Как задать периодическую функцию в mathcad

Как задать периодическую функцию в Mathcad

Моё задание:
[удалено]
Вот примеры как запрограммирована функция для построения графика
[удалено]
Мне тоже нужно сделать функцию для своего примера, помогите кто может.
P.S. Очень срочно нужно!

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Как задать периодическую функцию в Mathcad
Вот примеры как запрограммирована функция для построения графика Мне тоже нужно сделать.

Как задать периодическую функцию в Mathcad
Вот примеры как запрограммирована функция для построения графика Мне тоже нужно сделать функцию.

Как задать периодическую функцию
Добрый вечер. Помогите задать периодический сигнал в matlab. Сигнал задается математическим.

Как задать периодическую кусочно-заданную функцию?
Я пытаюсь задать периодическую, кусочно-заданную функцию, которая аналитически определена так: .

5184 / 3975 / 1379
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 11,991

Серг_OS_2013, размещение задания и решения в виде картинок и других файлов с их текстом — запрещено Правилами форума ( 5.18 ). Задания и решения надо перепечатывать на форум (для набора формул есть встроенный редактор).

2615 / 2229 / 684
Регистрация: 29.09.2012
Сообщений: 4,578
Записей в блоге: 13

Сообщение было отмечено Серг_OS_2013 как решение

Решение

Регистрация: 05.04.2013
Сообщений: 10

Огромное спасибо. Всё правильно))

Вот моё задание, в напечатанном виде:

Добавлено через 7 минут
. с периодом T = 2 pi

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Как описать кусочно-линейную периодическую функцию?
Добрый день. Кусочно-линейную функцию я описал, см. прикрепленный рисунок. Как ее сделать.

Вычислить периодическую функцию
Помогите решить задачу. Вся надежда на вас. Задание:1. Составить алгоритм и написать код программы.

Найти периодическую и не периодическую части дроби
Даны взаимно простые натуральные числа p, q(p<q). Найти периодическую и не периодическую части(две.

Как сделать периодическую функцию в mathcad

В среде MathCAD заданная непрерывная функция имеет следующий вид:

Дискретную последовательность или дискретный сигнал v ( t ) выражают через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом:

,(2)

где δ( t ) – дискретная дельта-функция;

Δ t – шаг дискретизации;

– последовательность дельта-функций;

m – число дискретных точек.

Одиночную дельта-функцию запишем в виде

Дельта-функция в среде MathCAD имеет вид

Дискретный сигнал равен

Для записи функции арктангенса воспользуемся встроенной функцией MathCAD atan ( x ), а для записи синуса – sin ( x ). Зададим период функции T = 5 π и шаг дискретизации Δ t = 1.

Окончательно программу для расчёта дискретной функции v ( t ) запишем в следующем виде:

Для построения графика зависимости сигнала x = f ( t ) необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести « x ( t )», а по оси абсцисс – « t ». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Оси X – Y » панели форматирования для удобства отображения нужно установить размер сетки, кратный по оси ординат ­амплитуде сигнала, а по оси абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс путём ввода соответствующих значений в области на оси абсцисс графика. По оси абсцисс введём диапазон изменения непрерывного сигнала от 0 до T .

Рис. 1. График зависимости функции x = f ( t )

Аналогичным образом можно построить график зависимости одиночной дельта-функции от времени (рис. 2).

Рис. 2. График зависимости одиночной дельта-функции δ( t ) от времени t

Чтобы построить график зависимости последовательности дельта-функций от времени нужно в область для ввода переменных на оси ординат ввести выражение: . Этот график показан ниже.

Рис. 3. График зависимости последовательности дельта-функций от времени

На рис. 4. показан график зависимости дискретной функции v ( t ) для шага дискретизации Δ t = 1.

Рис. 4. График зависимости дискретной функции от времени v = f ( t )

для шага дискретизации Δ t = 1

Чтобы построить график зависимости дискретной функции от времени v = f ( t ) для шага дискретизации Δ t = 2 нужно в программе расчёта присвоить параметру Δ t значение 2, после чего программа автоматически произведет перерасчёт.

Рис. 5. График зависимости дискретной функции от времени v = f ( t )

для шага дискретизации Δ t = 2

С увеличением шага дискретизации Δ t уменьшается частота решётчатой функции и уменьшается информативная составляющая непрерывного сигнала, подвергнутого дискретизации.

