Maple: Исследование функций и построение графиков
Важным разделом математики является исследование аналитических функций. Оно обычно заключается в определении координат особых точек функции и ее значений в этих точках, а также в выяснении особенностей функции, таких как наличие точек разрыва, асимптот, точек перегибов, разрывов и т. д.
Maple 16, как и более ранние версии этого пакета, позволяют студенту полностью исследовать функции и строить их графики.
С помощью функции fsolve легко находятся значения независимой переменной x функций вида f(x), при которых f(x)=0 (корни этого уравнения). При этом данная функция позволяет (в отличие от функции solve) изолировать корни функции f(x) указанием примерного интервала их существования. Ряд функций служит для вычисления экстремумов, максимумов и минимумов функций, а также для определения их непрерывности.
Для исследования функций на непрерывность Maple 16 имеет функцию iscont, записываемую в ряде форм: iscont(expr, x=a..b), iscont(expr, x=a..b, ‘closed’) и iscont( expr, x=a.. b, ‘open’).
Функции, не имеющие непрерывности, доставляют много хлопот. В Maple 16 функция discont(f, х) позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x). Она вычисляет все точки в пределах изменениях от $$-\infty$$ до $$\infty.$$ Результаты вычислений могут содержать особые экстра переменные с именами вида _Zn- и _NNn-. В частности, они позволяют оценить периодические нарушения непрерывности функций.
Многие операции, такие как интегрирование и дифференцирование, чувствительны к особенностям функций, в частности к их разрывам и особым точкам. Функция singular(ехрr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения ехрг, в которых она испытывает разрывы. Дополнительно в числе параметров может указываться необязательный список переменных.
Функция extrema позволяет найти экстремумы выражения ехрr (как максимумы, так и минимумы) при ограничениях constraints и переменных vars, по которым ищется экстремум: extrema(expr, constraints), extrema(expr, constraints, vars) и extrema(expr, constraints, vars, ‘s’).
Ограничения constraints и переменные vars могут задаваться одиночными объектами или списками ряда ограничений и переменных. Найденные координаты точки экстремума присваиваются переменной ‘s’. При отсутствии ограничений в виде равенств или неравенств вместо них записывается пустой список <>.
Функция extrema возвращает как значения экстремумов, так и значения аргументов, при которых экстремумы наблюдаются.
Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрr служат функции стандартной библиотеки: minimize(expr, opt1, opt2, …, optn) и maximize(expr, opt1, opt2, …, optn).
Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной, так и нескольких переменных. С помощью опций optl, opt2, … , optn можно указывать дополнительные данные для поиска.
Для вычисления пределов функции f в точке x=a используются следующие функции: limit(f, x=a, dir) и Limit(f, x=a, dir).
Здесь f – алгебраическое выражение, х – имя переменной, dir – параметр, указывающий на направление поиска предела (left — слева, right — справа, real — в области вещественных значений, complex — в области комплексных значений). Значением а может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная).
Для нахождения производной применяют дифференциальный оператор, который можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f — выражение или имя функции, i — положительное целое число, выражение или последовательность. Этот оператор позволяет сократить запись, т.е. D(f)=unapply(diff(f(x), x), x) а в форме D(f)(x) = diff(f(x), x). Для нахождения n–й производной используют (D@@n)(f).
Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде: plot(f, h, v) и plot(f, h, v,…) ,где f — визуализируемая функция (или функции), h — переменная с указанием области ее изменения по горизонтали, v — необязательная переменная с указанием области изменения функции по вертикали, далее может следовать параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т.д.). Обычно записывают plot(f(x), x=a..b). Диапазон изменения независимой переменной x задается как a..b, где a и b — минимальное и максимальное значение x, .. (две точки) — составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Разумеется, имя х здесь дано условно — независимая переменная может иметь любое допустимое имя.
Помимо построения самой кривой f(x) необходимо задать ряд других свойств графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это достигается применением параметров графика — специальных указаний для Maple. Графики обычно (хотя и не всегда) строятся сразу в достаточно приемлемом виде. Это достигается тем, что многие параметры задаются по умолчанию и пользователь, по крайней мере начинающий, может о них ничего не знать. Однако язык Maple 16 позволяет задавать управляющие параметры и в явном виде.
