Как построить фазовый портрет в maple

Построить фазовый портрет системы

Требуется построить фазовый портрет динамической системы. Динамическую систему в Maple написал, но DEplot3d не работает, выдаёт ошибку : Error, (in DEtools/DEplot) system must have same number of dependent variables as DE’s.
В чём причина, разобраться не могу. Может есть, кто подскажет?
Сам код:

>restart; >with(DEtools); >g:= 0.6; >m:= 0.3; >T1:= diff(x(t), t) = m*x(t)+y(t)-x(t)*z(t); >T2:= diff(y(t), t) = -x(t); >T3:= diff(z(t), t) = g*(-z(t)+x(t)^2*Heaviside(x(t))); >sys:= [T1, T2, T3]; >DEplot3d([sys], [x(t), y(t), z(t)], t = 0 .. 200, [[x(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 0], [x(1) = 1, y(1) = 1, z(1) = 1]], stepsize = .1, linecolor = [blue, green]);

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений
помогите пожалуйста построить фазовый портрет для системы дифуравнений в Maple система под номером.

Фазовый портрет системы ДУ
Не получается фазовый портрет системы: \dot=\ln (e-5 x)-^; \dot=5 x+\tan в.

Фазовый портрет
Добрый день. Раньше не пользовалась мэпл 13, но захотелось построить график покрасивще, чем от.

Фазовый портрет в Maple
Доброго времени суток) Нужна помощь в построении фазового портрета. Программа вроде рабочая: .

6755 / 4830 / 2034
Регистрация: 02.02.2014
Сообщений: 12,922

Цитата Сообщение от dragonavt Посмотреть сообщение

DEplot3d([sys],
скобки убрать
DEplot3d(sys.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Как построить «параметрический портрет» решения системы ОДУ
Всем доброго дня! Численно решаю систему нелинейных ОДУ размерности 2, переменные: x1(t) и.

Построить фазовый портрет нелинейной системы
Y"(t)+2Y2(t)+Y(t)=0 Как построить фазовый портрет данной системы в маткаде?

Не получается построить фазовый портрет системы нелинейных дифференциальных уравнений
Добрый день, не получается построить фазовый портрет системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Построить фазовый портрет
Помогите пожалуйста построить фазовый портрет в Mathcad. Начальные условия можно менять. У меня.

Построить фазовый портрет
Доброго времени суток! Помогите, пожалуйста, выбивает ошибку при команде = ode45(‘F’, t, x); , как.

Построение фазового портрета

Построение фазового портрета
Доброго времени суток! Мне нужно построить фазовый портрет такого дифференциального уравнения в.

Построение фазового портрета
Очень нужна помощь! Нужно составить программу для построения фазового портрета модели Мальтуса. .

Ошибка при построении фазового портрета
restart; with(DEtools); sys := diff(x(t), t) = y, diff(y(t), t) = sin(x); DEplot(, , t = 0.

Построение фазового портрета
Здравствуйте, уважаемые форумчане. Столкнулась со следующей проблемой: преподаватель задал.

Фазовые портреты «на пальцах» или что можно узнать о решениях диффура, не решая его

Очень часто в ряде наук встречается ситуация, когда модель рассматриваемого процесса сводится к дифференциальному уравнению. Причём, в большинстве реальных задач это уравнение довольно сложно решить, или совсем невозможно. И вот тут в полный голос звучит извечный вопрос: как быть?

Встречайте: фазовые портреты (они же фазовые диаграммы). Простым языком, фазовый портрет — это то, как величины, описывающие состояние системы (a.k.a. динамические переменные), зависят друг от друга. В случае механического движения это координата и скорость, в электричестве это заряд и ток, в известной популяционной задаче это количество хищников и жертв и т.д.

Чем хороши фазовые портреты? А тем, что их можно построить не решая динамические уравнения системы. В некоторых случаях построение фазового портрета становится совсем простой задачей. Однако, одновременно с этим, фазовые портреты дают вдумчивому наблюдателю очень много информации о поведении системы.

Начнём с простого примера — малых колебаний (так же называемых гармоническими). Малые колебания встречаются почти в каждой сфере естественных наук. Для определённости, будем рассматривать колебания металлического стержня, подвешенного за один из концов (частный случай так называемого физического маятника). Можно показать, что его колебания описываются следующим дифференциальным уравнением:

Где x — угол отклонения стержня от вертикали, точка над x означает производную по времени, а коэффициент перед синусом зависит от размера и массы стержня.

