Как построить график комплексной функции в mathcad

Как построить график комплексной функции в mathcad

Тема 1. Построение графиков функций с помощью системы MathCad

Функция — выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение.

Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок. Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции (см. Пример 2 Рисунка 1).

Главным признаком функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные

т. е. заблаговременно введенные разработчиками, и определенные пользователем.

Способы вставки встроенной функции:

Выбрать пункт меню Вставка  Функция.

Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

Щелкнуть на кнопке

Рисунок 2.

С помощью системы Mathcad довольно просто строить графики функций самого различного вида. Рассмотрим алгоритм построения графика на простом примере.

Возьмем функцию y=sin(x)^3.

В панели математических знаков щелкнем на кнопке с изображением графика — на экране появится палитра графиков.

В палитре графиков щелкнем на кнопке с изображением двумерного графика – на экране появится шаблон графика.

Введем в место ввода шаблона по оси Х имя независимой переменной – х, а в место ввода шаблона по оси У имя зависимой переменной – у(х).

Щелкнем вне пределов графика левой кнопкой мыши. График построен.

Попробуйте увеличить построенный вами график и немного сместить его. Для этого проделайте следующее:

Поместите указатель мыши в область графика и щелкните левой кнопкой мыши – вокруг графика появится рамка из черных линий, обрамляющая блок графика.

Подведите указатель мыши к черному квадратику (маркеру изменения размера) в правом нижнем углу рамки, при этом указатель мыши должен превратиться в двухстороннюю диагональную стрелку.

Нажав левую кнопку мыши, растяните график по диагонали, а затем зафиксируйте размер, отпустив кнопку мыши.

Наведите указатель мыши на любую сторону рамки (кроме квадратиков), при этом указатель должен превратиться в черную ладошку.

Нажав левую кнопку мыши, передвиньте весь блок графика в желаемом направлении и зафиксируйте местоположение, отпустив кнопку мыши.

В итоге получится увеличенный и перемещенный график. Убрать рамку можно, отведя указатель мыши в сторону от графика и щелкнув левой кнопкой мыши.

! Обратите внимание: когда график находится в рамке, на нем в уголках появляются числа, указывающие масштаб графика по осям Y и X. По умолчанию по оси Х график строится на отрезке изменения аргумента х от –10 до +10. Масштаб по оси Y MathCad устанавливает автоматически. Изменив эти числа, можно задать свой масштаб графика.

Попробуйте изменить масштаб на построенном вами графике.

Отрезок по оси Х можно задать и заранее (до построения графика). Для этого после задания функции нужно указать диапазон изменеия аргумента х.

В этом примере вы можете задать свой масштаб, изменив диапазон значений аргумента х.

Обратите внимание, что MathCad автоматически отображает каждую кривую своим стилем и цветом. Однако стиль и

График функции с комплексным числом

Работаю в Mathcad 15.0.0.436. Имею функцию с комплексным числом (см. вложение), нужно построить её график. Вроде как задаю все, что нужно, но график ни в какую не рисуется. Насколько понял, проблема именно в комплексном числе — надо задавать оси графика неким особым образом. Что нужно сделать для корректного отображения графика?

Решение системы ОДУ с комплексным числом
Необходимо решить простую систему ОДУ, но с комплексным числом. Маткад выдает ошибку:Адресат вызова.

Задача с комплексным числом.
Картинки загружайте на форум, во избежание их удаления или потери на сторонних ресурсах.

Посчитать логарифм с комплексным числом
Здравствуйте, подскажите, как посчитать Ln(1-i)=

Уравнение с комплексным сопряженным числом
(2+i)z-(1+i)z*=i z* — сопряженное

Как возвести график функции в маткаде

Mathcad представляет собой программу, среду для выполнения разных математических и технических расчетов на компьютере, она снабжена простым графическим интерфейсом. Данное приложение дозволяет не только делать расчеты, но и строить на их основе графики.

Вам понадобится

• – компьютер;
• – программа Mathcad.

Инструкция

1. Запустите программу MathCad, дабы исполнить построение. Данное приложение поддерживает многообразные виды функций. Вначале исполните ввод выражения, для которого нужно сделать графическое отображение. В панели математических знаков щелкните по кнопке, на которой изображен график. На экране будет отображена палитра с примерами графических элементов.

2. Щелкните в палитре по кнопке с изображением двумерного графика, в итоге появится его образец. Введите в поле ввода образца имя само­стоятельной переменной, располагаемой по оси Х, подобно введите имя для расположения по оси Y. Щелкните левой кнопкой мыши вне пределов рисунка. Нужное построение в Маткад закончено.

3. Измените масштаб на построении. Если выделить его, то в уголках отобразятся цифры, отображающие его масштаб по осям Y и Х. По умолчанию построение графика в Mathcad производится на отрезке метаморфозы х от –10 до +10, а по оси Y масштаб устанавливается механически. Позже задания функции укажите диапазон метаморфозы довода x. Для этого на строке с формулой пропишите x:= -30 … 30.

4. Измените внешний вид графика, для этого щелкните правой кнопкой мыши по рисунку, выберите опцию «Формат». В закладке «Оси» включите сетку, задайте число ячеек. В закладке «Следы» вы можете установить форматирование линий, к примеру, задать ее вид: пунктирная, сплошная, точки. Перейдите в закладку «Метки».

5. Введите в соответствующих полях подписи осей и наименование самого графика. Позже выбора всех надобных настроек вы можете сберечь их для применения в будущем. Для этого перейдите в закладку «Умолчания», установите флажок в поле «Применять как умолчания». Дабы поместить на одних осях два графика, запишите ниже первой функции вторую, для этого щелкните по кнопке с буквой «Б», впишите формулу и задайте диапазон, график будет построен на тех же осях.

Методы математического моделирования в MathCAD

Построение компьютерной модели. Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции, модуля векторного произведения, неопределённого интеграла, частных производных и частных дифференциалов функции. Построение графика функции в системе MathCAD.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	15.02.2014
Размер файла	679,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Математические возможности Mathcad и Microsoft Excel. Преобразование алгебраических выражений. Вычисление значения функции. Решение уравнений и систем. Вычисление значения интеграла, производных и пределов. Построение графиков функций. Работа с матрицами.

курсовая работа [559,5 K], добавлен 15.07.2012

Обзор программных средств компьютерного моделирования. Изучение реакции электрической цепи на внешнее воздействие средствами MathCad: расчет значения функций u(t), построение графика зависимости напряжения по времени, нахождение аппроксимирующей функции.

курсовая работа [269,9 K], добавлен 07.03.2013

Расчет и построение таблицы значений функции (протабулирование функции) при различных значениях аргумента. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и построение графика. Рабочий лист Excel в режимах отображения значений и формул.

контрольная работа [30,0 K], добавлен 27.05.2010

Определение возможностей математического пакета и изучение методов вычисления выражений в Mathcad. Возможности построения графиков функций одной переменной. Просмотр и способы построения графика функции одного аргумента и участков двухмерных графиков.

контрольная работа [384,8 K], добавлен 06.03.2011

Исследование функции в математическом анализе, её свойства, экстремумы и точки перегиба. Понятие о повторных пределах. Дифференцирование функции двух переменных, построение графика. Инструментальная среда MathCAD как средство исследования функции.

Похожие публикации:

1. Как обрезать музыку в программе windows movie maker
2. Как отключить ваши контакты в telegram
3. Как открыть windows movie maker
4. Как очистить историю в telegram

Построить график комплексной функции онлайн: Построение графиков онлайн

Обновление: На 12 сентября 2017 года, упрощен ввод данных. Теперь можно вводить выражение без знака умножения. Например 3(2+i)(-4+sin(i)). Если заметили неправильный расчет, просьба внизу страницы обозначить ошибку в виде комментария. Спасибо!

Позволяет высчитывать результат произвольного комплексного выражения с любым количеством скобок, любой длины и с любыми числами (как действительными, так и мнимыми)

Арифметическое выражение подразумевает собой выражение, которое использует 4 основных операции: умножение, деление, сложение и вычитание.

Напомним как производятся эти операции:

Сложение двух комплексных чисел

Вычитание двух комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел

Деление двух комплексных чисел

Данный бот еще может использовать пятую операцию — возведение в степень, а так же все основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс), обратные тригонометрические функции, взятие логарифма и экспоненты. возведение в степень

синус(sin)

косинус(cos)

натуральный логарифм(ln)

тангенс(tan)

артангенс(atan)

арксинус(asin)

арккосинус(acos)

гиперболический синус(sinh)

гиперболический косинус(cosh)

гиперболический тангенс(tanh)

Число в выражении может быть как действительным, которое записывается в привычном виде, так и комплексным числом которое обозначается символом i

Просьба по возможности оборачивать каждое комплексное число в круглые скобки, если первый символ в нём является минус (-)

Примеры

(-4-1i)/((-5-2i)+7-1.2i)

или в более наглядном виде

Наш запрос выглядит так как мы его и сформировали в самом начале

calc_i (-4-1i)/((-5-2i)+7-1. (1/2))

Действительная часть 0.66468285388895

Мнимая часть 1.0051451851734

Как видите, сложность выражения может быть произвольной и включать в себя комплексные числа.

• Уравнение пятой степени. Частное решение. >>

Калькулятор онлайн — Решение комплексных чисел: сумма, разность, произведение, частное, n-ая степень и корень n-ой степени (с подробным решением)

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида \(а + bi\) где \(a\) и \(a\) — действительные числа, а \(i\) — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство \( i^2=-1 \).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения \(а + bi\). Число \(а\) называется действительной частью комплексного числа \(а + bi\), а число \(b\) — его мнимой частью. Число \(i\) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа \(2-3i\) равна \(2\), мнимая часть равна \(-3\).
Запись комплексного числа в виде \(а + bi\) называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа \(a + bi\) и \(c + di\) называются равными тогда и только тогда, когда \(a =c\) и \(b =d\), т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел \(a+ bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (a+c) + (b+d)i \), т. 2=-1 \).

