Как решить дифференциальное уравнение в wolfram mathematica

Решить уравнение в wolfram mathematica

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского

NovaInfo55, с. 5-9
Опубликовано 20 ноября 2016
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 50
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Ключевые слова

Текст научной работы

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в 1.

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение y’=\frac

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

Читайте также

Математическая подготовка студентов в вузе в контексте будущей профессиональной деятельности

Использование прикладных программ при изучении математической статистики

Применение систем компьютерной математики при изучении комплексного анализа

Организация самостоятельной работы студентов в условиях информационно-образовательной среды вуза

Системы компьютерной математики в решении дифференциальных уравнений

Список литературы

1. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
2. Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.
3. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.
4. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.
5. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
6. Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.
7. Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Цитировать

Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 23.02.2022).

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Решение «буквенных» уравнений в Wolfram|Alpha

Задача «выразить х из уравнения (с несколькими неизвестными)» встречается довольно часто. Ее можно рассматривать, как решение уравнения с буквенными коэффициентами. Поэтому логично, что Wolfram|Alpha использует для решения таких «буквенных» уравнений запрос solve, который обычно служит для решения уравнений с одним неизвестным.

Вот простой пример такой задачи.

Запрос solve применительно к этому уравнению дает такой результат:

Здесь Wolfram|Alpha отдает приоритет отысканию переменной y. Возможно, полагая, что y это — функция, а x — ее аргумент? Кстати, тот же самый результат дает и запрос solve 2x+3y-1.

Если же из данного уравнения нужно найти именно х, то это следует указать явно. И вот, каким образом:

При этом, в отличие от первого варианта, здесь Wolfram|Alpha дает возможность посмотреть пошаговое решение задания с подробным текстовым комментарием:

(Эта замечательная особенность Wolfram|Alpha уже обсуждалась в одном из предыдущих постов Математика с Wolfram|Alpha: шаг за шагом. )

Итак, рассмотренный выше пример уже дает представление о том, как легко Wolfram|Alpha справляется с «буквенными» уравнениями. Однако, пойдет ли дело так же гладко, если вместо x и y взять другие буквы?

Запрос solve 2a+3b-1 дает следующее:

Однако, абсолютно аналогичный по структуре запрос solve 2n+3m-1 выводит совсем другой результат:

Конечно же! Логика здесь есть: Wolfram|Alpha по умолчанию считает неизвестным то, что обозначено буквой, расположенной ближе к концу алфавита. Но, если вы не уверены в своем знании английского алфавита, тогда, решая в Wolfram|Alpha буквенное уравнение, лучше каждый раз явно указывать неизвестную величину.

Естественно, теперь возникает вопрос: а что будет, если взять уравнение, которое содержит не два буквенных обозначения, а больше? Например, такое:

Как и следовало ожидать, здесь Wolfram|Alpha по запросу solve (без указания неизвестного) выводит решение квадратного уравнения относительно x:

Если же из данного уравнения нужно найти b, то запрос должен быть таким:

Аналогичным образом следует поступить, если ищем c:

Также ясно, что решение кубического уравнения

А вот, если нас интересует, как выражается из данного уравнения a, то запрос формулируем иначе:

Под конец, хочется задать Wolfram|Alpha вопрос посложнее. Например, сможет ли система решить такое «буквенное» уравнение?

Запрос solve без явного указания неизвестного выводит решение этого уравнения относительно z:

Если же нужно найти, к примеру, w, тогда, естественно, получим:

Что же касается решения трансцендентных «буквенных» уравнений, то все зависит от вида конкретного уравнения. Если уравнение допускает аналитическое решение, тогда это решение получается точно так же, как и ранее. Если же нет, тогда, по-возможности, Wolfram|Alpha выдает неявное решение в графическом виде.

Рассмотрим несколько типичных примеров.

Некоторые решения оказываются довольно неожиданными и по-своему красивыми:

Алгебра

Можно проводить факторизацию или раскрывать алгебраические выражения:

(Используйте CTRL + 6 для ввода степени.)

В Языке Wolfram символ == (два знака равенства) используется для проверки равенства:

Объединим алгебраические выражения с помощью == для формирования уравнения:

Функции, такие как Solve позволяют найти точные решения уравнений:

Для приближенных результатов используйте NSolve:

Систему уравнений можно передать функции в виде списка:

Найдем корни уравнения:

В случае если полином не так просто разложить на множители, то лучше использовать приближенные решения:

Функция Reduce сводит системы неравенств к простой форме:

Упрощенная форма может состоять из нескольких интервалов:

Функция NumberLinePlot — это удобный способ визуализации этих результатов:

Большое число уравнений и формул доступно через естественную форму ввода:

EMBED

To add the widget to iGoogle, click here. On the next page click the «Add» button. You will then see the widget on your iGoogle account.

To embed this widget in a post on your WordPress blog, copy and paste the shortcode below into the HTML source:

For self-hosted WordPress blogs

To embed this widget in a post, install the Wolfram|Alpha Widget Shortcode Plugin and copy and paste the shortcode above into the HTML source.

To embed a widget in your blog’s sidebar, install the Wolfram|Alpha Widget Sidebar Plugin, and copy and paste the Widget ID below into the «id» field:

To add a widget to a MediaWiki site, the wiki must have the Widgets Extension installed, as well as the code for the Wolfram|Alpha widget.

To include the widget in a wiki page, paste the code below into the page source.

Как решить дифференциальное уравнение в wolfram mathematica

Как решить дифференциальное уравнение в wolfram mathematica

Аннотация на русском языке: Применение Wolfram Mathematica для решения линейных дифференциальных уравнений аналитическим методом и методом конечных элементов. Краткое описание системы, основных функций, и их применения. Краткое описание МКЭ, его сути и идеи. Прописано решение дифференциального уравнение в Wolfram Mathematica. С помощью полученных графиков проведен анализ двух методов.