Если амплитуда (размах) колебаний достаточно мала, синус можно приближенно заменить его аргументом (вы ведь помните первый замечательный предел, нет?). В таком случае, уравнение принимает следующий вид:

Это уравнение легко решается регулярными методами, но, давайте, попробуем применить к нему метод фазовых портретов. Для этого, домножим уравнение на производную и проинтегрируем его один раз по времени:

Получилось выражение, первый член которого выглядит как кинетическая энергия. Это не случайно — на самом деле мы получили именно закон сохранения энергии. Постоянная Е в правой части (полная энергия системы на единицу массы) может принимать различные значения, которые соответствуют разным начальным состояниям системы.

Полученный нами закон сохранения превратился в уравнение кривой на плоскости (x,u):

Для разных значений Е мы получим разные кривые. Нарисуем несколько таких линий для разных значений энергии:

По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Каждая из полученных линий называется фазовой траекторией. Когда меняется состояние системы, изображающая её точка движется по одной из этих траекторий, стрелки указывают направление движения изображающей точки.

По графику видно, что значения скорости и координаты меняются циклическим образом, то есть периодически повторяются. Отсюда можно сделать вывод, что описываемая рассмотренным уравнением система будет совершать колебания. Бинго! Именно так ведёт себя маятник, и если решить уравнение, решение будет иметь вид периодических функций (а именно — комбинации синуса и косинуса).

Следует однако помнить, что замена синуса его аргументом оправдана лишь для малых углов отклонения (от 10 градусов и меньше), поэтому мы не можем доверять тем траекториям, которые выходят за границы области, ограниченной жирными пунктирными линиями, то есть из четырех приведенных траекторий лишь оранжевая достоверно отображает реальность. Кроме того, поскольку x это угол, то его значения, соответствующие 180 и -180 градусам описывают одно и то же положение стержня, то есть правая и левая пунктирные линии (тонкие) на графике это на самом деле одна и та же линия.

Теперь, поскольку нам понятна суть, можно перейти к чему-то посложнее. Выше мы очень сильно упростили уравнение и при этом ограничили себя только малыми колебаниями. Математик бы сказал, что мы линеаризовали уравнение и пренебрегли нелинейными эффектами. Так давайте включим в рассмотрение нелинейность. Вернёмся к самому первому уравнению — с синусом. Если мы повторим с ним то, что проделали с линейным уравнением, мы получим следующий закон сохранения:

В зависимости от значения энергии, мы опять получаем разные кривые, которые приведены на следующем рисунке, причем выбраны те же значения энергии, что и на первой диаграмме, и те же цвета для линий.

По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Как видите, процессы происходящее в системе стали более разнообразными:

При малых энергиях (оранжевая и синяя траектории) существует колебательный режим, но колебания уже не являются гармоническими — фазовые траектории уже не имеют форму эллипсов.

При больших энергиях (зеленая траектория) колебаний уже нет, вместо этого мы получаем вращательное движение с переменной скоростью. И действительно, если достаточно сильно «толкнуть» стержень, он будет вращаться, замедляясь при подъёме и ускоряясь при спуске.

При определенном промежуточном значении энергии получается особый набор траекторий, которые отделяют друг от друга области соответствующие разным типам движения и поэтому называются сепаратрисами. И да, значение энергии для красной кривой было выбрано мной именно так, чтобы в нелинейном случае получилась сепаратриса. Каждая ветвь сепаратрисы это траектория, соответствующая особому типу движения. Посмотрим на диаграмму: движение начинается с очень маленькой скоростью от одного крайнего положения стержня, при приближении к положению равновесия скорость растёт, а после изображающая точка все более замедляясь уходит к крайнему положению, где и останавливается. Это соответствует тому, что мы поднимаем стержень вертикально вверх и отпускаем его, проносясь через положение равновесия он поднимается к верхней точке с другой стороны и останавливается.

А теперь давайте посмотрим насколько близки к истине наши выводы, сделанные на основе фазовых портретов. Перед вами график решения линейного уравнения:

По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x

Цветовая маркировка на этих графиках такая же, как и на фазовых портретах. Судить о том, насколько верные выводы были сделаны на основе фазовых портретов я предоставлю вам, дорогие читатели. Обращу ваше внимание только на один момент — колебания в линейном случае происходят синхронно — с одной и той же частотой. В нелинейном же случае, частота колебания с большей амплитудой (синяя линия) оказывается меньше, чем у колебания с малой амплитудой (оранжевая линия). Это служит еще одним подтверждением того, что нелинейные колебания не являются гармоническими.