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \),
\( z_1z_2 = z_2z_1 \)

2. Сочетательное свойство
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \),
\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

3. Распределительное свойство
\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом \(z = a + bi\) называется комплексное число \(a -bi\), которое обозначается \( \overline \), т. е.
\( \overline = \overline = a-bi \)

Например :
\( \overline = 3-4i \),
\( \overline = -2+5i \),
\( \overline = -i \)

Отметим, что \( \overline = a+bi \), поэтому для любого комплексного числа \(z\) имеет место равенство
\( \overline<(\overline)> = z \)
Равенство \( \overline = z \) справедливо тогда и только тогда, когда \(z\) — действительное число. 2> \)

Из данной формулы следует, что \( |z| \geqslant 0 \) для любого комплексного числа \(z\), причем \(|z|=0\) тогда и только тогда, когда \(z=0\), т.е. когда \(a=0\) и \(b=0\).

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число \( (-1)z \) называется противоположным комплексному числу \(z\) и обозначается \(-z\).
Если \(z = a + bi\), то \(-z = -a — bi\)
Например : \( -(3-5i) = -3+5i \)
Для любого комплексного числа \(z\) выполняется равенство
\( z+(-z) = 0 \).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) существует, и притом только одно, число \(z\), такое, что
\( z + z_2 = z_1 \),
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( z \cdot z_2=z_1 \) т. 2_2>i $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число \(a + bi\) можно рассматривать как пару действительных чисел \((a; b)\). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z = a + bi\) изображается точкой плоскости с координатами \((a; b)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу \(a + bi\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((a; b)\) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((a; b)\) соответствует одно комплексное число \(a + bi\). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число \(1 + i\)» говорят «точка \(1 + i\)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках \(i, \; 1+i, \; -i \)».

При такой интерпретации действительные числа \(a\), т.е. комплексные числа \(a+0i\), изображаются точками с координатами \((a; 0)\), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.
Чисто мнимые числа \(bi = 0+bi\) изображаются точками с координатами \((0; b)\), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами \((0; b)\) обозначается \(bi\).
Например, точка \((0; 1)\) обозначается \(i\), точка \((0; -1)\) — это \(-i\) , точка \((0; 2)\) — это точка \(2i\).
Начало координат — это точка \(O\).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\) (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline \) симметричны относительно действительной оси. 2> \) — модуль комплексного числа \(z\), \( \varphi \) — его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где \(r>0\), называют тригонометрической формой комплексного числа \(z\).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :

\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
$$ \frac = \frac(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного. <-i\frac<\pi>>.$

Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел (Лекция N 3)

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе.

Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0. 01¸10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока ;

u – мгновенное значение напряжения ;

— мгновенное значение ЭДС ;

р— мгновенное значение мощности .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m).

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ соответствуют уравнения:

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0): и — начальной фазой ( ).

Величину , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на рад., то угловая частота есть , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е₁ и е₂ угол сдвига фаз:

.

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е₁ и е₂ (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток равен сумме токов и двух ветвей:

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Результирующий ток также будет синусоидален:

Определение амплитуды и начальной фазы этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной

тригонометрической или

алгебраической — формах.

Например, ЭДС , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Комплексное число удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Параметр , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: , а параметр — комплексом мгновенного значения.

Параметр является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу , т. е. угол, который образует вектор с положительной полуосью +1:

Тогда мгновенное значение напряжения:

При записи выражения для определенности было принято, что , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если , то при (второй квадрант)

а при (третий квадрант)

Если задано мгновенное значение тока в виде , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

.

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в раз:

.

(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 , а . Определить .

Вычисляем гамма-функцию

Данный калькулятор сделан для вычисления гамма-функции. Давайте вспомним что такое гамма-функция. Это такая функция в мире математике, которая расширяет понятие факториала на поле комплексного или целого числа.

Есть не один способ вычисления гамма-функции, но в данном калькуляторе был использован метод аппроксимации Ланцоша. Подробней о данном методе можно прочитать просто зайдя по данной ссылке:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

It is expected a positive number.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

B. C.

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Комплексные числа и операции с ними

Обнаружили ошибку? Выделите ее мышью и нажмите

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для , а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Комплексная плоскость и мнимая единица

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Рисунок 1. Расширение множества вещественных чисел до множества комплексных числел

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Модуль и фаза комплексного числа

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

— неотрицательное вещественное число характеризующее длину вектора и называется модулем комплексного числа. При этом сам вектор комплексного числа повернут относительно реальной оси на некоторый угол , называемый фазой. Фаза комплексного числа может быть положительной или отрицательной, в зависимости от того в каком направлении относительно оси отсчитывать угол. Если угол поворота вектора на комплексной плоскости отсчитывать против часовой стрелки (как это показано на рисунке 1), то фаза будет принимать положительные значения, а если по часовой — то отрицательные.

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа, представленного в алгебраической форме:

где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :

Необходимость поправки возникает из-за того, что функция периодическая функция с периодом рад. В результате возвращает корректные значения только в интервале . Таким образом функция арктангенса не отличает четверть I от четверти III (в обоих случаях отношение положительное), а также не отличает четверть II от четверти IV (отношение отрицательное).

На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того в какой четверти комплексной плоскости расположено число.

Рисунок 2. Значение поправки фазы комплексного числа в зависимости от расположения на комплексной плоскости.

На рисунке 2а исходное комплексное число расположено в первой четверти комплексной плоскости и .

Тогда и значение фазы комплексного числа равно:

Рассмотрим случай, когда комплексное число расположено во второй четверти комплексной плоскости (рисунок 2б), т.е. и . В этом случае и угол также будет отрицательным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

Пусть комплексное число расположено в третьей четверти комплексной плоскости (рисунок 2в), т.е. и . В этом случае и угол будет положительным (красная пунктирная линия). Тогда для того, чтобы получить корректное значение фазы необходимо ввести поправку рад:

Если расположено в четвертой четверти комплексной плоскости (рисунок 2г), т. е. и , то в этом случае и угол будет отрицательным и равным фазе комплексного числа без поправок ( рад):

Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается .

Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:

связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:

Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях.

Из определения мнимой единицы можно сделать вывод, что , тогда , в свою очередь .

Таким образом, можно сделать вывод что .

Построим аналогичным образом соотношение для нечетных степеней: , тогда , в свою очередь и окончательно можно записать: . Тогда (14) можно представить как:

В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции , а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции . Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12).

Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и с использованием мнимой единицы :

Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами. Сумма двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число :

При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).

Рисунок 3. Операции над комплексными числами

Разность двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число

При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б). На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б), после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.

Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является комплексно-сопряженным числу .

Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью.

Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г.

При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны , а фазы имеют противоположные знаки.

Произведение комплексно-сопряженных чисел

представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.

Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел.

При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю, иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.

Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:

Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.

Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.

Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами.

Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.

Информация была полезна? Поделитесь с друзьями!

[1] Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2011.

[2] Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика Казань: Казанский государственный университет, 2010. [PDF]

Последнее изменение страницы: 07.02.2021 (14:04:39)

Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

Плоттер сложных функций

Вы можете использовать этот инструмент для построения графиков функций сложных, разделенных комплексных и двойных чисел, а также их обратных чисел в 2D и 3D.
Основная цветовая схема и идея были полностью вдохновлены плоттером сложных функций Дэвида Бау, но моя цель состояла в том, чтобы моя версия работала быстрее (с использованием webgl) и имела больше функций (разделенные комплексные числа, двойные числа, трехмерное построение, инверсии) и более настраиваемый.

Базовое использование

Чтобы ввести функцию, наведите указатель мыши на нижнюю часть окна (или нажмите на мобильном устройстве) и щелкните 3 горизонтальные полосы, которые покажут вам интерфейс для ввода функций и настройки инструмента.
В порядке чтения значки внизу экрана: справка, меню (три горизонтальные полосы, упомянутые выше), загрузка фонового изображения (это позволяет вам управлять изображением по вашему выбору с помощью введенной вами функции), загрузка и полноэкранный режим.
Переменная z предоставляет координаты x и y каждого пикселя в форме x + iy.
Любые другие переменные станут переключаемыми значениями в меню, которые вы можете использовать для управления программой.
Когда пользователь вводит функцию, каждая точка (x, y) окрашивается в соответствии с тем, где они приземляются под f (x + iy).Если вы хотите, чтобы точки были окрашены в зависимости от того, где они возникли, а не где они оказались, включите «инвертировать» в настройках, чтобы инвертировать функцию численно. Это довольно дорого, поэтому подумайте об уменьшении AA или уменьшении окна, если у вас возникли проблемы (вы также можете настроить параметры инверсии в меню).

Константы

e
пи или π
i

Операторы и функции

Примечание: ниже u и v используются для представления любого выражения
Группировка (u)
Величина | u | или ‖u‖
Conjuagte u *
Основная арифметика : u + v, u-v, u * v или u⋅v, u / v или u ÷ v
Для умножения вы также можете просто записать переменные рядом друг с другом i.v, ln (u), log (u), log (u, b) (аргумент b в журнале может использоваться для указания базы, по умолчанию e)
Факториал : u! (действительно гамма (u + 1))

Триггерные функции : sin (u), cos (u), tan (u)
Обратные триггерные функции : asin (u), acos (u), atan (u)
Гиперболические триггерные функции : sinh (u), cosh (u), tanh (u)

Угол : arg (u)
Получить действительные / мнимые компоненты : re (u), im (u)
Знак : sgn (u)
Шаг : шаг (u)
Квадратный корень : sqrt (z) или √ (z) (или просто использовать возведение в степень)
Гамма-функция : гамма (u) или Γ (u)
Дзета-функция : zeta (u) или ζ (z)

Итерированная функция (думайте о var = update как о теле цикла for, e . г. инициализирует z’ равным 0, а затем добавляет единицу к нему на каждой из 5 итераций). Значение var по умолчанию — z ‘, вам не нужно указывать «z’ =», если вы планируете использовать z ‘(так что также работает), но если вы хотите использовать другую переменную, например «y», вам нужно будет указать ее (). Итерации должны быть целым числом

Производная по z (u) ‘(производные можно вкладывать сколь угодно глубоко, но из-за ограничений арифметических операций с плавающей запятой результаты довольно быстро ухудшаются). Обратите внимание на скобки, z’ в повторяющейся функция не является производной от z.