Функции и переменные в MathСad

Mathcad раскрывается в полной мере при использовании переменных и функций.

Два знака равенства

В математических вычислениях мы используем множество различных констант, переменных, операторов и знаков равенства. Обычно в жизни мы используем знак равенства для многих разных операций, но Mathcad отличает их. Наиболее важными операциями являются:

• определение (присвоение значения) — используется двоеточие;
• вычисление — используется знак равенства.

Важность оператора определения не меньше, чем важность оператора вычисления. В приведенном ниже примере значение y можно вычислить лишь после присвоения ему определенного значения. х и у здесь являются переменными.

Два знака равенства, которые изображены выше, имеют совершенно разные значения, поэтому нужно очень внимательно относится к ним.

Поставьте курсор перед числом 4 в примере выше.

Удалите число 4 клавишей [Delete], и введите 5. Нажмите на пустой области, чтобы выйти из области вычисления и увидите, что результат вычислений поменялся на 25:

Теперь попробуйте провести операцию удаления с числом 25. Вы увидите, что при попытке удаления число подсвечивается красным, а при следующем нажатии удалиться и знак равно.

Использование переменных

Введите такие выражения в область вычисления

Проведите операции замены значения х на такие: 100, 0.5, -4 и 0.

В первых двух случаях вы получите число в качестве результата. В третьем случае у вас будет мнимое число. При значении х ноль программа выведет ошибку и обведет результат красным. Если вы нажмете на красное выделение, то увидите описание проблемы:

Дальше мы поговорим о том, какие имена можно использовать для переменных, а какие нельзя. Существуют такие правила: имя переменной не может начинаться с цифры и в ней нельзя использовать пробелы или знаки операторов. Имена могут начинаться:

• с любой буквы как большой, так и маленькой;
• с других символов, которые не являются операторами;
• с символов из вкладки Математика -> Операторы и символы -> Символы;
• с символов из таблицы символов ОС Windows.

Использование переменных доступно, только если вы определите их заранее. Термин «заранее» обозначает, что присвоение значения переменной должно производиться выше или левее выражения, где эта переменная используется. Если вы не объявили переменную заранее, то появится сообщение об ошибке:

Подстрочные индексы

Mathcad существует два типа подстрочных индексов:

1. Описательный подстрочный индекс.
2. Индекс массива (матрицы).

Для ввода описательного индекса сначала введите желаемое имя переменной, а потом нажмите комбинацию [Ctrl+-], далее вводите подстрочный индекс.

Переменная, которая имеет описательный индекс — это простая переменная, которой присвоено имя. Индекс массива сильно отличается от него. Такой индекс можно присвоить, если ввести квадратную скобку [ после имени переменной. Переменная может иметь один или два индекса массива:

Индекс массива может иметь только числовое значение. При этом не путайте разные типы индексов, так как они довольно схожи визуально.

Более четко разницу видно, если нажать мышкой на выражение

Любая переменная может иметь оба индекса одновременно: описательный и индекс массива. Сначала всегда будет прописан описательный.

Функции

Использование переменных возможно только при определении их заранее. Но есть исключение из этого правила — определение функции. Можно произвести определение своей функции. Пример ниже.

Переменная а имеет для функции локальное значение. Она не несет определения за пределами этой функции.

Если вы присвоили значение переменной а до определения функции, то значение этой переменной не будет меняться в процессе вычисления функции. Внимание: Если вы присвоили переменной такое же имя, как и функции, вы не сможете использовать эту функцию. Переменная и функции должны иметь разные имена.

Вы не будете сталкиваться с такой проблемой, если будете задавать переменной и функции различные имена. Об обозначениях мы поговорим в уроке 10.

Функции могут иметь более одной переменной.

Значения переменных х и у не изменяются и в этой функции.

Встроенные функции

Mathcad имеет очень много встроенных функций. Перейдите во вкладку Функции.

Все функции вы можете увидеть, если нажмете на кнопку Все функции.

Обратите внимание, что все тригонометрические функции в качестве аргумента получают угол не в градусах, а в радианах. Чтобы использовать градусы нужно выбрать их во вкладке Математика -> Операторы и символы -> Символы.

Математика в тексте

В текстовую область можно поместить область вычислений. Так вы сможете использовать в тексте подстрочные и надстрочные символы. Чтобы сделать это, при редактировании текстовой области нужно нажать на кнопку Математика во вкладке Математика -> Области.