Ну и напоследок: это всего лишь поверхностный экскурс в метод фазовых портретов, и словосочетание «на пальцах» попало в заголовок неспроста. Те же, кто решит углубиться в перипетии данного предмета, увидят, что за фазовыми портретами скрывается намного большее.

математика
динамические системы
качественный анализ
диффуры

Как построить фазовый портрет в maple

Как построить фазовый портрет — Maple — Обсуждение 1968781

Фазовый портрет системы ДУ
Не получается фазовый портрет системы: \dot =\ln (e-5 x)- ^ ; \dot =5 x+\tan в.

Как построить «параметрический портрет» решения системы ОДУ
Всем доброго дня! Численно решаю систему нелинейных ОДУ размерности 2, переменные: x1(t) и.

Как правильно построить фазовый портрет (седло)?
Судя по найденным корням характеристического уравнения и построенному векторному полю, имею тип.

Построить фазовый портрет
Помогите пожалуйста построить фазовый портрет. Делаю по примеру, но график не строит. У меня.

Построить фазовый портрет по точкам
Добрый день. Стоит следующая задача: дана система из трех ДУ. Нужно решить ее численно методом.

Необходимо построить фазовый портрет
Доброго времени суток! Помогите пожалуйста построить фазовые портреты функций: М файл.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 6/7

Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 13.9. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий.

Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий: x(0) = y(0) = 1.2 и x(0) = 1 и у(0)=0.7.

Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения.

Рис. 13.9. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля

Функция DEplot3d из пакета DEtools

В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых – например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция DEplot3d:

Назначение параметров этой функции аналогично указанному для функции DEplot.

Рисунок 13.10 поясняет применение функции DEPlot3d для решения системы из двух дифференциальных уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости x(t), y(t). В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков/линий равной высоты.

Рис. 13.10. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с помощью функции DEptot3d

Построение фазового портрета в Matlab Simulink

Фазовый портрет представляет собой совокупность фазовых траекторий. Для системы второго порядка фазовая траектория представляет собой совокупность точек, горизонтальная координата которых соответствует выходной функции, а вертикальная – производной от этой функции в каждый момент времени t. Пример:

Рис.1.1. Фазовый портрет.

Каждой фазовой траектории соответствуют свои начальные условия (значения y и y’ в момент времени t=0). В приведённом выше примере это точка (1,1). В принципе, по одной фазовой траектории можно получить представление о поведении системы.

Предположим, наша система описывается уравнением

Это уравнение можно представить в виде

Согласно уравнению составляется схема:

Рис.1.2. Вид схемы моделирования для получения фазовой траектории

Для построения траектории используется блок XY Graph из раздела Sinks. На вход системы подаётся 0 с помощью блока Constant из раздела Sources. В его настройках указывается Constant Value “0”.

Начальные условия задаются в настройках интеграторов. Необходимое значение устанавливается в поле Initial condition. Начальное значение функции устанавливается для интегратора, на выходе которого функция y. Начальное значение производной – для того, у которого на выходе производная. Начальные условия (0,0) не годятся. В этом случае

решением уравнения будет функция y=0, y’ тоже равно нулю. Вся фазовая траектория будет представлять собой точку (0,0), и по ней ни о чём нельзя будет судить. Обычно берутся начальные условия (1,1).

Подставляем эти значения в уравнение:

Составляем по нему схему:

Рис.1.3. Пример моделирования для получения фазовой траектории

Начальные условия задаём для каждого интегратора 1:

Рис.1.4. Окно настроек интегратора

В настройках XY Graph указываем максимальные и минимальные значения осей так, чтобы на поле влезала вся траектория:

Рис.1.5. Окно настроек блока XY Graph

Для получения фазовой траектории достаточной длины необходимо выставить время симуляции, большее, чем стандартное. В данном примере 200. Выставить это можно в меню Simulation –> Simulation parameters…. В открывшемся окне указывается нужное время в поле «Stop time».