Интеграл w.r.t z $ (u) или $ [нижний] (u) или $ [нижний, верхний] (u). Когда параметры нижней и верхней границы опущены, используются значения по умолчанию 0 и z соответственно. Интегрируется по линии от нижней к верхней границе. Вы также можете использовать $ [lower, upper, variable] (u), чтобы указать переменную для интегрирования по умолчанию z. Используйте $ [lower, upper, variable, iter] (u), чтобы указать количество шагов, которые нужно предпринять при интегрировании. Вы можете использовать ∫ вместо $.

Сумма от 1 до | count |: Sum (u, count) или ∑ (u, count) e.z, 100н).

Прочие

Чтобы сгенерировать парсер для пользовательского ввода, я использовал peg.js. Сгенерированный файл парсера включен вместе с файлом грамматики, который я написал и использовал для генерации парсера.

Wolfram | Примеры альфа: комплексный анализ

Анализировать свойства функций комплексной переменной или выполнять основную арифметику, находить корни или применять функции к комплексным числам.

Выполните простую арифметику над комплексными числами:

Примените функции к комплексным числам:

Постройте функции комплексной переменной или вычислите и проанализируйте их свойства.

Вычислить свойства функции сложной переменной (используйте переменную z ):

Найдите полюса сложной функции в заданном домене или во всей комплексной плоскости.

Найдите полюса сложной функции:

Найдите полюса в указанном домене:

Вычислить остатки функций на комплексной плоскости в точке или в указанной области.

Вычислить остаток функции в точке:

Вычислить вычеты в полюсах функции:

Вычислить остатки на полюсах в указанном домене:

Вычисление и визуализация римановых поверхностей для сложных функций.

Визуализируйте риманову поверхность:

Построение графиков комплексных чисел | Концепция, график и решенные примеры

Решенные примеры

Г-жа Долма попросила своих учеников классифицировать следующие комплексные числа на основе квадранта, в котором они лежат.

Можете ли вы их классифицировать?

Решение

Давайте найдем точки, соответствующие каждому комплексному числу.

\ [\ begin A & = 3 + 7i \; \; \; \; \; \; \; \ rightarrow (3,7) \\ [0,2 см] B & = 6-i \; \; \; \; \; \; \; \; \ rightarrow (6, -1) \\ [0,2 см] C & = — 2-4i \; \; \; \ rightarrow (-2, -4) \\ [0,2 см] D & = — 5 + 2i \; \; \; \ rightarrow (-5; 2) \ end \]

Изобразим данные комплексные числа на комплексной плоскости.

Итак, данные комплексные числа можно классифицировать как:

Квадрант 1	3 + 7i
Квадрант 2	-5 + 2i
Квадрант 3	-2-4i
Квадрант 4	6-я

Итак, комплексные числа классифицируются.

Дженни говорит Джолли, что точки \ (2-i, i \) и \ (2 + 3i \) образуют вершины прямоугольного треугольника.

Как вы думаете, она права? Обоснуйте свой ответ.

Решение

Допустим, что данные точки равны:

\ [\ begin A & = 2-я \; \; \; \; \ rightarrow (2, -1) \\ [0,2 см] B & = i \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ rightarrow (0,1) \\ [0.2 \\ [0,3 см] 8 + 8 & = 16 \\ [0,3 см] 16 & = 16 \ конец \]

Таким образом, \ (A, B, \) и \ (C \) удовлетворяют теореме Пифагора.

Итак, \ (\ Delta ABC \) — прямоугольный треугольник.

Мы можем доказать то же самое, отметив все координаты на графике:

\ (\ следовательно \) Данные точки образуют прямоугольный треугольник

Город Лото нанесен на комплексную карту, как показано на рисунке.

Шоколадный домик находится в точке \ (3 + 7i \), а фабрика по производству тортов — в точке \ (- 1-3i \).

Главный въезд в город находится на полпути между шоколадным домом и кондитерской.

Вы можете рассчитать точку главного входа?

Решение

Комплексные числа \ (3 + 7i \) и \ (- 1-3i \) соответствуют точкам \ ((3, 7) \) и \ ((- 1, -3) \) на комплексной плоскости.

Чтобы вычислить точку главного входа, мы должны вычислить среднюю точку (3, 7) и (-1, -3).

Пусть \ (x_ = 3 \), \ (y_ = 7 \), \ (x_ = — 1 \) и \ (y_ = — 3 \)

Координаты главного входа рассчитываются как:

\ (\ begin \! \! \ Left (\ dfrac + x_ > , \ dfrac + y_ > \ right ) \! \! & = \! \! \ left (\ dfrac , \ dfrac \ right) \\ & = \! \! \ left (\ dfrac , \ dfrac \ right) \\ & = \! \ left (1, 2 \ right) \ end \)

\ (\ следовательно \) Главный вход находится в точке \ (1 + 2i \).

Интерактивные вопросы

Вот несколько занятий для вас.Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции построения графиков комплексных чисел. Математическое путешествие по построению графиков сложных чисел начинается с того, что ученик уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано таким образом, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними.В этом заключается магия Куэмат.

Мы надеемся, что вы научились рисовать комплексные числа на комплексной плоскости и изображать мнимые числа в этом уроке по построению графиков комплексных чисел.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда математиков стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, это логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению, в который мы, в Cuemath, верим.

Часто задаваемые вопросы о построении графиков комплексных чисел

1.

Для чего используется комплексная плоскость?

Комплексная плоскость используется для нанесения комплексных чисел на график.

2. Как построить комплексное число на комплексной плоскости?

Выполните шаги, указанные ниже, чтобы построить комплексные числа на комплексной плоскости.

1. Определите действительную и мнимую части данного комплексного числа. Например, для \ (z = x + iy \) действительная часть равна \ (x \), а мнимая часть — \ (y \).
2. Сформируйте упорядоченную пару, в которой первый элемент — действительная часть, а второй элемент — мнимая часть. Например, для \ (z = x + iy \) упорядоченная пара равна \ ((x, y) \)
3. Постройте точку \ ((x, y) \) на плоскости.

3. Что такое сложный граф?

Сложный граф — это граф, на котором представлены комплексные числа.

4. Как построить график комплексных чисел?

Выполните шаги, указанные ниже, чтобы построить комплексные числа на комплексной плоскости.

1. Определите действительную и мнимую части данного комплексного числа. Например, для \ (z = x + iy \) действительная часть равна \ (x \), а мнимая часть — \ (y \).
2. Сформируйте упорядоченную пару, в которой первый элемент — действительная часть, а второй элемент — мнимая часть. Например, для \ (z = x + iy \) упорядоченная пара равна \ ((x, y) \)
3. Постройте точку \ ((x, y) \) на плоскости.

5. Где в реальной жизни используются комплексные числа?

Комплексные числа используются для решения квадратных уравнений.2 + 1 = 0 \) равно \ (z = i \).

6. Что такое Z * в комплексных числах?

\ (z * \) в комплексных числах — это сопряжение комплексного числа \ (z = x + iy \), заданного как \ (z * = x-iy \).

7. Как построить график i на комплексной плоскости?

Число \ (i \) соответствует точке \ (0,1 \) на графике.

8. Где на графике изображена действительная часть комплексного числа?

Действительная часть комплексного числа отложена на горизонтальной оси графика.

9.Где на графике изображена мнимая часть комплексного числа?

Мнимая часть комплексного числа отложена на вертикальной оси графика.

Визуализируйте сложные функции онлайн

(PRWEB) 14 января 2008 г.

Archimy http://www.archimy.com/ объявляет о выпуске совершенно новой службы визуализации данных для построения двумерных и трехмерных уравнений, которая позволяет студентам, учителям и энтузиастам математики визуализировать сложные математические функции в Интернете без необходимости загружать их. дополнительное программное обеспечение.

Визуальная математика играет важную роль в современных исследованиях и исследовании сложных математических функций. Визуальный подход помогает учителям лучше объяснять уравнения и поведение функций, независимо от их сложности, а также упрощает математические исследования и упрощает демонстрацию результатов.

Визуализируйте сложные математические функции онлайн без дополнительных загрузок! Расширьте свое представление о математических функциях, построив их графики в 2D или 3D! Одна картинка может объяснить студенту-математику или обычному читателю больше, чем экран, полный формул.Archimy позволяет рисовать любой мыслимый график в двух или трех измерениях в полярных или сферических координатах. Бесплатный онлайн-сервис строит графику и визуализацию в реальном времени, управляемую пользователем, по запросу, позволяя вращать функциональный график для лучшей визуализации. Archimy не ограничивается отрисовкой функций на http://www.archimy.com/; вы можете сгенерировать HTML-код для функции и использовать его на своих собственных веб-сайтах в качестве расширенного способа представления функций вашим посетителям.

Archimy позволяет вам определять график, задав формулу, описывающую координаты в пространстве (x, y, z).Задать поверхностную функцию только для двух переменных можно легко, зафиксировав координату «z» равной нулю.

Визуализация динамического поведения возможна с использованием простого языка сценариев. Параметрические функции поддерживаются за счет использования набора параметров для параметрического задания функции.

