует указать явно. И вот, каким образом:

При этом, в отличие от первого варианта, здесь Wolfram|Alpha дает возможность посмотреть пошаговое решение задания с подробным текстовым комментарием:

(Эта замечательная особенность Wolfram|Alpha уже обсуждалась в одном из предыдущих постов Математика с Wolfram|Alpha: шаг за шагом. )

Итак, рассмотренный выше пример уже дает представление о том, как легко Wolfram|Alpha справляется с «буквенными» уравнениями. Однако, пойдет ли дело так же гладко, если вместо x и y взять другие буквы?

Запрос solve 2a+3b-1 дает следующее:

Однако, абсолютно аналогичный по структуре запрос solve 2n+3m-1 выводит совсем другой результат:

Конечно же! Логика здесь есть: Wolfram|Alpha по умолчанию считает неизвестным то, что обозначено буквой, расположенной ближе к концу алфавита. Но, если вы не уверены в своем знании английского алфавита, тогда, решая в Wolfram|Alpha буквенное уравнение, лучше каждый раз явно указывать неизвестную величину.

Естественно, теперь возникает вопрос: а что будет, если взять уравнение, которое содержит не два буквенных обозначения, а больше? Например, такое:

Как и следовало ожидать, здесь Wolfram|Alpha по запросу solve (без указания неизвестного) выводит решение квадратного уравнения относительно x:

Если же из данного уравнения нужно найти b, то запрос должен быть таким:

Аналогичным образом следует поступить, если ищем c:

Также ясно, что решение кубического уравнения

А вот, если нас интересует, как выражается из данного уравнения a, то запрос формулируем иначе:

Под конец, хочется задать Wolfram|Alpha вопрос посложнее. Например, сможет ли система решить такое «буквенное» уравнение?

Запрос solve без явного указания неизвестного выводит решение этого уравнения относительно z:

Если же нужно найти, к примеру, w, тогда, естественно, получим:

Что же касается решения трансцендентных «буквенных» уравнений, то все зависит от вида конкретного уравнения. Если уравнение допускает аналитическое решение, тогда это решение получается точно так же, как и ранее. Если же нет, тогда, по-возможности, Wolfram|Alpha выдает неявное решение в графическом виде.

Рассмотрим несколько типичных примеров.

Некоторые решения оказываются довольно неожиданными и по-своему красивыми:

Математические головоломки

Язык Wolfram является идеальной платформой для решения сложных и интересных математических головоломок. Исследование и решение таких задач становится простым как только Вы освоили базовые принципы языка.

Предположим необходимо найти количество положительных целых чисел до 1 000 000 у которых нет общих делителей с 1 000 000.

Для начала проверим все положительные целые числа в заданном диапазоне, используя функцию CoprimeQ:

CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] // Short

Уберем все значения False, заменив их значением Nothing:

% /. False -> Nothing // Short

Затем рассчитаем длину Length полученного списка:

Length[%]

И объединим все шаги в одно выражение:

Length[CoprimeQ[Range[1000000], 1000000] /. False -> Nothing]

Символьные выражения зачастую поддаются прямым подходам. Пусть задано положительное целое число k, можно ли найти общую формулу для суммы 1 k +2 k +. +n k ?

\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)] \*SuperscriptBox[\(i\), \(2\)]\)

\!\( \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(n\)] \*SuperscriptBox[\(i\), \(k\)]\)

Используя встроенную графику, также легко можно решить и визуализировать геометрические задачи. Рассмотрим следующую фигуру:

Labeled[Graphics[ shape = ], Rectangle[]>], n]

При заданной длине основания n, возможно ли заполнить данную фигуру такими же фигурами но с длиной основания 1?

Graphics[< Scale[shape, 2, ], , ]>, ]>, ]> >]

Как решить уравнение в вольфрам математика

Узнайте, как легко и быстро решить любое уравнение с помощью Wolfram Mathematica. Изучите основные шаги и команды для работы с этим мощным инструментом анализа данных и решения математических проблем.

Вольфрам Математика — это мощное онлайн-средство, которое помогает пользователям решать самые сложные математические задачи. Одним из его основных преимуществ является возможность решения уравнений любой сложности. Если вы сталкиваетесь с уравнением, которое кажется вам неразрешимым, или если вы просто хотите сэкономить время на решении математических задач, Вольфрам Математика станет вашим надежным помощником.