Запускаем симуляцию, получаем траекторию:

Рис.1.6. Полученная фазовая траектория

Аналогично можно получать фазовые траектории для систем третьего порядка

По нему составляется схема:

Рис.1.7. Вид схемы моделирования системы третьего порядка для получения фазовой траектории

Начальные условия задаются уже для всех трёх интеграторов.

2. Моделирование нелинейных систем

Также можно построить фазовые траектории и для систем с нелинейными элементами. Линейная часть такой системы представляется в также, как и описано выше, а перед ней включается нелинейный элемент.В Simulink большая часть нелинейных элементов располагается в разделе Discontinuities.

Там представлены такие нелинейные элементы как:

— Relay — реле с гистерезисом. В настройках указываются «Switch on point», «Switch off point» — входные значения при котором реле переходит с низкого уровня на высокий, и с высокого на низкий. Если значения одинаковые – гистерезиса не будет. «Output when on» и «Output when off» — выходные значения высокого и

Dead Zone – элемент с линейной характеристикой и с зоной нечувствительности. В настройках указываются границы зоны нечувствительности.

— Saturation – элемент с линейной характеристикой и насыщением. В настройках указвывются значения, при которых наступает насыщение.

Кроме того, при создании моделей нелинейных систем может понадобиться блок Sign из раздела Math Operations. При подаче на вход отрицательного значения на выходе блока будет -1, при подаче 0 – будет 0, а при подаче положительного – на выходе установится единица.

Чтобы получить реле с зоной нечувствительности, необходимо последовательно соединить блоки Dead Zone и Sign. Границы зоны нечувствительности указываются в настройках блока Dead Zone . Если выходной уровень должен быть отличен от единицы, на выход ставится усилитель.

Рис.2.1. Модель реле с зоной нечувствительности

Реле с зоной нечувствительности и гистерезиса можно получить с помощью суммы сигналов с двух реле.

Рис.2.2. Модель реле с зоной нечувствительности и гистерезисом.

Рис.2.3. Релейная характеристика с зоной нечувствительности и гистерезисом.

Для первого реле указывается момент включения («Switch on point») равный значению b 2 , а выключения («Switch off point») — равный значению b 1 Значение высокого уровня «Output when on» — равно c, а низкого равно 0.

Для второго реле «Switch on point» устанавливается значение –b 1 , а «Switch off point» — значение –b 2 Значение высокого уровня «Output when on» — равно 0, а низкого равно -с.

Например, b 1 =1, b 2 =2, с=0,5.

Рис.2.4. Настройка первого реле.

Рис.2.5. Настройка второго реле.

Умея строить фазовые траектории для линейных систем и моделировать нелинейные элементы, можно получить фазовый портрет для нелинейной системы.

Рис.2.6. Функциональная схема нелинейной системы.

Линейная часть системы описывается уравнением:

3 d 2 y 2 ( t ) dy ( t ) 4 F ( y ( t )) , dt dt

Нелинейный элемент F(y(t)) – реле с гистерезисом и зоной нечувствительности.

В соответствии с указаниями, приведёнными в первом разделе, построим схему линейной части, зададим начальные условия для интеграторов.

Рис.2.7. Схема линейной части системы.

На вход системы установим нелинейный элемент и произведём его настройку:

Рис.2.8. Схема системы с нелинейным элементом.

Охватим систему обратной связью и установим в качестве источника константу «0»:

Рис.2.9. Схема модели нелинейной системы.

Указываем в настройках нужное время симуляции (меню Simulation –> Simulation parameters…–>Stop time)(примерно 200).

Запустив симуляцию, получаем фазовую траекторию.

Рис.2.10. Фазовая траектория нелинейной системы.

Также по этой схеме можно получить переходной процесс. Для этого блок XY Graph заменяется на Scope, а константа 0 на блок Step. Для интеграторов устанавливаются нулевые начальные значения. Или же можно представить линейную часть в виде передаточной функции.

Рис.2.11. Схема для получения переходного процесса. Линейная часть – в виде передаточной функции.

Важно иметь в виду следующее – при наличии элементов с зоной нечувствительности или гистерезисом система может никак не отреагировать на единичное ступенчатое воздействие. Это произойдёт, если входное значение для первого переключения (величина b 2 в данном примере) больше единицы. Тогда для получения переходного процесса необходимо либо уменьшить это значение, либо установить большую величину для ступенчатого воздействия (изменить «Final value» в настройках элемента Step). В нашем примере необходимо задать значение, большее b 2 .