Расширьте возможности своей веб-страницы, сайта или математического блога с живыми графиками функций! Демонстрируйте идеи, динамически рисуя двумерные или трехмерные функциональные графики на вашем веб-сайте с помощью Archimy. Один щелчок мыши предоставляет вам небольшой HTML-код, который динамически отображает математические функции на вашем собственном веб-сайте.

Ученые всего мира использовали Java для рисования графиков функций в веб-браузерах. Многие пользователи компьютеров не имеют установленной Java в своих браузерах, и поэтому они не увидят графики при посещении вашего веб-сайта. Графики функций Archimy встраиваются в веб-страницы без использования Java. Archimy использует широко распространенный формат SWF Flash, поддерживаемый практически всеми веб-браузерами и устанавливаемый на компьютер каждого пользователя. Использование SWF Flash приводит к получению высокосовместимого и чрезвычайно компактного кода, благодаря чему ваши страницы загружаются быстрее и выглядят лучше.

Archemy, безусловно, обладает всеми возможностями, которые вы ожидаете от службы научного построения графиков. Низкие системные требования, компактный код и использование популярного формата SWF Flash открывают путь популяризации сложной математики среди самой широкой аудитории.

Посетите http://www.archimy.com/ для получения дополнительных сведений.

Контакты:
Денис Козырь
+380 (50) 637-02-08
http://www.archimy.com/

Поделиться статьей в социальных сетях или по электронной почте:

Нанести комплексные числа на комплексную плоскость

Мы не можем нанести комплексные числа на числовую линию, как действительные числа.Однако мы все еще можем изобразить их графически. Чтобы представить комплексное число, нам нужно обратиться к двум компонентам числа. Мы используем комплексную плоскость , которая представляет собой систему координат, в которой горизонтальная ось представляет реальный компонент, а вертикальная ось представляет мнимый компонент. Комплексные числа — это точки на плоскости, выраженные в виде упорядоченных пар ( a , b ), где a представляет координату для горизонтальной оси, а b представляет координату для вертикальной оси.

Рассмотрим число [латекс] -2 + 3i \\ [/ latex]. Действительная часть комплексного числа –2, а мнимая часть — 3 i . Мы строим упорядоченную пару [латекс] \ left (-2,3 \ right) \\ [/ latex], чтобы представить комплексное число [latex] -2 + 3i \\ [/ latex] .

Общее примечание: сложная плоскость

В комплексной плоскости горизонтальная ось является действительной осью, а вертикальная ось — мнимой осью .

Как сделать: дано комплексное число, изобразите его компоненты на комплексной плоскости.

1. Определите действительную и мнимую части комплексного числа.
2. Двигайтесь по горизонтальной оси, чтобы показать действительную часть числа.
3. Двигайтесь параллельно вертикальной оси, чтобы показать мнимую часть числа.
4. Постройте точку.

Пример 2: Построение комплексного числа на комплексной плоскости

Постройте комплексное число [латекс] 3 — 4i \\ [/ latex] на комплексной плоскости.

Решение

Действительная часть комплексного числа равна 3, а мнимая часть — –4 i . Строим упорядоченную пару [латекс] \ left (3, -4 \ right) \\ [/ latex].

Попробуй 2

Постройте комплексное число [latex] -4-i \\ [/ latex] на комплексной плоскости.

Устройство графического отображения сложных функций

Устройство графического отображения сложных функций

График сложных функций

Этот апплет графически отображает сложные функции, в которых домен является базовая плоскость, модуль нанесен на график по вертикали, а цвет представляет аргументы.См. Текст справки для получения более подробной информации.

Текст справки

Построить график сложной функции сложно, потому что вам нужно 2 (реальные) размеры для домена и 2 (реальные) измерения для диапазона — a всего 4 измерения. В этом апплете домен сложной функции на базовой плоскости. Диапазон нанесен на график с использованием полярных координаты. Модуль (величина) комплексной функции изображен на графике вертикальная ось. Аргумент (угол) отображается на графике с использованием различных цвета — голубой для позитивного реального, темно-синий (оттенок к пурпурному) для положительное воображаемое, красный для отрицательного действительного и желто-зеленый для отрицательного воображаемый., sqrt (), sin (), cos (), tan (), exp (), ln (), log () (синоним ln), sinh (), cosh (), abs (), mod () (синоним слова abs), arg (), con (), e, pi, я.

Чтобы настроить область графика, щелкните правой кнопкой мыши (или щелкните, удерживая нажатой клавишу Shift, если у вас есть однокнопочная мышь) на графике. Редактор домена принимает только числовые вход, то есть 3,14 не пи.

Один судья попытался проверить личность с помощью этого апплета и обнаружил некоторые специфические эффекты, которые объясняются здесь.

Типовые задания

• f (z) = sqrt (z)
• f (z) = -sqrt (z)

• f (z) = exp (pi * z) или альтернативно
• f (z) = exp (z) (изменить домен на -6,28
• Регулярные и гиперболические триггерные функции
  • f (z) = cos (pi * z)
  • f (z) = cosh (pi * z)
  • В качестве альтернативы они могут посмотреть на cos (z) и cosh (z) с помощью домены установлены на
    -6.28 -2

  Документация и исходный код

  Документация была создана с помощью javadoc и предназначена для документирования использование классов, разработанных для этого апплета, для программистов, которые хотят использовать класс как есть в собственных проектах. Прокомментированный исходный код также предоставляется для программисты, которые хотят изменить эти классы, а также апплет сам (который в основном представляет собой пользовательский интерфейс). Код защищен авторским правом но может свободно использоваться в некоммерческих целях при условии, что оригинал источник указан, и автор проинформирован.Связаться с автором по адресу [email protected]

  Визуализация сложных функций | Кевин ван Кессель

  Комплексные числа

  Пусть вас не пугает название: сложные числа понять легче, чем звучать. Комплексное число на самом деле состоит из двух чисел: действительного и мнимого числа. Действительное число — это то, к чему все привыкли, каждое значение от отрицательной бесконечности до бесконечности.2 = -1 \).

  Причина, по которой эта константа важна, заключается в том, что с ее помощью идея извлечения квадратного корня или логарифма отрицательного числа может иметь смысл. Фактически, большинство функций имеют естественное расширение на комплексную область, например \ (\ sin () \). Они также предоставляют способ определения умножения и деления двумерных векторов наряду с обычным сложением и вычитанием.

  Я вынужден указать, что они плохо названы. Боковое число Гаусса — гораздо лучшее название.Они существуют и так же полезны, как отрицательные числа, но вы не найдете ни того, ни другого в естественном мире.

  Декартовы координаты

  Вы складываете действительные и мнимые числа вместе, чтобы получить комплексное число. Это немного необычно для концепции числа, потому что теперь у вас есть два измерения информации вместо одного. Подобно тому, как можно представить себе действительные числа как точку на числовой прямой, можно представить комплексное число как точку на числовой плоскости. Ось X числовой плоскости представляет действительную составляющую, а ось Y — мнимую составляющую.Это декартова система координат.

  Полярные координаты

  Хотя оси напрямую соответствуют каждому компоненту, на самом деле часто бывает проще представить комплексное число как величину (\ (r \)) и угол (\ (\ theta \)) от начала координат. Такой способ представления точки на плоскости называется полярной системой координат. Причина в том, что это проще, потому что когда вы умножаете два комплексных числа, величина результата является произведением двух исходных величин, а угол результата является суммой двух исходных углов. \\ \ end \]

  Видите, насколько проще возвести квадрат в полярных координатах? Это не только проще, но и легко интерпретировать результат. Величина возводится в квадрат, а угол удваивается.

  Графические сложные функции

  Построить график сложной функции на удивление сложно. Реальная функция принимает одно измерение информации и выводит одно измерение информации. В сумме получается два удобных измерения, которые легко отобразить на экране компьютера или на бумаге.С другой стороны, сложные функции принимают два измерения информации и выводят два измерения, оставляя нам в общей сложности четыре измерения, которые нужно втиснуть в наш график. Это звучит почти невероятно, как, черт возьми, мы могли придумать способ визуализировать четыре измерения?

  Один из способов — построить векторное поле. Векторное поле представляет собой набор маленьких стрелок. Каждая стрелка показывает, как функция преобразует точку, над которой они находятся. Это может сработать, но это не очень хорошо, поскольку для рисования каждой стрелки требуется пространство, которое можно было бы использовать для рисования стрелок меньшего размера.

  К счастью, у нас есть хитрость в рукаве. Мы можем решить эту проблему, используя полярные координаты, указанные ранее. Как это помогает? Осталось построить всего четыре измерения. Важным отличием полярных координат от декартовых координат является угол. Углы отличаются от величин, потому что они периодичны. Полный оборот — это то же самое, что и полное отсутствие вращения. Цвет тоже периодичен. Вы можете переключаться между всеми оттенками: красным, желтым, зеленым, голубым, синим, пурпурным и обратно к красному.

  У нас есть способ представить угол, а как насчет величины? Для этого мы можем использовать легкость. Чем меньше величина, тем она темнее, тем больше величина, тем светлее. Однако здесь есть очевидная проблема. Величина может быть от нуля до бесконечности, а яркость — от 0% до 100%. Чтобы учесть это, мы можем разбить эту величину на группы, каждая из которых имеет оттенок от темного к светлому, и каждый раз удваивать их размер. Например, один градиент от темного к светлому будет от 1 до 2. \)). Оттенок пикселя отображается на новый угол (\ (\ theta \)), а яркость пикселя — на новую величину (\ (r \)). 2 \).Точки, где кажется, что контуры сходятся, я буду называть полюсами. Полюса — это место, где функция переходит в \ (0 \) или \ (\ pm \ infty \). В этой интерполяции вы можете увидеть, как полюс появляется вдоль отрицательной оси и сливается с исходным полюсом.