Резюме

1. Mathcad использует два знака равенства отдельно для определения := и для вычисления =.

2. Имя переменной нельзя начинать с цифры. Можно использовать для этого только буквы или символы, отличные от символов операторов. Символы можно вводить с панели Математика -> Операторы и символы -> Символы, а также брать из панели символов Windows.

3. Для определения значения переменной нужно:

• щелкнуть на пустую область;
• ввести имя переменной;
• ввести оператор определения [:=];
• ввести значение переменной.

4. Для присвоения переменной подстрочного описательного индекса нужно:

• нажать мышкой в конце имени переменной;
• нажать [Ctrl+-];
• ввести подстрочный индекс.

5. Для присвоения переменной индекса массива:

• нажмите мышкой в конце имени переменной;
• нажмите на клавиатуре на открывающуюся квадратную скобку [;
• ввести нужный подстрочный индекс.

6. Определять переменную нужно только выше или левее места использования ее в вычислениях.

7. Имя функции вводится с теме же правилами, что и имя переменной, с той лишь разницей, что заканчивать имя функции нужно вводом открывающейся скобки [(]. В них будут размещаться аргументы функции.

8. Переменные в функциях имеют определение только в рамках этой функции.

9. В тексте можно размещать математическую область. Это можно применять при интеграции в текст надстрочных или подстрочных символов.

Построение графика периодической функции

Построение графика функции имея таблицу значений функции
Мой ход решения, иначе не умею, решение через транспонируемые матрицы с построением графика Не.

построение графика функции.
Здравствуйте друзья. Построить на одном рисунке графики двух функций F (х) G ( x ) , задав.

Построение графика функции
Всем доброго времени суток! Мне необходимо построить график следующей функции .

Построение графика функции
Добрый день. Подскажите кто знает. Есть старый расчёт выполненный в Maple, хочу выполнить его в.

Как сделать периодическую функцию в mathcad

адача 16. Составить рекурсивную программу, которая для функции g (x), определенной при x Î [a,b), строит функцию peri( g ,a,b,x), являющуюся периодическим продолжением g (x) на всю действительную ось с периодом w =b–a.

Решение. Нам, очевидно, требуется определить функцию следующего вида:

На языке Mathcad это будет выглядеть практически так же:

Заметим, что при x находящемся вдали от промежутка [ a,b ) вычисление значения функции peri () требует значительного количества рекурсивных вызовов. Происходит это по той причине, что за один такой вызов мы продвигаемся в направлении к [ a,b ) лишь на расстояние w =b — a.

Значительно эффективней проводятся вычисления по функции F(g,x,a,b ), также являющейся периодическим продолжением g(x ) на всю числовую ось:

Контрольные примеры:

1. Пусть y(x)=x 2 × sin(x). Тогда:

2. На рисунке 6 изображен график функции H(t ), являющейся периодическим продолжением функции y(x)=x 2 × sin(x) для x Î [-10,0). График H(t ) построен с помощью программы-функции F () и выведен на промежутке [ — 10,20) с шагом h=0.1.

t := -10, — 9.9, . , 20, H(t) := F(y, t, -10, 0).

Рис. 6. Периодическое продолжение функции y(x)= x 2 × sin(x) для x Î [-10, 0)

Похожие публикации:

1. Как разблокировать telegram
2. Как решать интегралы mathcad
3. Как русифицировать archicad 23
4. Как сделать два графика на одной диаграмме в mathcad

Как задать периодическую функцию в mathcad

Как задать периодическую функцию в Mathcad
Вот примеры как запрограммирована функция для построения графика Мне тоже нужно сделать.

Как задать периодическую функцию в Mathcad
Вот примеры как запрограммирована функция для построения графика Мне тоже нужно сделать функцию.

Как задать периодическую функцию
Добрый вечер. Помогите задать периодический сигнал в matlab. Сигнал задается математическим.

Как задать периодическую кусочно-заданную функцию?
Я пытаюсь задать периодическую, кусочно-заданную функцию, которая аналитически определена так: .

Сообщение было отмечено Серг_OS_2013 как решение

Примеры решения заданий в системе MATHCAD

Цель работы:разложение периодических функций в тригонометрический ряд в программе MathCad с использованием символьных операций.

Указания к выполнению лабораторной работы:

Запустить программу MathCad.