Пример
Исследовать функцию и построить график
Исследуем функцию средствами Maple 16:
Построим график функции при помощи Maple 16:
Анимация двумерных графиков
Визуализация графических построений и результатов моделирования различных объектов и явлений существенно повышается при использовании средств «оживления» «(анимации) изображений. Пакет plots имеет две простые функции для создания анимированных графиков.
Первая из этих функций служит для создания анимации графиков, представляющих функцию одной переменной F(x):
Эта функция просто позволяет наблюдать медленное построение графика. Формат ее применения подобен используемому в функции plot. При вызове данной функции вначале строится пустой шаблон графика. Если активизировать шаблон мышью, то в строке главного меню появляется меню Animation. Меню Animation содержит команды управления анимацией. Такое же подменю появляется и в контекстном (рис. 12.15). Указанное подменю содержит следующие команды анимации:
- Play — запуск построения графика;
- Next — выполнение следующего шага анимации;
- Backward/Forward — переключение направления анимации (назад/вперед);
- Faster — ускорение анимации;
- Slower — замедление анимации;
- Continiuus/Singlecycle — цикличность анимации.
При исполнении команды Play происходит построение кривой (или нескольких кривых). В зависимости от выбора команд Faster или Slower построение идет быстро или медленно. Команда Next выполняет один шаг анимации -построение очередного фрагмента кривой. Переключатель Backward/Forward позволяет задать направление построения кривой — от начала к концу или от конца к началу. Построение может быть непрерывным или циклическим в зависимости от состояния позиции Continiuus/Singlecycle в подменю управления анимацией. При циклической анимации число циклов задается параметром frames=n.
Рис. 12.15. Пример анимационного построения графика функцией animatecurve
Fore kc .ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий
Введение
Потребность в математических расчетах по-прежнему велика в нашем обществе. Миллионам людей приходится вести математические расчеты. Не говоря уж об учебе, ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Для облегчения таких расчетов были созданы мощные, универсальные интегрированные системы (пакеты прикладных программ). Под пакетом прикладных программ следует понимать комплекс взаимосвязанных прикладных программ и системных средств, позволяющих решать некоторый класс задач. Такое понимание пакета позволяет охватить достаточно широкий круг программных разработок, имеющих своей целью повышение уровня прикладной квалификации вычислительной машины путем совместного использования прикладных и системных программ.
В настоящее время существует немалое количество математических пакетов. Наиболее распространенные из них — это MathСad, Matlab, Derive, Eureka, Mathematika, Maple. Данные пакеты многофункциональны и используются:
1) для решения задач дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных;
2) для решения задач исследования функций;
3) для нахождения корней уравнений и их систем,
4) для решения дифференциальных уравнений и их систем;
5) для решения комбинаторных и вероятностных задач;
6) для решения задач матричной алгебры;
7) для поиска решений систем линейных уравнений;
8) для решения задач векторной алгебры;
9) для исследования и построения графиков функций и поверхностей;
10) для решения систем уравнений и неравенств;
11) для приблизительных вычислений сложных функций
Программированное обучение называют одним из первых результатов технологизации педагогического процесса и одновременно фундаментом, над которым надстраивались последующие этажи педагогической технологии.
Его характерными чертами стали уточнение учебных целей и последовательная, поэлементная процедура их достижения. Последовательно «технологическое» понимание полностью разработанной программы обучения включает в себя: составление полного набора учебных целей, подбор критериев их достижения измерения результатов и оценки, точное описание условий обучения, конструирование учебного процесса.
Данная технология обучения отличается от традиционной методики тем, что четко выделяет виды деятельности участников педагогического процесса» последовательность их выполнения, детальное выявление и реализация которых приводит к достижению поставленных целей достижения.