Рис.2.12. Переходной процесс нелинейной системы. «Final value» для Step равно трём.

Как построить фазовый портрет системы

Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.

Метод дифференциальных уравнений. Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.

Метод изоклин — это метод линий постоянного наклона.

Пусть даны уравнения нелинейной системы:

где: — произвольные функции.

Чтобы получить фазовый портрет исключим время:

Пусть , при этом — это уравнение линии в плоскости (x 0 y). Каждому значению константы с соответствует некоторая линия, обладающая следующим свойством: в каждой точке линии , т.е. если фазовая траектория пересекает изоклину, то она имеет постоянный наклон рис. 10.

Рис. 10

Если провести достаточное число таких линий с соответствующими наклонами, то можно построить фазовый портрет системы. При этом точность зависит от числа изоклин. Направление движения определяется по правилу: если производная , x >0, то движение такое, что x возрастает.

Рассмотрим релейную следящую систему, схема которой приведена на рис. 11.

Рис. 11

Если на вход НЭ с релейной характеристикой (рис. 12) подается сигнал При этом: — угол поворота задающей оси; — угол поворота отрабатывающего потенциометра.

Рис. 12

Вследствие этого на двигатель подается напряжение , двигатель вращается в определенном направлении в соответствии с полярностью подаваемого напряжения до тех пор, пока оно не станет равным нулю.

Для улучшения качества переходного процесса в систему может быть включена отрицательная обратная связь по скорости двигателя с помощью тахогенератора (ТГ).

Запишем уравнения элементов системы. Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

Так как поток возбуждения = const, то . Допустим, момент нагрузки мал, при этом =0.

Передаточную функцию для якорной цепи K₁(p) можно получить из ее дифференциального уравнения

Для редуктора и угла поворота вала двигателя

На основании функциональной схемы и полученных передаточных функций элементов системы составляем структурную схему рис. 13

Для построения фазового портрета необходимо записать систему дифференциальных уравнений.

Рассмотрим свободное движение системы ( ) при этом x = .

Дифференциальное уравнение нелинейной системы имеет вид

Представим уравнение в виде системы уравнений:

Построим фазовый портрет. Для простоты построения фазового портрета делаем некоторые упрощения:

1) Пусть обратная связь по скорости — отсутствует (К = 0).

2) Характеристика нелинейного элемента однозначна (рис. 14).

С учетом принятых допущений система уравнений упрощается.

Построим характеристику для каждой зоны.

Пусть — a x a, (x) = 0.

При этом исходная система имеет вид:

Решение этого уравнения имеет вид , т.е. наклон фазовых траекторий всюду постоянный (отрицательный).

Определим равновесное состояние системы из условия:

Это условие выполняется при y = 0, т.е. точка вырождается в прямую линию y = 0 на интервале [- а, а]. Фазовые траектории на участке — а a, . При этом исходная система нелинейных уравнений имеет вид

где c_i — семейство изоклин, которое представляет собой прямые параллельные оси х, т.е. , где определяется из выражения для

Задаваясь значениями , строим семейство изоклин. Определяем углы пересечения изоклин фазовыми траекториями.

Так как . Например, если , то = 90.

Пусть х 2 не применяется.

Рассмотрим несколько примеров построения фазовых портретов нелинейных систем управления

Пример 1. Пусть задана система, состоящая из линейной части и нелинейного элемента (усилитель с ограничением по модулю) (рис. 19). Это кусочно-линейная система, так как на отдельных участках она ведет себя как линейная (в области) — а, +а[). Допустим в области (] — а, +а[) коэффициент усиления большой и система неустойчива а фазовый портрет характеризуется особой точкой «неустойчивый фокус». За пределами области коэффициент усиления мал, допустим, что при этом система устойчива и характеризуется особой точкой — «устойчивый фокус».

При больших отклонениях x > a общий коэффициент усиления системы мал, система устойчива, процесс затухает.

При малых отклонениях общий коэффициент усиления системы большой — процесс расходится к замкнутой траектории, которая характеризует наличие устойчивых автоколебаний (рис. 20).

В этой системе три типа движений: автоколебания; сходящиеся колебания; расходящиеся колебания

Пример 2. Пусть задана система с характеристикой нелинейного звена типа «зона нечувствительности» (рис. 21). Необходимо построить фазовый

портрет данной системы, определить наличие предельных циклов и проанализировать их устойчивость.