Решение уравнений в Вольфрам Математика — это простой и интуитивно понятный процесс. Вам не нужно знать сложные алгоритмы или использовать специальные программы. Просто введите уравнение в соответствующее поле и нажмите кнопку «Посчитать». Вольфрам Математика предоставит вам полное решение вашего уравнения, включая все промежуточные шаги и подробные пояснения.

Вольфрам Математика также обладает мощными функциями графического представления уравнений. С его помощью вы сможете построить графики функций и уравнений, а также проанализировать их поведение в различных точках. Это очень полезно при изучении функций и исследовании их свойств.

Вольфрам Математика доступен в веб-браузере, что означает, что вы можете использовать его на любом устройстве и в любом месте с доступом в Интернет. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, преподавателем или просто любителем математики, Вольфрам Математика будет незаменимым инструментом в вашей работе.

Составление уравнения

При составлении уравнения в Вольфрам Математика необходимо определить, что именно требуется найти или решить. Затем следует представить данную информацию в виде математического уравнения.

• Анализируйте текст задачи и выделите важные данные.
• Определите неизвестную величину, которую нужно найти, и обозначте ее буквой или символом.
• Используйте известные значения и известные связи между ними для составления математического выражения.
• Разберитесь с единицами измерения, если они присутствуют, и приведите все значения к одной системе измерения.

Важно помнить, что правильное составление уравнения является ключевым шагом в решении задачи. Если у вас возникнут затруднения, можно воспользоваться справочниками по математике или обратиться за помощью к преподавателю.

Ввод уравнения в Вольфрам Математика

Для решения уравнений в Вольфрам Математика необходимо правильно ввести уравнение в программу. Это требует точности и ясности, чтобы получить правильный результат.

Какие формулы нужно знать на ОГЭ по математике: подготовка к экзамену

Ввод уравнения осуществляется с использованием математических символов и операторов. Ниже приведены основные правила для ввода уравнений:

1. Используйте символы для математических операций, такие как «+», «-«, «*», «/», «^» (возведение в степень).
2. Используйте скобки «(» и «)», чтобы группировать выражения и управлять порядком операций.
3. Для обозначения неизвестных используйте буквы латинского алфавита, например «x», «y» или «z».
4. Используйте «=» для обозначения знака равенства.

Например, для решения уравнения 2x + 3 = 7 введите «2x + 3 = 7».

Важно отметить, что Вольфрам Математика позволяет вводить уравнения не только в символьной форме, но и в виде графиков, таблиц и списков значений. Это дает возможность исследовать различные свойства и решения уравнений на разных уровнях сложности.

Правильный ввод уравнения в Вольфрам Математика является основой для получения точного и полного решения. Следуя приведенным правилам, вы сможете эффективно использовать этот мощный инструмент для решения математических уравнений различной сложности.

Не забывайте проверять введенные уравнения на опечатки и ошибки перед вводом их в программу. Даже малая ошибка может привести к неверному результату.

Используйте Вольфрам Математика для решения уравнений, экспериментов и графических представлений, чтобы улучшить свои навыки и понимание математики.

Анализ результатов

После ввода уравнения в Вольфрам Математика и нажатия кнопки «Решить», программа производит вычисления и анализирует результаты. Результат решения уравнения представляется в различных форматах, в зависимости от типа уравнения и введенных параметров.

В большинстве случаев, Вольфрам Математика предоставляет полное решение уравнения, включая все корни и возможные промежуточные шаги. Это позволяет пользователям получить полное представление о процессе решения и убедиться в правильности полученного ответа.

Если уравнение имеет множественные решения или параметры, Вольфрам Математика может предоставить графическое представление решений, в виде графиков, таблиц или диаграмм. Это позволяет лучше визуализировать результаты и легче интерпретировать их.

Как решать пропорции в математике: пошаговое руководство

В случае, если уравнение не имеет решений или вычисления невозможно произвести, Вольфрам Математика выдает соответствующее сообщение об ошибке или уведомление, что решение невозможно. При этом может быть дано объяснение причин возникновения такой ситуации.

Анализ результатов позволяет пользователям не только получить ответ на задачу, но и понять процесс решения, проверить правильность результата, а также использовать полученные данные для дальнейших вычислений и исследований.

Интерпретация ответа

Когда Вы решаете уравнение в Вольфрам Математика, программа дает Вам ответ в форме числового значения или в виде выражения. Важно правильно интерпретировать полученный результат, чтобы понять его значение и возможные применения.