Курс, предназначенный для изучения математических пакетов, будет способствовать:
■ расширению и углублению знаний учащихся, как по информатике, так и по математике;
■ овладению учащимися умениями решать задачи различного характера при помощи математических пакетов;
■ экономии учебного времени за счет исключения рутинных операций вычислительного характера и числового анализа;
■ формированию навыков применения современных математических пакетов в процессе обучения математике и в будущей профессиональной деятельности. Цель использования компьютерных технологий в обучении математике — изучение технологии применения математических пакетов для решения практических задач.
Задачи использования компьютерных технологий в обучении математике:
1) Знакомство с наиболее известными математическими пакетами;
2) Приобретение навыков работы с математическими пакетами;
3) Использование математических пакетов для решения практических задач.
После изучения данного курса, учащиеся должны знать назначение и возможности основных математических пакетов, должны уметь применять их для решения типовых учебных задач.
Особое же место среди систем автоматизации математических расчетов занимает пакет Maple. Это наиболее мощная интегрированная система автоматизации математических расчетов, широко распространенная в России. Отличительная черта этой системы — входной язык, максимально приближенный к математическому языку или языку научных статей и книг. Объединение в этой системе текстового редактора с возможностью использования общепринятого языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ.
«Maple» столь же гибок, как самые мощные электронные таблицы и языки программирования, но лёгок в освоении и приятен в использовании.
«Maple» обладает множеством возможностями, среди которых
наиболее часто используются:
— вычисление по сложным математическим формулам;
— большой набор встроенных математических функций;
— вычисление рядов, сумм и произведений, определённых интегралов и производных;
— работа с комплексными числами;
— решение линейные и нелинейные уравнения; — векторные и матричные операции.
В вычислитель входят и такие мощные средства как линейная и квадратичная интерполяция, регрессия, прямое и обратное быстрое преобразование Фурье. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность итерационных методов.
«Maple» позволяет записывать на экране компьютера формулы в их привычном виде. Но формулы в «Maple» могут значительно больше, чем просто хорошо выглядеть. С их помощью можно решить почти любую мыслимую математическую задачу символьно либо численно. Можно реализовать текст в любых местах вокруг уравнений, чтобы документировать процесс решения.
Графический процессор служит для создания графиков и чертежей. Графический процессор сочетает чрезвычайную простоту общения с пользователем с самыми изысканными возможностями графических средств. Простые графики нескольких функций пользователь может начать строить буквально в первые секунды знакомства с системой. По мере приобретения навыков работы с графическим процессом легко осваиваются и другие графические средства — графики в логарифмическом масштабе, масштабные сетки с любым числом делений, линии, отмеченные точками, прямоугольниками и ромбиками. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение в любое место документа. Можно создавать двумерные и трехмерные графики.
Тема исследования: «Графика и анимация в программной среде Maple».
Цель работы – изучить основные графические возможности системы компьютерной алгебры Maple при решении задач.
1. Рассмотреть основные возможности системы компьютерной алгебры Maple по работе с графикой и анимацией.
2. Рассмотреть основные операторы графических пакетов системы компьютерной алгебры Maple.
3. Научиться решать задачи с использованием графических пакетов системы компьютерной алгебры Maple.
Глава 1. Графические возможности программной среды Maple
1.1 Двумерная графика
Команда plot () – многофункциональная команда двумерной графики. Расположена она в системной библиотеке Maple, и поэтому доступна в любое время. Данная команда позволяет строить график одной или нескольких функций одной вещественной переменной, заданных в явном или параметрическом виде, а также отобразить множество точек в декартовой или полярной системе координат. Синтаксис команды: plot (f, h, v, опции);
Здесь f – функция, график которой необходимо отобразить, h – диапазон изменения независимой переменной по горизонтальной оси графика, v – диапазон изменения значения функции вдоль вертикальной оси графика.
Диапазон изменения независимой переменной h задается в виде x =
а..b, где а и b – наименьшее и наибольшее значения изменения переменной, а х – имя независимой переменной. Если диапазон не задан (т.е., второй параметр представляет собой просто имя независимой переменной в функции), то по умолчанию принимается интервал ее изменения –10..10. Этот параметр (с диапазоном или нет) обязательно должен присутствовать при задании графика командой plot().