Рис. 21 Рис. 22

Пусть в области [-b, +b] система устойчива, при этом коэффициент усиления — К мал, переходный процесс затухает, особая точка «устойчивый фокус» вне области К — большой, переходный процесс расходится (рис. 22). Эта система имеет неустойчивый предельный цикл, т.е. автоколебания неустойчивы.

Для более сложных нелинейных элементов может быть несколько предельных циклов.

Пример Для заданной системы (рис. 23) построить примерный фазовый портрет.

Решение: Исходную схему можно представить в виде (рис. 24).

Построим фазовый портрет

1) При — a +a f(x) = x — a, а система уравнений имеет вид

Для каждого с_i определим угловой коэффициент наклона изоклины — к по формуле и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле = arctg c, результаты приведены в таблицах 1 и 2.

Полученный нами закон сохранения превратился в уравнение кривой на плоскости (x,u):

Для разных значений Е мы получим разные кривые. Нарисуем несколько таких линий для разных значений энергии:

По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Как видите, процессы происходящее в системе стали более разнообразными:

По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x

Модели, представленные одним дифференциальным уравнением первого порядка (17) не могут описывать реальные процессы, часто имеющие колебательный характер. Такую возможность представляют системы дифференциальных уравнений более высокого порядка. Хорошие результаты получаются при использовании системы двух уравнений первого порядка, допускающей исследование переменных на фазовой плоскости. Остановимся на некоторых общих свойствах таких систем, описываемых в общем виде уравнениями

гдеP(x, y) и Q(x, y) – непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у – декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные не ниже первого порядка.

Область может быть как неограниченной, так и ограниченной. Биологические или химические переменные не могут быть отрицательными величинами, поэтому область представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Часто численное значение переменных может быть ограничено внешними условиями, тогда они могут быть ограничены и снизу и сверху:

Каждому состоянию системы соответствует пара значений переменныхх и у. На фазовой плоскости с осями координат х, у каждая точка М (х, у) соответствует определенному состоянию системы. Эта точка называется изображающей или представляющей. Пусть при t = t координаты изображающей точки будут М (х , у ), тогда в каждый последующий момент изображающая точка будет смещаться и принимать положение М(х, у), соответствующее значениям x(t), y(t), образуя фазовую траекторию. Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портрет.

Чтобы построить фазовый потрет системы необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке плоскости х, у. Это сложная задача, поэтому используют качественный подход – так называемый метод изоклин. Метод заключается в том, что на фазовой плоскости наносятся линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Часто ограничиваются построением главных изоклин: dy/dx = 0 — изоклина горизонтальных касательных к фазовым траекториям, уравнение которой Q(x, y) = 0 и изоклина вертикальных касательных dy/dx = ∞, которой соответствует уравнение P(x, y) = 0.

Точки пересечения главных изоклин представляют собой особые точки, в которых направление касательных к интегральным кривым неопределенно.

Так как решение системы (18) зависит от начальных условий, то иногда, чтобы подчеркнуть это обстоятельство решение записывается

Решение системы уравнений (2) с заданными х , у , t , можно рассматривать как параметрическое уравнение некоторой кривой на фазовой плоскости х, у со временем t в виде параметра. Ясно, что каждая фазовая траектория у = у(х) является проекцией на фазовую плоскость х, у некоторой интегральной кривой в пространстве х, у, t.

Согласно теореме Коши интегральные кривые в пространстве х, у, t и фазовые траектории в плоскости х, у не должны пересекаться. Достижение состояний равновесия происходит только асимптотически при t → ∞. Состояние равновесия х = *х устойчиво по Ляпунову если в момент времени t отклонение от состояния равновесия мало

Похожие публикации:

Как изменить масштаб графика в mathcad 15
Как искать музыку в telegram
Как называется документ программы mathcad
Как найти площадь под графиком в mathcad

Как построить фазовый портрет в maple

Построить фазовый портрет системы

Построение фазового портрета

Фазовые портреты «на пальцах» или что можно узнать о решениях диффура, не решая его

Как построить фазовый портрет в maple

Как построить фазовый портрет — Maple — Обсуждение 1968781

Иллюстрированный самоучитель по Maple 6/7

Функция DEplot3d из пакета DEtools

Построение фазового портрета в Matlab Simulink

Как построить фазовый портрет системы

Добавить комментарий Отменить ответ