1. Исследовать ряд на сходимость

2. Найти область сходимости степенного ряда

3. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов, которые через определённый промежуток времени повторяется (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т.д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Важным классом функциональных рядов являются тригонометрические ряды. Эти ряды удобны для разложения периодических функций, описывающих различные периодические процессы (например, переменный ток и показатели качества электрической энергии).

Тригонометрический ряд, это ряд вида

,

где a₀, a_n b_n — коэффициенты ряда (действительные числа).

Если f (x) — периодическая функция с периодом 2p и удовлетворяет на отрезке [- p;p ] некоторым условиям (условиям Дирихле), тогда эту функцию можно разложить в тригонометрический ряд:

который называется рядом Фурье.

Коэффициенты такого ряда называются коэффициентами Фурье и вычисляются по формулам:

, , ,

Таким образом, разложение периодической функции в тригонометрический ряд Фурье сводится к вычислению определённых интегралов и записи функциональной зависимости функции.

Разложим элементарную степенную функцию f(x) = x интервале [-p; p]. Все вычисления будем производить в системе Mathcad и параллельно давать комментарии к вычислениям.

Рис. 8.1 — Построение графика разлагаемой функции.

Обозначение её периода разложения.

В данном примере мы построили график функции на том интервале, на котором в дальнейшем будет происходить разложение. Этот период может быть выбран произвольно. Границы периода в данном случае задаются переменными x₁ и x₂.

После того, как были заданы границы периода разложения, и была задана сама функция, которая будет раскладываться на этом периоде, необходимо вычислить коэффициенты ряды Фурье – т.е. найти три определённых интеграла, а именно

, , ,

Найдём значения этих определённых интегралов.

Рис. 8.2 — Нахождение коэффициентов ряда Фурье.

После того, как были найдены коэффициенты Фурье, в зависимости от точности конечного результата задаётся число n — т.е. количество составляющих конечной функции – т.е. количество слагаемых.

Для наглядности конечных результатов построим серию графиков при разных значениях n, а также будем находить определённый интеграл на произвольном промежутке и отслеживать, как будет меняться результат.

Рис. 8.3 — Визуализация графиков для разных значений «n».

В данном примере функции были заданы одна от другой, так как при возрастании n их значения повторяются. В конечном результате они имеют следующий вид.

Рис. 8.4 — Значения функций ряда Фурье при различных значениях «n».

Данный способ задания результирующей функции является достаточно громоздким и неудобным. Однако его основное преимущество в том, что максимально нагляден.

Рис. 8.5 — Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье «n=5».

Рис. 8.6 — Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье «n=15».

В системе Mathcad существует возможность задания функции непосредственно через оператор Суммирование, который находится на панели Исчисление. Приведём три примера на применение этого оператора, а также отследим, как меняется точность полученного графика в сравнении с оригинальным, и найдём эту точность (смотрите выше).

Рис. 8.7 — Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье «n=25».

Функция f (x)= x является симметричной функцией относительно начала координат, поэтому определённые интегралы

, были равны нулю.

Рассмотрим функцию общего вида f(x) = e x и разложим её в тригонометрический ряд Фурье при помощи системы Mathcad. Пример разложения дан ниже

Рис. 8.8 — Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции

Для получения более точного результата зададим количество разложений nx= 45. Однако следует помнить, что время, затрачиваемое на разложение с увеличением nx, возрастает в геометрической прогрессии. Могут встречаться такие случаи, что система Mathcad может отказаться считать этот пример.

Рис. 8.9 — Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции «n=45».

Познакомимся с числовыми рядами, а также возможностями системы Mathcad по их исследованию. Следует отметить, что каких-либо специальных функций для исследования сходимости числовых рядов в системе Mathcad не предусмотрено, как в принципе и для тригонометрических рядов Фурье. Однако существует достаточное количество операторов, которые, при должном применении, могут оказать помощь при исследовании числовых рядов.

Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом

.

При этом числа будем называть членами ряда, а – общим членом ряда.

Суммы , n=1, 2,…

называются частичными суммами ряда

Таким образом, можно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S_1, S₂,…,S_n.

называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частичных сумм.

,

Если последовательность частичных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся, и суммы не имеет.

1) Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … очевидно сходится и его сумма равна 0.

2) Ряд 1 + 1 + 1 + …+ 1 +… расходится, т. к. его частичные

суммы .

3) Ряд 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 -… расходится, т. к. последовательность его частичных сумм имеет вид 1, 0, 1, 0,… и предела не имеет.

представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Этот ряд сходится и его сумма равна 2.

Рассмотрим некоторые свойства рядов.

1) Сходимость или расходимости ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд (С – постоянное число) тоже сходится, и его сумма равна СS

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.

= + = S + s

Далее рассмотрим необходимо условие сходимости рядов.

Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член стремился к нулю. Однако это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, гармонический ряд

является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Исследуем общий член ряда: найдём

Необходимый признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Теперь посмотрим, как данный пример можно решить в системе Mathcad, используя при этом уже известные инструменты.

Рис. 8.10 — Исследование сходимости ряда по необходимому условию сходимости ряда.

Далее мы опишем ещё несколько признаков сходимости ряда, однако данный пример был рассмотрен потому, что, если этот признак сходимости ряда не выполняется, то нет необходимости исследовать ряд на оставшиеся признаки сходимости ряда.

Таким образом, проверка необходимого условия сходимости ряда сходится в системе Mathcad просто к вычислению предела заданной функции на бесконечности. Рассмотрим признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда и

Если при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Примеры: 1) Исследовать на сходимость ряд

Так как а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд . Решим данный пример в системе Mathcad. Смотрите рисунок ниже.

Рис. 8.11 — Исследование сходимости ряда по признаку сравнения

В данном примере мы получили, что для числового ряда выполняется необходимое условие сходимости ряда, т.е. предел стремится к нулю. Далее по признаку сравнения мы получили, что на всей области значений оси Ox числовой ряд больше, чем числовой ряд — это видно из графика функции. Пунктирная кривая отображает числовой ряд , a сплошная кривая отображает ряд .

Рассмотрим другой пример.

Исследовать на сходимость ряд

Так как , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится. Решим данный пример в системе Mathcad.

Рис. 8.12 — Исследование сходимости ряда по признаку сравнения.

Ряд по определению является сходящимся. Из графика функции видно, что на всей области значений оси Ox числовой ряд находится выше, чем числовой ряд , поэтому данный ряд является сходящимся.

В признаке сравнения для того, чтобы исследовать сходимость или расходимость ряда, необходимо иметь «эталонный» числовой ряд, с которым можно дальше проводить сравнение.

Рассмотрим следующий признак – признак Даламбера.

Пусть дан ряд и существует предел . Тогда, если l l >1, то ряд расходится.

При l = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться, и необходимо применять другие признаки сходимости – расходимости числовых рядов.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

,

.

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд сходится.

В системе Mathcad этот пример может быть решён следующим способом.

Примечание к примеру:

Следует обратить внимание на некоторые особенности задания функции. Как показано ниже, для того, чтобы увеличить или уменьшить переменную функции на какую-либо величину, нет необходимости задавать новую функцию и исправлять данную переменную. Достаточно в самой функции добавить изменение и вывести результат при помощи символьного вычисления.

Также важен график функции Факториала. Оператор факториала находится на панели Калькулятор.

Рис. 8.13 — Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.

Рассмотрим следующий пример, который показывает иллюстрацию признака Даламбера для исследования сходимости числовых рядов

.

Следовательно, по признаку Даламбера, ряд расходится. В системе Mathcad этот пример может быть решён следующим способом.

Также всегда рекомендуется строить графики для визуализации полученных результатов.

Рис. 8.14 — Исследование сходимости ряда по признаку Даламбера.

Под геометрическим смыслом предела подразумевается отношение последующего члена числового ряда к предыдущему – т.е. в данном случае оно равно «2». Другими словами, каждый последующий член больше предыдущего в два раза, – что указывает на то, что числовой ряд не может быть сходящимся.

Рассмотрим признак Коши.

Пусть дан ряд и существует предел . Тогда, если l l >1, то ряд расходится.

При l = 1 ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример.Исследовать сходимость ряда

.

Следовательно, по признаку Коши, ряд сходится.

Решим этот пример в системе Mathcad.

Рис. 8.15 — Исследование сходимости ряда по признаку Коши.

Рассмотрим ещё один важный признак, который необходим для исследования сходимости рядов – это интегральный признак.

Допустим, есть ряд и функция f(x)связанная с членами ряда f(n)=u n . Тогда, если сходится несобственный интеграл , то сходится и ряд. Если интеграл расходящийся, то расходится и ряд.