Вертикальный диапазон v ограничивает вывод графика определенной областью изменения функции. Он необязателен, как и опции, задающиеся в виде уравнений «имя_опции=значение». При отсутствии явного задания опций принимаются их значения по умолчанию.
С помощью опций определяют вид отображаемого графика: толщину, цвет и тип линии графика, тип осей координат, размещение надписей и т.д. Набор возможных опций во всех командах двумерного графического вывода, за некоторым исключением, одинаков.
В табл. 1 представлены все опции двумерной графики и соответствующие им значения (значения по умолчанию подчеркнуты).
Таблица 1. Опции двумерной графики
Для вычисления отображаемых точек кривой используется специальный адаптивный алгоритм: сначала вычисляются значения функции на некотором множестве равноотстоящих точек в заданном интервале изменения независимой переменной, а затем в областях, где график функции сильно отличается от прямой линии, соединяющей соседние точки, вычисляются значения функции в дополнительных точках. По умолчанию этот алгоритм всегда включен (значение опции равно true), но его можно отключить, установив значение опции adaptive равным false.
Определяет тип отображаемых осей координат. Опция принимает значения: normal – обычные оси координат, пересекающиеся в точке начала координат (0,0); boxed – график заключен в прямоугольник с нанесенными шкалами по нижней и левой вертикальной граням; frame – оси с точкой пересечения в левом нижнем углу рисунка; none – оси не отображаются.
Задает шрифт для надписей под засечками вдоль осей координат. Значение этой опции аналогично значению опции font
Задает цвета кривых, отображаемых на график. В качестве значения этой опции может выступать одно из зарезервированных значений цвета в Maple: aquamarine, black, blue, navy, coral, cyan, brown, gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange, pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat, white и yellow.
Можно определить и собственный цвет, соответствующий смешению заданных частей красного, зеленого и синего цветов. Это делается с помощью следующей команды macro (palegreen=COLOR
(RGB.5607.7372.5607)), где palegreen – имя константы нового цвета, в котором красный составляет 0.5607 части, зеленый 0,7372 и синий 0.5607, В дальнейшем это имя можно использовать для задания цвета аналогично именам встроенных цветов.
При выводе как явно заданной функции, так и параметрически заданной функции по умолчанию используется декартовая система координат (cartesian), т.е. задаваемое уравнение кривой рассматривается именно в этой системе координат. Данная опция меняет тип системы координат. Возможные значения: bipolar, cardiod, cassinian, elliptic, hyperbolic, invcassinian, invelliptic, logarithmic, logcosh, maxwell, parabolic, polar, rose и tangent, описание которых можно получить в справочной системе Maple с помощью команды? coords.
Значение по умолчанию false. При установке значения этой опции, равной true, Maple первоначально вызывает команду discont (), которая определяет промежутки непрерывности функции, а затем на них рисуются непрерывные участки графика функции.
Установка значения данной опции равным true приводит к тому, что область, ограниченная графиком функции и горизонтальной осью х, закрашивается заданным в опции соlor цветом
Задает шрифт для вывода текста на рисунке. Значение опции задается в виде списка [семейство, стиль, размер]. Параметр семейство задает гарнитуру шрифта: TIMES, COURIER, HELVETICA или SYMBOL. Параметр стиль определяет стиль шрифта: для гарнитуры TIMES возможные значения ROMAN, BOLD, ITALIC или BOLDITALIC, для гарнитуры COURIER и HELVETICA стиль можно опустить или задать
BOLD, OBLIQUE или BOLDOBLIQUE, для шрифта SYMBOL стиль не задается. Последний параметр размер задает размер шрифта в пунктах
(points) (один пункт приблизительно равен 1/72 дюйма)
Задает названий осей координат в виде списка [х, у]. Параметры х и у задаются в виде строк и соответствуют отображаемым названиям горизонтальной и вертикальной осей. По умолчанию принимают значения имени независимой переменной и имени функции
Эта опция определяет направление отображения названий осей и задается в виде списка [х, у], элементы которого могут принимать одно из двух значений HORISONTAL или VERTICAL и определяют расположение надписей осей координат: горизонтально или вертикально. Умалчиваемое значение HORIS0NTAL
Задает параметры шрифта, которым отображаются названия осей координат. Значение этой опции аналогично значению опции font
Задает отображение легенды для нескольких кривых на одном графике в виде списка, в котором i-й строковый элемент соответствует i-й кривой графика
Определяет тип линии графика. Значение опции – целое число n. При n=0 тип линии соответствует умалчиваемому типу для используемого устройства отображения (обычно сплошная линия), значение 1 соответствует сплошной линии, значение 2-отображению линии точками, 3 – пунктиром и 4 – штрихпунктиром
Определяет минимальное число вычисляемых точек, по которым строится график (значение по умолчанию равно 50).