Если программа дает числовой ответ, то это означает, что в уравнении существует одно или несколько решений, которые представлены данным числом. Например, если Вам нужно решить уравнение x^2 = 25, и Вольфрам Математика выдает ответ x = 5, то это означает, что в уравнении есть одно решение, и это число 5.

Если программа выдает выражение в качестве ответа, то это означает, что решение уравнения представлено данной формулой. В этом случае, Вы можете использовать полученное выражение для дальнейших вычислений или анализа. Например, если Вы решаете уравнение 2x + 3 = 7, и Вольфрам Математика выдает ответ x = (7 — 3)/2, то это означает, что решение уравнения представлено выражением (7 — 3)/2.

Важно помнить, что полученный ответ может иметь ограничения и условия на его применимость. Например, при решении уравнения x^2 = -1, Вольфрам Математика может выдать ответ x = i, где i — мнимая единица. В этом случае, полученный ответ является комплексным числом и имеет свои особенности в математических расчетах.

Таким образом, правильная интерпретация ответа в Вольфрам Математика важна для понимания полученных данных и их применения в дальнейших расчетах и анализе.

Как правильно установить радиаторы отопления в частном доме: пошаговая инструкция

Решение сложных уравнений

Решение сложных уравнений может быть вызовом даже для опытных математиков. Однако, с помощью сервиса Вольфрам Математика, это задание можно значительно упростить.

Для решения сложных уравнений в Вольфрам Математика необходимо ввести уравнение в соответствующее поле ввода. При этом, уравнение должно быть записано явно, с указанием всех необходимых символов и операций.

После ввода уравнения, Вольфрам Математика автоматически проанализирует его и предоставит подробное решение. Решение может включать шаги, промежуточные вычисления и пояснения, что позволяет понять логику решения и особенности уравнения.

Важно отметить, что Вольфрам Математика может решать самые разнообразные типы уравнений, включая нелинейные, системы уравнений, уравнения с параметрами и многое другое. Более того, сервис способен оптимизировать решение и использовать различные методы, в зависимости от сложности уравнения.

Использование Вольфрам Математика для решения сложных уравнений позволяет экономить время и усилия при решении математических задач. Более того, сервис предоставляет возможность получить графическое представление решения, что помогает визуализировать результаты и получить более полное понимание уравнения.

Таким образом, решение сложных уравнений в Вольфрам Математика является эффективным инструментом для математических исследований, образования и работы с уравнениями различной сложности.

Видео по теме:

1 комментарий к “Как решить уравнение в Вольфрам Математика: подробный гайд”

Илья Сидоров

Отличный гайд! Я долго мучилась с решением уравнений, пока не наткнулась на эту статью. Вольфрам Математика оказался настоящей находкой для меня. С его помощью я смогла решать уравнения любой сложности без проблем. Больше не нужно тратить много времени и усилий на ручные вычисления. Программа не только решает уравнения, но и предоставляет подробную информацию о шагах решения. Теперь я могу легко проверить свои ответы и избежать ошибок. Вольфрам Математика стал моим незаменимым помощником в учебе и повседневной жизни. Большое спасибо за этот гайд, он действительно помогает! Ответить

Новое в Wolfram Language | Аналитическое решение уравнений в частных производных

Перевод поста Devendra Kapadia «New in the Wolfram Language: Symbolic PDEs».
Код, приведенный в статье, можно скачать здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации. Уравнения в частных производных (УрЧП) играют очень важную роль в математике и ее приложениях. Их можно использовать для моделирования реальных явлений, таких как колебания натянутой струны, распространения потока тепла в стержне, в финансовых областях. Цель этой статьи — приоткрыть завесу в мир УрЧП (тем кто еще с ним не знаком) и ознакомить читателя с тем, как можно эффективно решать УрЧП в Wolfram Language, используя новый функционал для решения краевых задач в DSolve, а так же новую функцию DEigensystem, которая появилась в версии 10.3.

История УрЧП восходит к работам известных математиков восемнадцатого века — Эйлера, Даламбера, Лапласа, однако развитие этой области в последние три столетия так и не остановилось. И потому в статье я приведу как классические, так и современные примеры УрЧП, что позволит рассмотреть эту область знаний под разными углами.

Давайте начнем с рассмотрения колебаний натянутой струны с длиной π, закрепленной на обоих концах. Колебания струны можно смоделировать с помощью одномерного волнового уравнения, приведённого ниже. Здесь u(x,t) — вертикальное смещение точки струны с координатой х в момент времени t:

Затем мы задаём граничные условия, указав тем самым, что концы струны при колебаниях сохраняют свои положения.