  Куб

  Подобно квадрату, эта функция втрое увеличивает количество оттенков вокруг полюса и втрое плотность контуров. При интерполяции два дополнительных полюса объединяются в исходный, в результате чего получается три полюса.Что же произойдет, если мы возьмем отрицательные силы?

  Обратный

  Инверсия z.

  Здесь вы можете увидеть, как выглядит инверсия комплексной плоскости. Оттенки переворачиваются вдоль горизонтальной оси, и каждый контур теперь уменьшается вдвое, а не удваивается, потому что градиент яркости меняется на противоположный. В интерполяции можно увидеть, как два полюса вырываются из исходного полюса. Что следует по той же схеме, что и предыдущие два.

  Обратный квадрат

  Перевернутый квадрат z

  Снова по шаблону удаляются три полюса из оригинала.Это образует инверсию с двумя оттенками каждого и удваивает плотность контуров

  Квадратный корень

  Корень квадратный из z.

  Это немного странно. Подобно предыдущим, за исключением того, что полюса не движутся заметно, а вдоль отрицательной оси x имеется разрыв, называемый разветвлением. Разрез ветви означает, что функциональная поверхность становится слишком сложной для представления в двух измерениях, поэтому для простоты она усекается по отрицательной оси x. Уверяю вас, что если бы вы могли видеть четыре измерения, эта функция казалась бы непрерывной.

  Обратный квадратный корень

  Обратный квадратный корень из z.

  Этот похож на предыдущий, за исключением того, что два полюса удалены от оригинала под симметричными углами. Это проливает свет на предыдущую функцию. Я предполагаю, что предыдущая интерполяция также имела движущиеся полюса, но они были спрятаны за срезом ветки.

  Мощность i

  z в степень i.

  Теперь все становится напуганным. Если взять плоскость в степень \ (i \), похоже, она перевернется в другом смысле. > \ приблизительно 2.85 \) вместо \ (2 \), это приводит к тому, что контуры в преобразовании четко разделяют плоскость на \ (6 \) сегменты.

  Мощность -i

  z в степени -i.

  Аналогично предыдущему, но значения теперь удваиваются с углом и поворачиваются по часовой стрелке с увеличением. Мне интересно, что все интерполяции мощности включают слияние или разделение полюсов в разных направлениях.

  Синус

  Это красивый и один из моих любимых.Полюса сливаются сверху и снизу только для того, чтобы сразу же снова разделиться, образуя красочную симметричную волну. Косинус похож, но сдвинут по горизонтали.

  Гиперболический синус

  Гиперболический синус z.

  Отношение Sine к его гиперболическому аналогу становится ясным из этих двух последних графиков.

  Арксинус

  Арксинус z.

  Это не кажется очень интересным, но мне любопытно посмотреть, что происходит за пределами сечения ветки.

  Касательная

  Касательная к z.

  Последовательность чередующихся обычных и обратных полюсов появляется вдоль горизонтали.

  Синус обратной

  Синус обратной величины z.

  Вспомните, как предел \ (\ sin (\ frac ) \) не определен, когда \ (x \) приближается к \ (0 \)? Это потому, что синус начинает дико колебаться, не останавливаясь ни на каком значении. Теперь расширите эту концепцию до сложных значений, и вы получите эту странную особенность.

  Тангенс обратной

  Касательная к обратной z.

  Я даже не буду пытаться объяснять эту чушь.

  Экспоненциальная

  Число Эйлера в степени z.

  Столбы втягиваются справа налево, сглаживая контуры в четкую горизонтальную последовательность. Новая величина — это экспонента действительной составляющей, а новый угол — это мнимая составляющая в радианах.

  Логарифм

  Натуральный логарифм z.

  Трудно понять, что здесь происходит, но эта интерполяция разворачивается в бесконечную спираль за пределами сечения ветви. z \).

  Softplus

  Softplus з.

  Softplus также встречается как функция активации нейронных сетей. Кажется, что два полюса выходят из-под основной ветви, прорезанной справа от исходной точки, которая практически не меняется.

  Гамма

  Гамма-функция z.

  Гамма-функция — это непрерывная версия факториала. В частности, \ (\ Gamma (n) = (n — 1)! \). Это еще одна моя любимая функция, выглядит она довольно экзотично.

  Экспоид

  Это функция, которую я придумал во время экспериментов, и в итоге она оказалась интересной. Я называю тебя экспоидной функцией. Черные области — это места, где вычисления выходят за пределы арифметики с плавающей запятой на моем компьютере, в противном случае эта область была бы заполнена еще более компактными колебаниями.

  Кажется, что вплоть до самого последнего кадра столпы стабильности и нестабильности формируются на отрицательной реальной стороне сюжета. Кажется, что каждая колонна приближается к ширине \ (\ pi \). Это явление возникает потому, что, когда мнимая составляющая кратна пи, знак внутренней экспоненты становится положительным или отрицательным.Это приводит к тому, что внешняя экспонента взрывается или исчезает, вызывая один и тот же черный артефакт из-за того, как хранятся числа с плавающей запятой. Когда мнимая составляющая находится прямо между этими кратными, внутренняя экспонента становится чисто мнимым числом. Тогда внешняя экспонента только вращается, а не изменяет величину, поэтому эти области отображаются правильно.

  Мягкая экспонента

  Мягкая экспонента — довольно редкая функция активации, встречающаяся в машинном обучении.г \\ \ end \]

  Дзета-функция Римана

  Дзета-функция z. Важные полюсы дзета-функции.

  Наконец, дедушка сложных функций: дзета-функция Римана. Почему эта функция так важна? Потому что это связано с распределением простых чисел, которое само по себе загадочно. Если вы сможете доказать гипотезу Римана, вы также получите ряд других результатов о распределении простых чисел, которые основаны на истинности гипотезы. Вы также выиграете миллион долларов, но это не так важно.

  Какая именно гипотеза? Дело в том, что каждый нетривиальный нуль дзета-функции имеет действительную часть \ (\ frac \). Когда я говорю «тривиальные нули», это означает полюса на отрицательной действительной оси, которые вы можете видеть на изображениях выше. На втором изображении вы видите первые два нетривиальных нуля. Они лежат примерно в \ ((\ frac + 14.1i) \) и \ ((\ frac + 21.0i) \). Вроде есть закономерность, но пока никто не доказал ее с полной уверенностью.

  Заключение

  Математика прекрасна, а визуализация может помочь иностранным концепциям стать немного более интуитивно понятными.Я надеюсь, что это пробудит у кого-то интерес к изучению сложных систем счисления. Их бесконечно много, но они быстро усложняются, поэтому часто обсуждаются только первые несколько.

  Что действительно интересно в них, так это то, что вы что-то теряете каждый раз, когда переходите к высшей алгебре.

  Как построить график функции в mathcad

  

  В статье рассмотрены основные возможности построения графиков в программе mathcad. Для инженерных и студенческих расчетов, как правило, достаточно знать следующие методы построения графиков:

  Построение графика по точкам

  Чтобы построить график по точкам в декартовой системе координат необходимо задаться исходными данными. Создадим две матрицы-столбца, назовем их X и Y соответственно и заполним их значениями. Для создания матриц-столбцов воспользйтесь панелью Matrix. В панели matrix нажмите на кнопку под названием Matrix and vector. В появившемся окне введите количество строк и столбцов. Для матрицы-столбца количество столбцов будет очевидно ровно одному. Количество строк зависит от количества точек. В нашем случае это 9 точек. После внесения данных нажмите ОК (см. рис. 1)

  

  Рис. 1. Создание матриц-столбцов

  В свободном поле mathcad появится пустая матрица-столбец. Поместите курсор в матрицу и с использованием клавиш «стрелка» и «пробел» добейтесь положения курсора, как показано на рисунке 2а ниже. После чего введите с клавитуры символ двоеточия «:«. У вас должна получиться маска как на рисунке 2b. Теперь вы можете присводить содержимое матрицы какой то переменной. Например переменной X (см. рис. 2c). Заполните матрицу в соответсвии с рисунком 2 и затем повторите те же самые действия для создания матрицы-столбца Y.

  

  Рис. 2. Заполнение матриц-столбцов для графика

  На панели Graph найдите кнопку X-Y plot и щелкните по ней левой кнопкой мыши. У вас появится маска для построения графика. В черных прямоугольниках можно вводить имена осей абсцисс и ординат, а так же область отображения кривой графика (см. рис. 3)

  

  Рис. 3. Создание заготовки для графика

  Введите под осью абсцисс имя матрицы-столбца X, а слева от оси ординат имя матрицы-столбца Y. В окне графика вы увидите ломаную линию, соединящие координаты, указанные в матрицах столбцах (см. рис. 4)

  

  Рис. 4. График по точкам

  Оформление кривой графика по умолчанию, как правило, лишено наглядности и читабельности. Средства mathcad позволяют настраивать отображение графиков. Для этого щелкните 2 раза левой кнопкой мыши по изображению графика и в появившемся окне настройте внешний вид кривой, координатных осей и прочих элементов. Возможности mathcad позволяют: изменять цвет линий, их толщину и тип; нанести сетку на поле графика; подписывать оси координат; изменять формат числовых данных; вводить дополнительную (вторичную, второстепенную) ось ординат. После настройки всех элементов нажмите ОК и вы заметите, что ваш график приобрел более привлекательный вид (см. рис. 5)

  

  Рис. 5. Настройка отображения графика

  Построение графика функции f(x)

  Возможно самой распространенной задачей в студенческой и инженерной практике является построение графика функции f(x). В mathcad это делается в следующем порядке. С помощью клавиатуры и панели calculator вводится функция f(x), как показано на рис. 6. Для создания функции необходимо использовать равно с двоеточием «:=» (опертор присваивания). Далее в панели Graph найдите иконку X-Y Plot, щелкните по ней и создайте заготовку для графика. В черных прямоугольниках-маркерах введите имя функции и название аргумента. После отображения кривой зайдите в свойства графика и настройте отображение вашей кривой