Определяет горизонтальное разрешение дисплея в пикселах на дюйм и используется в качестве критерия для завершения адаптивного алгоритма отображения (значение по умолчанию равно 200).
Определяет список значений параметров, который используется для «пробного» отображения кривой. Отключение адаптивного алгоритма вычисления точек кривой позволяет явным образом управлять отображением кривой.
Задает масштаб, в котором отображается график. Если значение опции равно CONSTRAINED, то это соответствует заданию абсолютных значений по осям координат, т.е. одна единица измерения по оси независимой переменной равна одной единице измерения по оси значений функции. Значение по умолчанию равно UNCONSTRAINED, и это соответствует тому, что оси растягиваются таким образом, чтобы их размеры соответствовали размерам графического окна вывода.
Задает отображение графика функции линиями (значение опции равно LINE) или точками (значение опции равно POINT). Значения опции, равные PATCH и PATCHNOGRID, применяются, когда выводится замкнутый многоугольник (графическая структура POLYGONS). В этом случае его внутренняя область закрашивается цветом, установленным в опции color, причем в случае значения PATCHNOGRID его граница не отображается. Если в графическом выводе нет замкнутых
многоугольников, то действие этих значений данной опции соответствует значению LINE.
Определяет тип символа, которым помечаются точки графика функции при style=POINT. Принимает значения: BOX для , CROSS для +, CIRCLE для О, POINT для (точка) и DIAMOND для
Задает размер символа в пунктах. Его значение может быть любое натуральное число. По умолчанию используются символы размером 10 пунктов. Действие этой опции не распространяется на символ POINT.
Задает толщину линии графика. Значение является целым числом от 0 до
15, соответствуя изменению толщины линии от тонкой до самой жирной.
Определяет число точек, не менее которого должно быть помечено по горизонтальной и вертикальной оси координат. Значение задается в виде списка [n, m]. Для каждой из осей можно определить список помечаемых точек.
Определяет строку, выводимую как заголовок рисунка. По умолчанию заголовок не выводится. В строке используются специальные комбинации символов. Например, \n осуществляет перевод на новую строку, формируя тем самым многострочный заголовок.
Определяет шрифт для заголовка рисунка. Значение этой опции аналогично значению опции font.
Задает число точек, не менее которого должно быть помечено на горизонтальной оси. Значение опции может быть целым числом или списком значений координат точек горизонтальной оси, которые должны быть помечены. Список может состоять из уравнений, левые части которых определяют координаты помечаемых точек, а правые задают в обратных кавычках отображаемый текст, например, [0=`0.`, 0.5=`1/2`, 1=`1.`].
ytickmarks Задает число точек, не менее которого должно быть помечено на
вертикальной оси. Значение опции может быть целым числом или списком значений координат точек вертикальной оси, которые должны быть помечены. Список может состоять из уравнений, левые части которых определяют координаты помечаемых точек, а правые задают в обратных кавычках отображаемый текст, например, [0=`0.`, 0.5=`1/2`, 1=`1.`].
Ниже приводятся примеры работы с командой plot (). Первым примером будет отображение графика функции y (x) x 2 2cos(x 2 ) на интервале [-4,4] изменения независимой переменной х с созданием надписи.