The summary in English: The use of «Wolfram Mathematica» for the solving of linear differential equations by analytical and finite elements methods. Description of Wolfram system, its main functions and applications. Main theoretical concepts of finite elements method. Description of the solution of the differential equation in the «Wolfram Mathematica». Analysis of two methods with the using of graphs.

Ключевые слова: Wolfram Mathematica, метод конечных элементов, NDSolve, дифференциальное уравнение, сетка конечных элементов.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ WOLFRAM MATHEMATICA В РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Подробнее

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Области прикладного применения систем компьютерной математики для численных и аналитических расчетов. Возможности программы Wolfram Mathematica. Примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений и геометрических задач в системе Wolfram Mathematica.

Рубрика	Математика
Вид	статья
Язык	русский
Дата добавления	16.07.2018
Размер файла	274,0 K

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Деякі відомості математичного аналізу. Виховне значення самостійної навчальної роботи. Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп’ютерної математики. Відомості про систему Wolfram Mathematica. Обчислення границь функції, похідних та інтегралів.

курсовая работа [1,0 M], добавлен 10.05.2011

Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные — элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.

контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016

Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера — системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.

лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012

Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.

курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011

Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.

курсовая работа [1,5 M], добавлен 15.06.2009

Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

Прикладная математика и информатика

Недавно я писал про решение системы параболического и эллиптического уравнений в MATLAB (см. здесь). Выяснилось, что MATLAB не справился с задачей решения такой системы, когда для функций ставятся краевые условия 3-го рода.
Попробуем решить такую же систему в Wolfram Mathematica.
Если записать такую систему непосредственно в функции NDSolve , то Mathematica её не решит. Однако для решения систем такого типа (когда система дифференциальных уравнений в частных производных методом прямых сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям вместе с алгебраическими уравнениями) можно использовать подход, описанный в статье Numerical Solution of Differential-Algebraic Equations документации Wolfram Mathematica (см. раздел Combined Elliptic-Parabolic PDE in 1D).

Исходный код (это немного изменённый пример, который приведён в той статье):

Clear[u, v, nx, eqn1, eqn2, ic1, ic2, vars,
eqn1, eqn2, ic1, ic2, vars, sol, PDEsol, order, p, npts];
npts = 100; order = 12; p = 10;
nx = Range[0, ll, 1/(npts — 1)]; =
Map[NDSolve`FiniteDifferenceDerivative[Derivative[#], nx,
«DifferenceOrder» -> order][«DifferentiationMatrix»] &, ];
u = Array[u$[#][t] &, npts]; v = Array[v$[#][t] &, npts];
eqn1 = Thread[D[u, t] == d2dx2.u + 2];
eqn2 = Thread[0 == d2dx2.v + u];

ic1 = Thread[u == 0] /. t -> 0;
ic2 = Thread[v == 0] /. t -> 0;

Wolfram Mathematica показала отличные результаты. Вот графики приближённых решений.

График приближённого решения u(x,t)

График приближённого решения v(x,t)

Отметим, что для того, чтобы начальное условие могло зависеть от x и чтобы в уравнении могла стоять функция от x, этот пример нужно ещё как-то подправить.
Вот исходный код для решения той же системы, но со сдвинутым на 1 временем (в этом случае начальное условие для v зависит от x).

Clear[u, v, nx, eqn1, eqn2, ic1, ic2, vars,
eqn1, eqn2, ic1, ic2, vars, sol, PDEsol, order, p, npts];
npts = 100; order = 12; p = 10;
nx = Range[0, ll, 1/(npts — 1)]; =
Map[NDSolve`FiniteDifferenceDerivative[Derivative[#], nx,
«DifferenceOrder» -> order][«DifferentiationMatrix»] &, ];
u = Array[u$[#][t] &, npts]; v = Array[v$[#][t] &, npts];
eqn1 = Thread[D[u, t] == d2dx2.u + 2];
eqn2 = Thread[0 == d2dx2.v + u];

eqn1[[1]] = -ddx[[1]].u + u[[1]] == 2*(t + 1);
eqn1[[-1]] = ddx[[-1]].u + u[[-1]] == 2*(t + 1);

ic1 = Thread[(u /. t -> 0) == 2];
ic2 = Thread[(v /. t -> 0) == (nx /. x_ :> (1 + x — x^2))];

Похожие публикации:

1. Как построить график в mathcad x y
2. Как построить спектр сигнала в matlab
3. Как провести арифметические вычисления mathcad
4. Как работать в movie maker для windows

Язык Wolfram Language ™

Решение уравнения Пуассона с периодическими граничными условиями

Решить уравнение Пуассона с периодическими граничными условиями на кривых границах.

Задать область распределения.

\[CapitalOmega] = RegionDifference[RegionUnion[Disk[], Rectangle[<0, -1>, ]], Disk[]];

Решить дифференциальное уравнение в частных производных с периодическими граничными условиями с указанием решения левой стороны уравнения в правой части области распределения.

ufun = NDSolveValue[\), \(2\)]\(u[x, y]\)\) == 1, PeriodicBoundaryCondition[u[x, y], (x — 2)^2 + y^2 == 1, Function[x, x — ]], DirichletCondition[ u[x, y] == 0, (0 = 1))]>, u, \[Element] \[CapitalOmega]];

ContourPlot[ufun[x, y], \[Element] \[CapitalOmega], ColorFunction -> «TemperatureMap», AspectRatio -> Automatic] // Quiet