Зададим теперь начальные условия для движения струны, указав смещения и скорости различных точек струны в момент времени t=0:

Теперь мы можем использовать DSolve для решения волнового уравнения с начальными и краевыми условиями:

Как указано выше, решение есть бесконечная сумма тригонометрических функций. Сумма возвращается в невычисленной форме (Inactive), поскольку каждый отдельный член разложения имеет физическую интерпретацию, и зачастую даже небольшое количество членов может являться хорошим приближением. К примеру, мы можем взять первые четыре члена для получения приближенного решения asol(x,t)

Каждый член в сумме представляет собой стоячую волну, которые могут быть представлены следующим образом:

И все эти стоячие волны складываются воедино, образуя гладкую кривую, как показано на анимации ниже:

Волновое уравнение относится к классу линейных гиперболических уравнений в частных производных, описывающих распространение сигналов с конечными скоростями. Это УрЧП представляет собой удобный способ для моделирования колебаний в струне или в каком-то другом деформирумом теле, однако ещё более важную роль оно играет в современной физике и инженерных приложениях, т.к. оно описывает распространение света и электромагнитных волн.

Давайте теперь смоделируем поток тепла в стержне единичной длины, изолированном с обоих концов, с помощью представленного ниже уравнения теплопроводности:

Поскольку стержень изолирован с обоих концов, то через них проходит нулевой поток тепла, что можно выразить как граничные условия вида х = 0 и х = 1:

Теперь нужно указать начальное температурное распределение в стержне. В этом примере мы будем использовать приведённую ниже линейную функцию. В левом конце (х = 0) начальная температура — 20 градусов, в правом (х = 1) — 100:

И теперь мы можем решить уравнение теплопроводности с заданными условиями:

Как и в приведённом выше примере с волновым уравнением, мы можем извлечь несколько членов суммы и получить приближенное решение:

Первый член приближенного решения — 60 — среднее от температур на границах стержня, и она является стационарной температурой для этого стержня. Как показано на графике функции температуры от длины, представленном ниже, температура стержня быстро достигает стационарного значения в 60 градусов:

Уравнение теплопроводности относится к классу линейных параболических уравнений в частных производных, которые описывают процессы диффузии. Это простое на вид уравнение часто можно встретить в самых различных, а иногда и весьма неожиданных областях. Далее в статье мы рассмотрим два примера этого явления.

Рассмотрим теперь уравнение Лапласа, которое используется для моделирования стационарного состояния систем, т. е. поведения после некоторых зависящих от времени уже законченных переходных процессов. В двумерном случае это уравнение можно представить следующим образом:

Ограничим координаты х и у прямоугольной областью Ω, как показано ниже:

Классическая задача Дирихле — найти функцию u(x,y), удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри области Ω с заданным условием Дирихле (DirichletCondition), которое определяет значения на границах области Ω, как показано ниже:

Задачу Дирихле можно решить с помощью функции DSolve, весьма изящно задав при этом область:

Как и в примерах ранее, мы можем извлечь некоторое количество членов (скажем, 100) из суммы и визуализировать решение:

Следует заметить, что решение u(x,y) задачи Дирихле представляется гладким в Ω, несмотря на то, что граничные условия имеют резкие черты. Помимо этого, u(x,y) достигает экстремальных значений на границах, в то время как в центре прямоугольника находится седловая точка. Эти черты характерны для линейных эллиптических уравнений — класса уравнений в частных производных, к которым и принадлежит уравнение Лапласа.

Волновое уравнение, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа — самые известные примеры классических УрЧП. Теперь мы рассмотрим три примера типичных современных УрЧП, первым среди которых будет уравнение Бюргерса для вязкой жидкости, которое может быть представлено следующим образом:

Это нелинейное УрЧП было введено Иоханнесом Бюргерсом в сороковых годах в качестве простой модели для турбулентных потоков (параметр ϵ в уравнении представляет собой вязкость жидкости). Однако, десять лет спустя, Э. Хопф и Д. Коул показали, что уравнение Бюргерса сводится к уравнению теплопроводности, а это значит, что данное уравнение не может проявлять хаотического поведения. Преобразование Коула-Хопфа позволяет решать уравнения Бюргерса в замкнутой форме для начального условия, заданного, к примеру, так:

В этом примере мы будем использовать функцию DSolveValue, которая возвращает только выражение для решения. Члены с функцией ошибок (Erf) в формуле ниже возникают из решения соответствующей граничной задачи теплового уравнения:

Представленный ниже график демонстрирует изменение во времени гипотетического одномерного поля скоростей потока. Решение представляется гладким для положительного ϵ, при том что начальное условие есть кусочно заданная функция:

Как можно заметить на нижепреведённых графиках, решение стремится к разрывному при сремлении вязкости ϵ к нулю. Подобные решения с резким переходом (shock solutions) — известная особенность уравнений Бюргерса для невязкой (ϵ = 0) среды.

В качестве второго примера современных УрЧП рассмотрим уравнение Блэка-Шоулза, используемое в финансовых расчётах. Это уравнение впервые представили Фишер Блэк и Майрон Шоулз в 1973 году в качестве модели для определения теоретической цены на европейские опционы, и формулируется оно следующим образом:

где:
c — цена опциона как функция от стоимости акций s и времени t,
r — процентная ставка без риска,
σ — волатильность акций.

В их эпохальной статье (которая была процитирована более 28000 раз), Блэк и Шоулз отметили, что их уравнения с помощью преобразования переменных могут быть сведены к уравнению теплопроводности. Это резкое упрощение приводит к знаменитой формуле Блэка-Шоулза для европейских опционов с конечными условиями, основанными на цене исполнения (strike price) k актива в момент времени t=Т:

Вооружившись этой формулой, мы можем вычислить значения финансовых опционов для типичных значений параметров:

Ответ согласуется со значением, полученным с помощью встроенной функции FinancialDerivative:

В качестве третьего примера современных УрЧП рассмотрим уравнение Шредингера для электрона в одномерной потенциальной яме с глубиной d и соответствующим начальным условием. Уравнение и условия можно сформулировать следующим образом:

Этот пример имеет элементарное решение, которое принимает мнимые значения из-за наличия I в уравнении Шредингера:

Функция плотности вероятности для электрона ρ = Ψ ⊹ Ψ, с использованием подходящих значений параметров в задаче, может быть вычислена следующим образом:

Мы можем создать анимацию изменения плотности вероятности во времени, которая показывает, что «центр» электрона в яме движется из стороны в сторону:

Собственные значения и собственные функции играют важную роль как в решении уравнения Шрёдингера, так и в других УрЧП. В частности, они предоставляют «строительные блоки» для решений волновых уравнений и уравнений теплопроводности в виде бесконечных сумм, которые приводились ранее в статье. Поэтому, в качестве нашего последнего примера рассмотрим задачу о нахождении девяти наименьших собственных значений и собственных функций для оператора Лапласа с однородным (нулевым) условием Дирихле для трехмерной сферической области. Найдем девять наименьших значений λ и соответствующих им функций ϕ, удовлетворяющих Λϕ = λ ϕ, которые определяются следующим образом:

Новая функция DEigensystem в версии 10.3 позволяет вычислить требуемые собственные значения и функции следующим образом:

Собственные значения в этой задаче выражаются через BesselJZero. Вот пример:

Собственные значения можно визуализировать с помощью функции DensityPlot3D, которая возвращает красивые графики, как показано ниже:

УрЧП являются важным инструментом во многих отраслях науки и техники, в статистике и финансах. На более фундаментальном уровне они предоставляют точные математические формулировки некоторых самых глубоких и тонких вопросов о нашей Вселенной, скажем, о возможности существования голых сингулярностей. По моему опыту, изучение УрЧП награждает редким сочетанием из практических идей и интеллектуального удовлетворения.

Рекомендую изучить документацию по DSolve, NDSolve, DEigensystem, NDEigensystem и методу конечных элементов, чтобы узнать больше о различных подходах к решению УрЧП в Wolfram Language.

УрЧП в символьной форме поддерживаются в Wolfram Mathematica и Wolfram Language с версии 10.3, а в ближайшее время будут представлены и во всех остальных программных продуктах Wolfram.

• wolfram language
• wolfram mathematica
• wolfram cloud
• уравнения в частных производных
• уравнения математической физики
• урчп
• волновое уравнение
• уравнение теплопроводности
• уравнение шредингера
• уравнение навье-стокса
• уравнение лапласа
• уравнение бюргерса
• уравнение блэка-шоулза
• собственные числа
• собственные функции
• дифференциальные уравнения

• Блог компании Wolfram Research
• Программирование
• Алгоритмы
• Математика
• Функциональное программирование