Пример 1. Отображение графика функции с надписью.
> plot (x^2+2*cos (x^2), x=-4..4, color=green,
title=`Пример вывода\nграфика функции`, titlefont=[COURIER, 14], xtickmarks=8, thickness=6, axesfont=[HELVETICA, 11], labels=[«x», «y(x)»], labeldirections=[HORIZONTAL, VERTICAL], labelfont=[TIMES, ROMAN, 16]);
Рис. 1. Пример вывода графика функции
Для удобства восприятия в примере 1 (и в некоторых других нижеследующих примерах) команды набраны в столбик, каждая отдельно. На практике команды набираются в строку, одна за другой, без пробелов.
Для создания многострочной надписи в строке значения опции title использован символ перехода на новую строку (\n).
Команда plot () отображает графики функций не только на конечном интервале изменения независимой переменной, но и на бесконечном.
>plot (3*cos(x)/x, x=0..infinity, – 1.5..1, color=red, numpoints=1000, thickness=1);
Рис. 2. Еще один график
Здесь пришлось ограничить область значений функции диапазоном [-1.5, 1], так как при х, стремящемся к нулю, функция стремится к бесконечности, а также задать больше точек на графике функции, иначе в районе надписи infinity не наблюдалась бы гладкость функции, а были бы явные сломы, которые не соответствуют поведению функции.
В явном виде можно представить не всякую функцию. Многие функции задаются в параметрической форме. Отображение графиков таких функций лишь немного отличается от вывода явно задаваемых функций. Отличие заключается в том, что параметрическая кривая задается в виде списка, где первый и второй элементы являются выражениями через параметр, соответственно, горизонтальной и вертикальной координат, а третий элемент списка задает изменение параметра в виде диапазона.
Отображение параметрически заданной кривой показано на примере 3.
Пример 3. Отображение графика параметрически заданной функции.
> plot([cos(t)^5,2*sin (2*t)^7, t=0..2*Pi], color=orange,
title=`Отображение\nпараметрической\nкривой`, titlefont=[COURIER, 14], xtickmarks=4, thickness=3, axesfont=[HELVETICA, 11]);
Рис. 3. График параметрической кривой
При необходимости вывода нескольких функций на одном графике следует в команде plot () задавать функции в виде множества или списка, а значение опции color в виде списка позволяет задать цвет для вывода графиков функций. Если опция color не задана, то функции отображаются в соответствии со списком цветов по умолчанию.
Пример 4. Отображение графиков нескольких функций. > plot([x^3+1.5*sin (x^3), 20*exp (-1.5*x)*sin(x)], x=-1..3.5, – 1..5, color=[orange, green],
title=`Отображение\nграфиков\nнескольких функций`, titlefont=[COURIER, 14], legend=[«x^3+1.5*sin (x^3)», «20*exp (-1.5*x)*sin(x)»], xtickmarks=4, thickness=3,
linestyle=[4,1], axesfont=[HELVETICA, 11], labels=[«x», «Графики»], labelfont=[TIMES, ITALIC, 12]);
Рис. 4. Несколько графиков в одной Декартовой системе координат
Рекомендуется при выводе нескольких графиков также отображать легенду заданием списка значений опции legend. Легенду можно всегда скрыть или снова отобразить с помощью команды Show Legend меню Legend.
Команда plot () позволяет отображать на графике отдельные точки, которые задаются в виде списка списков, т.е. списка, элементами которого являются списки. Эти двухэлементные списки определяют координаты точек на плоскости. Для вывода точек необходимо задать значение опции style, равной POINT. Если этого не сделать, то Maple отобразит ломаную линию, соединяющую точки в последовательности их задания, не выделяя их специальными символами. В примере 4 точки, заданные своими координатами на плоскости, отображаются с использованием символа круг symbol = CIRCLE.