Интегральный признак позволяет доказать расходимость гармонического ряда . Этому ряду соответствует функция . Соответствующий ей несобственный интеграл расходится, т. к.

Исследовать сходимость ряда

Этому ряду соответствует интеграл ,

интеграл сходится, а значит, ряд тоже сходится.

Вообще, ряды вида сходятся при p >1 и расходятся при p ≤ 1.

Таким образом, решение примера на определение сходимости числового ряда сводится к вычислению несобственного интеграла первого рода.

Данный пример может быть решён в системе Mathcad следующим образом.

Рис. 8.16 — Исследование сходимости ряда по интегральному признаку.

Рассмотрим функциональные и степенные ряды.

Если членами ряда будут не числа, а функции, то ряд называется функциональным.

Подставляя вместо х определённое значение хо, получаем числовой ряд:

Этот ряд может быть, как сходящимся, так и расходящимся.

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Если ряд сходится при x= x₀, то точка x₀ называется точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости.

Среди функциональных рядов особую роль играют степенные ряды, которые используются для приближенного вычисленияфункций (ряды Тейлора и Маклорена) и интегралов, решения дифференциальных уравнений и др. Степенным рядом называетсяфункциональный ряд вида

,

где a₀, a₁, a₂,…- действительные числа, коэффициенты степенного ряда.

Рассматриваются также ряды по степеням при (x-x₀)

,

где x₀ — некоторое число.

Вопрос о сходимости степенных рядов очень важен. Область сходимости степенного ряда обладает некоторыми замечательными свойствами.

Для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех x таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости. Для решения вопросов о сходимости на границах интервала необходимо проводить дополнительные исследования степенного ряда.

Радиус сходимости вычисляется по формуле

или

Для рядов по степеням (x-x₀)центр интервала сходимости смещается в точку x₀ — (x₀ – R; x₀ + R)

Найти интервалы сходимости ряда:

Коэффициенты ряда:

Вычислим радиус сходимости

Радиус сходимости бесконечен, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.

Рис. 8.17 — Интервал сходимости функционального ряда.

Таким образом, радиус сходимости бесконечен, следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.

Примеры решения заданий в системе MATHCAD

Задача № 1

Исследовать ряд на сходимость

Задача № 2

Найти интервалы сходимости ряда:

Это ряд по степеням (x +1), значит, центром области сходимости будет точка x₀ = -1.

Коэффициенты ряда:

.

Следовательно, интервал сходимости ряда — (-3;1).

Задача № 3

Разложить функцию y(x) = x 2 в ряд Фурье на интервале [-p; p].

Задаём функцию f(x): = x 2 .

Так как функция чётная достаточно вычислить один коэффициент

Варианты заданий к лабораторной работе № 8

Завдання 1. Дослідити на збіжність числові ряди: а) за ознакою Даламбера; б) за інтегральною ознакою Коші; в) за ознакою порівняння; г) на умовну та абсолютну збіжність.

№	а	б	в	г

Завдання 2. Знайти область збіжності степеневого ряду.

№	№

Задание 3

Разложить функцию в ряд Фурье на интервале (- π, π)

№	№

ЛИТЕРАТУРА

1. Дьяконов В.П. Mathcad 11/12/13 в математике. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. – 958 с., ил.

2. Денисов-Винский Н.Д., Ерохин С.В. Математика I курс. I семестр. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Электроснабжение». – М.: МИЭЭ, 2007.

3. Денисов-Винский Н.Д., Ерохин С.В. Математика I курс. II семестр. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Электроснабжение». – М.: МИЭЭ, 2007.

4. Денисов-Винский Н.Д., Ерохин С.В. Математика II курс. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Электроснабжение». – М.: МИЭЭ, 2007.

5. Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по курсу математика. I курс. Учебное пособие для студентов. Специальность 140211 «Электроснабжение». – М.: МИЭЭ, 2007.

6. Сеидова С-Ф. Г. Mathcad в помощь студентам высших учебный заведений. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.

7. Сеидова С-Ф. Г. Решение задач высшей математики при помощи системы Mathcad. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

Квантование периодического сигнала

Для того чтобы смоделировать простейшее квантование по времени и по уровню, потребуется ступенчатая функция, которую запишем в следующем виде:

(2)

В среде MathCAD эта запись будет иметь вид

(3)

Как задать аналитическую функцию и построить её график(пилообразный сигнал) в Mathcad?

RPI.su — самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected] . Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.