  

  Рис. 6. Построение графика функции f(x)

  Чтобы построить два графика и более на одном поле (в тех же осях координат) сделайте следующее: введите вторую функцию, например y(x):=. , поместите курсор мыши в маркер поля графика, где уже указана первая функция f(x) и введите запятую. Таким образом mathcad зоздаст второй маркер для ввода очередной функции. Введите вашу вторую функцию и нажмите enter. Если имя аргумента обеих функций совпадает, то вторая кривая отобразится в поле графика, в противном случае, под осью абсцисс введите через запятую имя аргумента второй функции. Образец можно посмотреть ниже на рис. 7

  
  
  

  Рис. 7. Построение двух графиков функции

  Построение эпюры в mathcad

  Чтобы построить классическую эпюру в mathcad нужно выполнить следующие действия:

  — ввести функцию в виде y = f(x), как это показано в примерах выше;
  — ввести такназываемую ранжинрованную переменную в виде i = a, a-dt..b с определенным шагом dt;
  — создать поле графика и ввести туда функции f(x) и f(i) с соответствующими аргументами
  — настроить визуализацию функции f(i) в соответствии с требованиями к оформлению эпюр в вашем ВУЗе или компании

  Ранжированная переменная по сути является матрицей-столбцом, разница лишь в том, что значение элементов в нее входящих представляют из себя определенную закономерность или последовательность чисел. Ранжированную переменную можно ввести воспользовавшись кнопкой Range Variable из панели Matrix. Первый маркер отвечает за начальное значение последовательности, второй — за конечное. По умолчаию шаг последовательности равен 1. Если после первого элемента ввести символ запятой и в появившемся маркере ввести следующее число вашей последовательности, то таким образом вы определите шаг, с которым будет заполняться ваша последовательность. Обратите внимание на пример ниже.

  

  Рис. 8. Ввод ранжированной переменной

  Ранжированные переменные можно использовать для построения эпюр распределения физических величин. Для этого постройте ваш исходный график одним из методов, описанных выше. Пусть это будет график f(x):=x^2. Затем создайте ранжированную переменную с шагом 0.5 как указано в примере ниже

  

  Рис. 9. Ввод ранжированной переменной

  Далее создайте поле для графика и около оси ординат введите две функции: f(x) и f(i). Под осью абсцисс также введите соответсвующие аргументы: x и i. Вы должны увидет обычную параболу как на рисунке ниже

  

  Рис. 10. Построение эпюры. Шаг 1

  Для получения эпюры нужно настроить отображение функции f(i) в свойствах графика. Щелкните 2 раза по графику чтобы вызвать меню настройки отображения графика. Перейдите во вкладку traces. В списке Legend Label найдите имя trace 2. В столбце Type для trace 2 из выпадающего списка выберете тип графика stem. В столбце Symbol уберите отображение элементов. Во вкладке X-Y Axes выберете для Axis Style тип Crossed. Нажмите ОК и вы увидете эпюру. Вы можете настроить ее внешний вид по желанию.

  
  

  Рис. 11. Построение эпюры. Шаг 2

  В итоге вы увидите, что на графике появились вертикальные линии, которые распределены по оси абсцисс с шагом, который вы указали в ранжированной переменной. Изменяя параметры этой переменной можно настроить отображение эпюры. Эпюра готова (см. рис. 12)

  

  Рис. 12. Построение эпюры. Шаг 3

  Построение графика в полярных координатах в mathcad

  Введите функцию, которую необходимо построить в полярных координатах. Для примера возьмем y(x):=2*sin(3*x+0.5)

  Для построения графика в полярных координатах нажмите кнопку Polar Plot из панели Graph

  

  Рис. 13. Создание загатовки для графика в полярных координатах

  Вы увидете пустое поле графика. В черном маркере слева введите имя введенной функции y(x). В маркере снизу введите аргумент x и нажмите enter. Вы увидете «трилистник». Внешний вид графика можно настроить щелкнув два раза по графику левой кнопкой мыши. В появившемся окне представлен широкий набор инструментов для настройки отображения.

  

  Рис. 14. Построение графика в полярной системе координат

  

  Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

  Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

  Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

  Двумерные графики функций в MathСad

  В этом уроке мы рассмотрим типы графиков, которые есть в PTC Mathcad.

  Типы графиков

  Для изменения типа графика нужно нажать на него и выбрать на вкладке Графики -> Кривые -> Изменить тип. Далее представлены четыре типа графиков, которые можно использовать для функций:

  

  

  

  

  

  В этом списке вы можете увидеть некоторые типы осей. О них мы поговорим несколько позднее.

  Несколько графиков на одних осях

  Для добавления кривой на оси разместите курсор мыши на место, где заканчивается обозначение легенды оси Y графика и выберите Графики -> Кривые -> Добавить кривую. Появится дополнительное место для заполнения оси Y.

  

  С помощью этой же команды можно добавлять и другие графики.

  Используя вывод нескольких графиков, мы рассмотрим различные варианты вывода, которые доступны в меню Графики -> Стили. Для этого мы пропишем графики, которые будут содержать пять различных прямых линий. В каждой из них будет содержаться 11 точек.

  

  После ввода этих выражений добавьте график XY и после в него четыре легенды для Y. В заполнении для оси Х введите X[i и нажмите [Enter]. Все наши графики будут использовать одну и ту же легенду для оси X. Для последнего места для заполнения оси Y введите y[0,i и нажмите [Enter].

  Выше нужно ввести y[1,i , еще выше — y[2,i и дальше по тому же принципу. После вы увидите пять прямых линий, которые будут построены на осях. Каждой из них можно присвоить свое свойство, выбирая его в меню Графики -> Стили.

  Ниже вы можете видеть те графики, которые получились. В качестве настроек стиля использовались различные цвета, символы, толщина линии.

  

  

  

  

  Сами метки и присвоенные им значения были исключены в меню Графики -> Оси.

  Масштабирование

  При построении двух графиков на одной оси, для одного из них может быть выбран не совсем удачный диапазон, когда графики будут перекрываться.

  

  Для исправления этого разделите функцию куба на 5. Такой прием носит имя масштабирование.

  

  Маркеры

  Для того чтобы выяснить точные значения по графику, можно пользоваться маркерами из меню Графики -> Маркеры. Стили, которые используются для построения линий маркеров, можно менять так же как и стили графиков.

  

  Кривая «Столбцы»

  Поговорим о типе кривой «Столбцы». Воспользуемся таблицей с данными. Перейдем во вкладку Матрицы/таблицы -> Вставить таблицу и в сетке выберем таблицу с 2 столбцами и 10 строчками

  

  Местозаполнители заголовков заполните значениями х и у, а числа заполните так, как изображено на рисунке ниже:

  

  Разместите график XY. Сделайте график визуально более привлекательным, используя перемещение легенды по осям и форматирование значения меток. Для изменения типа графика выберите Графики -> Кривые -> Изменить тип -> Кривая «столбцы».

  

  Таблицу данных при работе с Mathcad удобнее использовать, когда данных не так много. Если данных намного больше, то лучше совместить использование Mathcad с Excel.

  Полярный график

  Давайте пропишем график спирали, который будет позиционироваться в полярных координатах.

  

  Разместите полярный график с помощью Графики -> Кривые -> Вставить график -> Полярный график. В местозаполнители введите такие данные, как можете видеть на рисунке и нажмите на клавишу [Enter].

  

  

  Параметрический график

  Для построения этого графика окружности нужно использовать параметр t

  

  Графики в логарифмическом масштабе

  В науке и технике часто находит применение логарифмический масштаб. В Mathcad Есть возможность построения и такого типа графиков.

  Давайте построим график функции y=x­ 2 , но будем использовать при этом параметр:

  

  Для того, чтобы выполнить ось X в виде логарифмической оси, нужно легенду оси X выделить и нажать Графики -> Оси -> Логарифмический масштаб. Это же выполните и для оси Y. В логарифмическом масштабе функция будет выглядеть как прямая линия.

  

  Резюме

  Этот урок научил нас использовать модификации для двухмерных графиков.

  1. Для изменения типа кривой нужно нажать на легенду по Y и выбрать Графики -> Кривые -> Изменить тип.
  2. Для добавления кривой нужно разместить курсор на легенду оси Y и выбрать Графики -> Кривые -> Добавить кривую/
  3. Для изменения внешнего вида лини графиков необходимо выбрать стиль во вкладке Графики -> Стиль, предварительно нажав на необходимую легенду/
  4. Для масштабирования графика необходимо разделить легенду нужно оси на коэффициент масштабирования.
  5. Линии маркеров, как вертикальные, так и горизонтальные, можно найти в разделе Графики -> Маркеры. Добавлять можно любое количество маркеров, вплоть до того, что строить из них сетку. Изменение маркеров доступно так же, как и любых других графиков.
  6. Полярный график размещается так же, как и график XY. Для этого зайдите в Графики -> Кривые -> Вставить график -> Полярный график.
  7. Изменение масштаба оси на логарифмический доступно с применением команды. Для ее выбора нажмите Графики -> Оси -> Логарифмический масштаб. Выполнять изменения нужно для каждой из осей. При выполнении изменения лишь для одной оси, вы получите логарифмический масштаб.
  • Назад
  • Вперед

  Уважаемые пользователи, хотим Вас проинформировать о том, что некоторые антивирусные программы и браузеры ложно срабатывают на дистрибутив программы MediaGet, считая его зараженным. Данный софт не содержит никаких вредоносных программ и вирусов и многие из антивирусов просто Вас предупреждают, что это загрузчик (Downloader). Если хотите избежать подобных проблем, просто добавьте MediaGet в список доверенных программ Вашей антивирусной программы или браузера.

  

  Выбрав нужную версию программы и кликнув ссылку, Вам на компьютер скачивается дистрибутив приложения MediaGet, который будет находиться в папке «Загрузки» для Вашего браузера. Находим этот файл с именем программы и запускаем его. И видим первый этап установки. Нажимаем унопку «Далее»

  

  Далее Вам предлагается прочитать и одобрить лицензионное соглашение. Нажимаем кнопку «Принимаю»

  

  В следующем окне Вам предлагается бесплатное полезное дополнительное программоное обеспечение, будь то антивирус или бразуер. Нажимаем кнопку «Принимаю». Также Вы можете отказаться от установки дополнительного ПО, нажав кнопку «Отклоняю»

  

  Далее происходит процесс установки программы. Вам нужно выбрать папку, в которую будут скачиваться нужные Вам файлы.

  

  Происходит завершение установки. Программа автоматически открывается и скачивает нужные Вам исходные файлы.

  Обратите внимание, что предоставляемое программное обеспечение выкладывается исключительно для личного использования и ознакомления. Все файлы, доступные для скачивания, не содержат вирусов и вредоносных программ.

  Урок 8. 2D-графики функций в Mathcad

  В этом уроке мы рассмотрим варианты графиков, доступных в PTC Mathcad Prime 3.0.

  Типы графиков

  Чтобы изменить тип графика, нажмите на него, затем выберите на вкладке Графики –> Кривые –> Изменить тип. Ниже представлены рисунки четырех типов графиков для функции:

  

  

  

  

  

  В списке есть еще некоторые типы осей – некоторые из них мы будем использовать позднее.

  Несколько графиков на одних осях

  Чтобы добавить кривую на оси, поместите курсор после обозначения легенды оси Y графика и нажмите Графики –> Кривые –> Добавить кривую. Появится еще один местозаполнитель для оси Y:

  

  Вы можете добавить больше графиков с помощью этой же команды.

  С помощью вывода нескольких графиков на одни оси мы посмотрим различные настройки из меню Графики –> Стили. Для этой цели мы создадим оси с пятью различными прямыми линиями. Каждая линия содержит 11 точек:

  

  Ниже этих выражений вставьте график XY, затем добавьте четыре легенды для оси Y. В местозаполнителе для оси Xвведите x[iи нажмите [Enter] – для всех пяти графиков будет использоваться одна легенда по оси X. В последний местозаполнитель для оси Y введите y[0,i и [Enter]:

  Выше следует ввести y[1,i, еще выше — y[2,i и т.д. После завершения Вы увидите пять прямых линий. Свойства каждой из них можно изменить, выбрав легенды оси Y соответствующего графика и выбрав необходимые настройки на меню Графики –> Стили.

  Ниже представлены получившиеся графики. Использовались различные настройки для толщины, цвета, стиля линий и символов:

  

  

  

  

  Метки и их значения мы убрали с помощью меню Графики –> Оси.

  Масштабирование

  На графике с двумя кривыми диапазон для одной из них может быть не очень удачным для другой, например, для графиков квадрата и куба x.

  

  Чтобы исправить это, разделите функцию куба на 5. Это называется масштабированием:

  

  Маркеры

  Чтобы узнать точные значения по графику, можно использовать маркеры из меню Графики –> Маркеры. Стиль линий маркеров можно изменять таким же способом, как и для обычных графиков:

  

  Кривая «Столбцы»

  Рассмотрим тип кривой «Столбцы». Для этого используем таблицу с данными – вкладка Матрицы/таблицы –> Вставить таблицу и в появившейся сетке выберите таблицу с 2 столбцами и 10 строками:

  

  В местозаполнителях заголовка введите x и y. Числа заполните, как на рисунке:

  

  Вставьте график XY. Улучшите вид графика, переместив легенды по осям и отформатировав значения меток. Чтобы поменять тип графика, выберите Графики –> Кривые –> Изменить тип –> Кривая «столбцы»:

  

  Таблица данных в Mathcadцелесообразно использовать, если данных немного. Для большого числа данных лучше совместно использовать Mathcad и Excel – об этом мы поговорим в уроке 17.

  Полярный график

  Построим график спирали в полярных координатах:

  

  Вставьте полярный график с помощью Графики –> Кривые –> Вставить график –> Полярный график. В местозаполнители введите данные, как на рисунке, и нажмите [Enter]:

  

  

  Параметрический график

  Этот график окружности построен с использованием параметра t:

  

  Графики в логарифмическом масштабе

  Логарифмический масштаб часто используется в различных областях науки и техники. Построение графиков в логарифмическом масштабе доступно в Mathcad.

  Построим график функции y=x­ 2 , но с использованием параметра:

  

  Чтобы сделать ось X логарифмической, выберите легенду оси X и нажмите Графики –> Оси –> Логарифмический масштаб. Проделайте то же самое для оси Y. В логарифмическом масштабе эта функция представляет собой прямую линию:

  Похожие публикации:

  1. Как в питоне убрать минус
  2. Как играть в майнкрафт java edition на телефоне
  3. Как менять батарейки на газовой колонке
  4. Как настроить ватсап на apple watch 7

  Как построить годограф в маткаде

  Рассмотрим последовательность расчёта критерия устойчивости Михайлова и сформируем алгоритм построения годографа, используя математический пакет «MathCad», на приведенных ниже примерах.

  Пример 1. Используя критерий Михайлова, определим устойчивость системы автоматического управления электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР). Структурная схема САУ электроприводом МПР изображена на рис. 2.

  

  Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР

  Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение [2]:

  

  (3)

  

  (4)

  

  где k_у – коэффициент усиления усилителя, k_м – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, T_у – электромагнитная постоянная времени усилителя, T_м – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), k_дс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .

  Подставим численные значения в выражение передаточной функции:

  

  (5)

  Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы заменив s на :

  

  (6)

  С помощью (1) выделим вещественную и мнимую части и подставим численные значения в полученную комплексную частотную функцию:

  

  (7)

  Имея данные в виде (7), перейдём непосредственно к использованию математического пакета «MathCad».

  Для этого в верхнем меню выберем «Новый…» – «Пустой документ», в котором будем формировать программу построения годографа Михайлова, используя нижеприведенный алгоритм.

  Шаг 1. Задать разрешение годографа диапазоном значений индекса i. Например:

  

  (8)

  Шаг 2. Определить исследуемый диапазон и шаг частоты , используя значения индекса i (обычно, для практических расчётов, максимальная величина частоты не превышает значения 1000, в нашем же примере – достаточно принять с частотным шагом 0,1):

  

  (9)

  Шаг 3. Полученные вещественную и мнимую части характеристического уравнения, зададим численными значениями (в данном случае используя (7)) в виде:

  

  (10)

  

  и

  Рисунок 3 – Массивы значений , и , рассчитанные в «MathCad»

  

  (11)

  Шаг 4. В результате вычислений (9), (10) и (11), получаются массивы значений частоты , а также вещественной и мнимой частей (рис. 3).

  Шаг 5. Далее имея рассчитанные массивы значений и , переходим к построению годографа Михайлова, используя встроенную функцию «MathCad» – «Инструменты графиков», выбрать «Декартов график». Здесь необходимо определить идентификаторы осей (в данном случае ось абсцисс соответствует вещественной части , а ординат – мнимой части ) и параметры графика в подменю «Формат…». В результате получим график комплексной частотной функции, приведенный на рис. 4.

  

  Рисунок 4 – Годограф Михайлова для САУ электроприводом МПР

  Используя функцию «Трассировка…» (пунктирные линии на рис. 4), можно определить, в соответствующем трассировке окне, точные значения годографа в любой точке рассчитанных массивов.

  Таким образом, по рассчитанным данным, построенный годограф Михайлова, начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно три квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Следовательно, данная САУ электроприводом МПР – устойчива.

  В соответствии с изложенным алгоритмом, рассмотрим ещё один пример расчёта критерия устойчивости Михайлова и построения комплексной частотной функции.

  Пример 2. На современных автомобильных заводах широко применяются большие сварочные роботы (рис. 5). Наконечник сварочного узла (НСУ) подводится к различным местам кузова автомобиля, быстро и точно совершает необходимые действия. Требуется определить устойчивость по критерию Михайлова САУ позиционированием НСУ, структурная схема которой изображена на рис. 6.

  

  Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:

  

  (12)

  где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа.

  Подставим в (12) численные значения: K = 40; a = 0,525.

  

  (13)

  

  Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:

  

  (14)

  Перед тем, как выделить вещественную и мнимую части, запишем (1) в несколько усовершенствованном виде, с целью универсального использования для различных порядков n:

  

  

  (15)

  

  где с – соответствующий постоянный коэффициент при определённом порядке частоты .

  Применяя (15) к нашей задаче, получим:

  

  (16)

  

  (17)

  Имея данные в виде (16) и (17), приступим к вышеупомянутому алгоритму построения годографа Михайлова с помощью «MathCad».

  Шаг 1. Зададим диапазон индекса i:

  

  (18)

  Шаг 2. Определим исследуемый диапазон и шаг частоты (примем с частотным шагом 0,1):

  

  (19)

  Шаг 3. Введём вещественную (16) и мнимую (17) части характеристического уравнения:

  

  (20)

  

  (21)

  Шаг 4. При выполнении вычислений (19), (20) и (21), формируются массивы значений частоты , вещественной и мнимой частей (рис. 7).

  Шаг 5. Имея рассчитанные массивы значений и , подобно предыдущему примеру, построим частотную функцию Михайлова. После определения параметров графика, получим годограф, приведенный на рис. 8.

  

  Рисунок 7 – Массивы значений , и , рассчитанные в «MathCad»

  

  Рисунок 8 – Годограф Михайлова для САУ позиционированием НСУ

  На основе анализа полученных данных, можно сделать вывод, что построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси, огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.

  Что же касается анализа последних публикаций [2] и сравнения с лучшими аналогами [3], то необходимо отметить факт отсутствия подобной функции (построение годографа Михайлова) в пакете «MATLAB» [1, 4], который, обычно, используется для моделирования различных САУ, что, собственно, и послужило главной причиной создания данного алгоритма.

  Перспективы развития данной работы заключаются в создании универсального инструмента для анализа комплексной частотной функции Михайлова, способного выполнить все вычисления уже на этапе задания характеристического уравнения, тем самым полностью автоматизируя этот процесс.

  Таким образом, для достижения цели, в ходе написания исследования, была решена главная проблема – получение простого и наглядного инструмента для решения задач расчёта устойчивости САУ, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора. Также были выполнены следующие задачи: сформирован алгоритм построения комплексной частотной функции Михайлова при помощи математического пакета «MathCad», выполнен анализ устойчивости САУ МПР по данному критерию, кроме того, – приведены практические примеры реализации данного алгоритма.

  Список использованной литературы

  1. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832 с.

  2. Юревич Е.И. Основы робототехники 2-е издание / Е.И. Юревич. – С-Пб.: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

  3. Yim Y. Modular Robots / Y. Yim, Y. Zhang, D. Daff // IEEE SPECTRUM. – 2002. – # 2. – P. 30 – 34.

  4. Олссон Г. Цифровые системы автоматизации и управления / Г. Олссон, Дж. Пиани. – С-Пб.: Невский Диалект, 2001. – 557 с.

  Как построить афчх mathcad

  

  Построить афх
  Кто нибудь может построить данную функцию. Необходимо выполнить D-разбиение, для чего надо.

  Типовые задачи курса тау

  Использования пакета MATHCAD иллюстрирует решение типовых задач первой части курса ТАУ, посвященной линейным САУ. Ниже рассматривается построение годографов характеристического уравнения и АФЧХ, графиков амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ), логарифмических АЧХ и ФЧХ, решение задач устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста, а также построение переходного процесса.

  Построение годографа афчх.

  Построение годографа АФЧХ и АЧХ графиков вещественной и мнимой частотных характеристик включает следующие этапы:

  -формирование параметров анализируемой передаточной функции:

  

  

  

  

  -формирование выражения анализируемой передаточной функции:

  

  -формирование линейного частотного диапазона:

  

  -построение графика вещественной частотной характеристики:

  

  

  

  -построение графика мнимой частотной характеристики:

  

  -корректировка частотного диапазона для более точного построения годографа АФЧХ:

  

  

  — построение графика годографа АФЧХ:

  

  Текст соответствующего MATHCAD файла приведен в приложении 1.

  Построение логарифмических афчх.

  Построим логарифмические АЧХ и ФЧХ для примера, используемого в разделе 2.1.

  Основной проблемой при построении логарифмических АЧХ и ФЧХ является задание декадно-логарифмического частотного диапазона, например: 1,2,3,…,9,10,20,30,…,90,100,200,…

  Эта проблема решается следующим образом.

  Задаются параметры частотного ряда:

  w0:= 0.01 – начальная частота ряда;

  n:= 4 – количество декад;

  j:=1…9 – ряд частотного поддиапазона (декады);

  Выражение для декадно-логарифмического частотного диапазона приводится ниже:

  

  В результате вычислений формируется следующий частотный ряд:

  

  Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической амплитудно-частотной характеристики:

  

  В данном случае p является формальным параметром выражения.

  Строится график логарифмической АЧХ:

  

  Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической фазо-частотной характеристики:

  

  и непосредственно строится график логарифмической ФЧХ:

  

  Следует отметить наличие разрыва графика при достижении абсциссой величины

  –π / 2, что обусловлено областью определения арктангенса [–π / 2, π / 2].

  Для построения непрерывного графика логарифмической ФЧХ необходимо сместить разрыв на – π, применяя функцию arg, тогда выражение примет вид:

  

  

  Текст MATHCAD файла, реализующего построение логарифмических АЧХ и ФЧХ приведен в приложении 2.

  Построение годографа характеристического уравнения.

  В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение, заданное следующим выражением:

  

  Для частотного диапазона w:=0,0.01…7 построим годограф характеристического уравнения:

  

  Текст MATHCAD файла, реализующего построение годографа характеристического уравнения, приведен в приложении 3.

  Критерий устойчивости ГУРВИЦА.

  Использование MATHCAD при определении устойчивости САУ по критерию ГУРВИЦА требует знания команд формирования и редактирования матриц.

  Рассмотрим процедуру использования MATHCAD при анализе следующего характеристического уравнения:

  

  Для формирования шаблона определителя ГУРВИЦА сформируем матрицу, нажав клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует определения количества столбцов и строк. Задав размер матрицы: 6 6, получим следующий шаблон определителя ГУРВИЦА:

  

  Полученный шаблон матрицы ГУРВИЦА заполняется согласно известному правилу [1-5] следующим образом:

  

  Далее согласно правилу [1-5], необходимо вычислить все главные миноры определителя ГУРВИЦА. Для удобства и простоты общения с MATHCAD, вычислим все миноры, начиная со старшего.

  Для вычисления определителя матрицы delta_6 необходимо сформировать символ определителя, нажав клавишу [ | ], и заполнить его именем матрицы delta_6. Получим следующий результат:

  

  Для вычисления следующего минора delta_5 необходимо скопировать матрицу delta_6 ниже, используя клавиши [F2], [F4], и изменить имя минора на delta_5.

  Чтобы удалить лишние в этом случае нижнюю строку и правый столбец, необходимо маркер подвести к нижнему правому элементу 1000 и нажать клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует пояснения для удаления (что будет означать знак -) или дополнения (знак +) текущей матрицы. Необходимо набрать -1 -1 и будет удалена нижняя строка и правый столбец. Выражение примет следующий вид:

  

  Вычислим минор delta_5 приведенным ниже образом:

  

  Аналогично составляются и вычисляются остальные миноры определителя ГУРВИЦА:

  

  

  

  

  После анализа знаков и величин всех диагональных миноров принимается заключение об устойчивости САУ [1-5].

  Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Гурвица, приведен в приложении 4.

  Критерий устойчивости Михайлова.

  Использование пакета MATHCAD при решении задачи устойчивости САУ по критерию Михайлова заключается в построении годографа в комплексной плоскости [1-5]. Рассмотрим эту задачу на следующем примере, описанном в разделе 4.2.1.

  Дано характеристическое уравнение САУ:

  

  Пусть частотный диапазон для анализа:

  

  Построим годограф Михайлова в комплексной плоскости:

  

  Проанализируем поведение годографа Михайлова [1-5]:

  -начинается на положительной вещественной полуоси;

  -вращается против часовой стрелки относительно начала координат;

  -последовательно обходит 5 квадрантов.

  Следовательно анализируемая САУ устойчива.

  Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Михайлова, приведен в приложении 5.

  Критерий устойчивости Найквиста.

  Задача определения устойчивости замкнутой САУ базируется на анализе поведения годографа АФЧХ в комплексной плоскости.

  Исследуем устойчивость замкнутой САУ, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующее выражение:

  

  Пусть частотный диапазон анализа:

  

  Строим годограф АФЧХ разомкнутой САУ в комплексной плоскости:

  

  Анализ поведения годографа АФЧХ показывает, что замкнутая САУ устойчивая, т.к. при отсутствии положительных вещественных корней АФЧХ разомкнутой САУ не охватывает точку с координатами (-1,-j0).

  Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Найквиста, приведен в приложении 6.

  Выделение областей устойчивости в плоскости одного

  Задание: Определить допустимые вариации параметра К для системы, заданной следующей структурной схемой.

  Зададим выражения передаточных функций:

  

  

  Определим выражение комплексного коэффициента усиления К интегрирующего звена в цепи отрицательной обратной связи в следующем виде:

  

  Построим фигуративную линию комплексного коэффициента усиления при

  

  

  Определим точку пересечения фигуративной линии с вещественной положительной осью путем использования функций нахождения корней следующим образом:

  Переменная первого приближения решения:

  

  

  Результат получен с точностью до третьего знака, что задано конфигурацией MATHCAD.

  Дальнейшая штриховка фигуративной линии и выделение областей устойчивости выполняется согласно известным правилам [1-5].

  Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ в плоскости одного варьируемого параметра 7.

  Построение кривой переходного процесса.

  Решение задачи построения кривой переходного процесса основывается на известной взаимосвязи вещественной частотной характеристики и переходного процесса.

  Построим график кривой переходного процесса для следующей передаточной функции простейшего колебательного звена:

  

  Проанализируем график вещественной частотной характеристики для частотного диапазона w:=0..100

  

  Анализ показывает, что вещественная частотная характеристика постоянно имеет значения очень близкие к 0, начиная с частоты 30 рад/сек. Следовательно ограничимся рассмотрением именно этого частотного диапазона для построения кривой переходного процесса.

  Итак, частотный диапазон w:=0..30.

  Найдем значение вещественной части на нулевой частоте так как эта величина есть значение переходного процесса в установившемся режиме.

  

  Построим график вещественной части характеристики для последнего частотного диапазона:

  

  Опишем известную [1-5] взаимосвязь вещественной частотной характеристики и кривой переходного процесса:

  

  Зададим временной диапазон анализа:

  Последним этапом является непосредственное построение кривой переходного процесса

  

  Полный текст MATHCAD файла, реализующего построение кривой переходного процесса САУ, приведен в приложении 8.

  Похожие публикации:

  1. Как сделать маленькую табличку в ворде
  2. Выберите число модуль которого равен 1 9
  3. Выполняемая функция содержит макросы или элементы управления которым требуется поддержка макроязыка
  4. Где гаи минск
  Похожие публикации:

  1. Как в zoom можно писать на экране
  2. Как снять радиатор охлаждения ford mondeo 3
  3. Как увеличить мощность двигателя ваз 2107 инжектор
  4. Сколько весит задний диван volvo xc60