Пример 5. Отображение точек на плоскости.
color=[blue], style=POINT, symbol=CIRCLE, symbolsize=12,
title=`Отображение точек\nкомандой plot`, titlefont=[COURIER, 14], xtickmarks=4, axesfont=[HELVETICA, 11], labels=[«», «Точки»], labelfont=[TIMES, ITALIC, 16]);
Рис 5. Вывод точек на плоскости
1.2 Поверхности, объёмная графика и геометрические объекты в системе Maple
Для изображения поверхностей в Maple используется команда plot3d. Так же, как и команда plot, в зависимости от синтаксиса plot3d может изображать поверхности, заданные явно (в виде графика функции двух аргументов) и параметрически. При явном задании поверхности первый аргумент команды plot3d должен определять функцию двух переменных, график которой следует построить, а следующие два аргумента задают диапазон изменения переменных (при этом границы диапазона второй переменной могут быть функциями от первой). Кроме этих обязательных параметров, могут задаваться еще несколько опциональных, отвечающих за тип системы координат (Maple «знает» несколько десятков разновидностей пространственных координат), стиль изображения, цвет, палитру, освещенность рисунка, заголовок, шрифт и стиль оформления надписей, наличие или отсутствие перспективы и т.д. В нижеследующем примере мы используем опцию grid для задания матрицы опорных значений функции.
Рис. 6. Пример обьемной поверхности
При параметрическом задании поверхности первый аргумент представляет собой список трех функций двух переменных. Следующие два аргумента, как и в случае явного задания поверхности, определяют диапазон изменения переменных. Разумеется, при параметрическом задании поверхности также можно использовать дополнительные опции команды plot3d.
В приводимом ниже примере мы из соображений наглядности повернули изображение части сферы уже после того, как оно было построено. Для этого мы сначала просто активизировали соответствующий графический объект, щелкнув на нем мышкой, а затем вновь с помощью мыши придали ему нужное положение. Кроме того мы обесцветили рисунок, используя опции lightmodel и color, и установили масштаб изображения 1:1.
Рис. 7. Повернутая Сфера
В Maple имеется два специализированных геометрических пакета: планиметрический — geometry; стереометрический — geom3d. Работа с этими пакетами имеет свою специфику. Мы кратко рассмотрим возможности пакета geometry (принципы работы с пакетом geom3d во многом аналогичны планиметрическому случаю).
При работе с пакетом предполагается, что в плоскости задана некоторая прямоугольная декартова система координат.
Как обычно, загрузим пакет с помощью команды with (предварительно мы очищаем оперативную память командой restart ):
> with(geometry);
[Appolonius, AreCollinear, AreConcurrent, AreConcyclic, AreConjugate, AreHarmonic, AreOrthogonal, AreParallel, ArePerpendicular, AreSimilar, AreTangent, CircleOfSimilitude, CrossProduct, CrossRatio, DefinedAs, Equation, EulerCircle, EulerLine, ExternalBisector, FindAngle, GergonnePoint, GlideReflection, HorizontalCoord, HorizontalName, IsEquilateral, IsOnCircle, IsOnLine, IsRightTriangle, MajorAxis, MakeSquare, MinorAxis, NagelPoint, OnSegment, ParallelLine, PedalTriangle, PerpenBisector, PerpendicularLine, Polar,
Pole, RadicalAxis, RadicalCenter, SensedMagnitude, SimsonLine, SpiralRotation, StretchReflection, StretchRotation, TangentLine, VerticalCoord, VerticalName, altitude, area, asymptotes, bisector, center, centroid, circle, circumcircle, conic, convexhull, coordinates, detail, diagonal, diameter, dilatation, directrix, distance, draw, dsegment, ellipse, excircle, expansion, foci, focus, form, homology, homothety, hyperbola, incircle, intersection, inversion, line, medial, median, method, midpoint, orthocenter, parabola, point, powerpc, projection, radius, randpoint, reciprocation, reflection, rotation, segment, sides, similitude, slope, square, stretch, tangentpc, translation, triangle, vertex, vertices ]
Чтобы разобраться в многообразии функций, входящих в состав пакета. разобьем их на несколько условных групп.
К первой отнесем функции, с помощью которых можно создавать новые геометрические объекты: точки (point), прямые (line), отрезки (segment), направленные отрезки (dsegment), окружности (circle), эллипсы (ellipse), треугольники (triangle) и т.д. Кроме самостоятельных объектов, к этой категории можно отнести геометрические фигуры, являющиеся, по существу, одними из вышеперечисленных (например, отрезками или окружностями), но определяемые по отношению к другим. К таким объектам можно отнести высоты (altitude), медианы (median) и биссектрисы (bisector) треугольника, окружность, вписанную в треугольник (incircle ) и описанную около треугольника (circumcircle ), прямую Эйлера (EulerLine), касательные к окружности (TangentLine), точки Жергонна (GergonnePoint ), Нагеля
(NagelPoint) и многое другое.
Отличительной чертой этих функций является то, что возвращаемые ими значения в принципе не нужно (хотя и возможно) присваивать какимлибо переменным. Дело в том, что все они имеют имя создаваемого объекта в качестве обязательного первого параметра. (Тем самым по существу мы имеем дело с процедурами.)
Другая особенность рассматриваемой категории функций заключается в том, что многие из них (в особенности те, с помощью которых создаются самостоятельные объекты) допускают много различных вариантов. Например, эллипс можно задать: его уравнением ; указав пять точек, принадлежащих эллипсу; задав директрису, соответствующий ей фокус и эксцентриситет эллипса; указав фокусы и большую полуось; указав фокусы и малую полуось; двумя полуосями. Аналогично задать треугольник можно координатами его вершин; уравнениями сторон; длинами сторон. В последнем случае треугольник задается безотносительно его расположения на координатной плоскости.
Вторую группу составляют функции, возвращающие различные характеристики геометрических объектов: координаты (coordinates ), площадь (area), угол между прямыми (FindAngle ), двойное отношение четырех точек прямой (CrossRatio ), тип объекта (form), способ задания треугольника (method), уравнение (Equation ) и т.д. Наиболее полную информацию о том или ином геометрическом объекте можно получить, используя функцию detail.
К третьей группе отнесем те функции геометрического пакета, которые осуществляют проверку инцидентности и взаимного расположения геометрических объектов. Имена этих функций состоят из двух (или более) английских слов (каждое начинается с заглавной буквы), первым из которых обязательно идет слово Are (Is), придавая имени функции характер вопроса. С помощью функций этой группы можно проверить принадлежность трех точек одной прямой
(AreCollinear), четырех точек одной окружности (AreConcyclic), ориентацию треугольника (I sRightTriangle) и т.д.
Четвертая группа функций планиметрического пакета относится к геометрическим преобразованиям. Сюда входят параллельный перенос (translation), вращение (rotation), центральная и осевая симметрии (reflection), гомотетия (dilatation ), инверсия (inversion) и некоторые другие преобразования. К этой же группе можно отнести и ортогональное проектирование (projection ).
Наконец, особняком стоит еще одна важная команда пакета — draw, позволяющая изображать геометрические объекты. Единственным обязательным параметром команды draw является список изображаемых объктов. Кроме того имеется много опциональных параметров. Задаваемые ими опции могут действовать как глобально (на все элементы списка вывода), так и локально. В последнем случае соответстветствующие опции указываются в круглых скобках непосредственно после элементов списка изображаемых объктов.
Проиллюстрируем вышесказанное на примере.
> point(A,5,0), point(B,0,5),point(C,0,0):
> bisector(BM,B,ABC,M): > triangle(ABM,[A,B,M]):
> incircle(o,BMC,’centername’=’O1′):
> incircle(q,ABM,’centername’=’O2′):
> draw([BMC,ABM,q(color=black),o(color=red)],color=green, printtext=true, axes=NONE);
Рис. 9. Вывод сложного чертежа
Инструментальный пакет графики plottools служит для создания
графических примитивов, строящих элементарные геометрические объекты на плоскости и в пространстве: отрезки прямых и дуг, окружности, конусы, кубики и т. д. Его применение позволяет разнообразить графические построения и строить множество графиков специального назначения.
В пакет входят следующие графические примитивы: