Как построить фазовый портрет в mathcad

Фазовый портрет для системы

Добавлено через 4 часа 12 минут
народ отзовитесь
как нарисовать фазовый портрет для системы диф.ур.?

Добавлено через 40 минут
нет никаких примеров рабочих?чтоб посмотреть и разобраться.гуглил ничего не нашел.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Построить фазовый портрет нелинейной системы
Y"(t)+2Y2(t)+Y(t)=0 Как построить фазовый портрет данной системы в маткаде?

Построить фазовый портрет
Помогите пожалуйста построить фазовый портрет. Делаю по примеру, но график не строит. У меня.

Построить фазовый портрет
Помогите пожалуйста построить фазовый портрет в Mathcad. Начальные условия можно менять. У меня.

Линейная система (фазовый портрет)
Не понимаю в чем ошибка, в векторном виде получилось, а через Рунге-Кутта никак. Помогите.

6755 / 4830 / 2034
Регистрация: 02.02.2014
Сообщений: 12,922

$Эксперт по математике/физике$

5184 / 3975 / 1379
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 11,991

Добавлено через 9 минут
archar, загляните в самый низ этой страницы в раздел «Похожие темы». Можете найти для себя много полезного.

Регистрация: 11.03.2015
Сообщений: 108

взглянул:
фазовый спектры этого сигнала MathCAD 1 123Костян 18.04.2015 22:29
MathCAD Построение ЛАЧХ для нелинейной системы из 5 звеньев MathCAD 1 nikki13 15.04.2015 13:00
MathCAD Модель Лотки — Вольтерра́ (Хищник-Жертва) фазовый портрет MathCAD 2 Alvum 10.11.2014 17:25
MathCAD Как правильно построить фазовый портрет (седло)? MathCAD 4 Alvum 09.11.2014 23:30
MathCAD Не строятся кривые на графике (фазовый портрет) MathCAD 4 Alvum 08.11.2014 20:27
MathCAD Графики для системы линейных уравнений MathCAD 16 pashok668 13.04.2014 21:48
MathCAD Почему амплитудный спектр остался одинаковым, а фазовый спектр изменился MathCAD 3 larkanik 24.12.2013 00:44
MathCAD Построить фазовый спектр и спектральную плотность.

Добавлено через 17 секунд
я тут все облазил,ничего конкретного не нашел.

Добавлено через 1 минуту
если 1 уравнение,то без проблем график строится.
по своей ситуации гайда не нашел.

Добавлено через 5 минут
у меня нет матрицы.
и начальные значения не знаю как записать.

Добавлено через 37 секунд
была б матрица,а так вообще не понимаю как построить.

Добавлено через 1 минуту
Krasme я читал эту ссылку.там нет примера для моей системы.

Построить фазовый портрет осциллятора

Доброго времени суток.
Подскажите пожалуйста как исправить ошибки: «Эта переменная не определена» и «Не могу понять этот синтаксис».
Уравнение вида:

Вот, что получается:

Заранее благодарен за помощь.
Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Как правильно построить фазовый портрет (седло)?
Судя по найденным корням характеристического уравнения и построенному векторному полю, имею тип.

Фазовый портрет динамической системы

До сих пор в этой главе в качестве примеров расчета динамических систем мы приводили графики траекторий на фазовой плоскости. Однако для надежного исследования фазового портрета необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории. В Mathcad можно реализовать эту задачу, например, в форме алгоритма, приведенного в листинге 11.10 для решения системы уравнений автокаталитической химической реакции с диффузией. Эта модель, называемая моделью брюсселятора, предложена в 1968 г. Лефевром и Пригожиным. Неизвестные функции отражают динамику концентрации промежуточных продуктов некоторой реальной химической реакции. Параметр модели в равен исходной концентрации катализатора.

Листании 11.10. Построение фазового портрета для модели брюсселятора

Предложенный алгоритм формирует из отдельных матриц решений системы ОДУ с разными начальными условиями объединенную матрицу и. Пары начальных условий задаются в первой строке листинга в виде матрицы v размера 2х10. Последнее означает построение десяти траекторий. Для того чтобы поменять количество траекторий, измените соответствующим образом размер этой матрицы. Затем (рис. 11.14) элементы матрицы и выводятся на график в виде отдельных точек. Отсутствие соединения точек линиями является недостатком алгоритма, но это плата за возможность представить в Mathcad несложным образом сразу большое количество траекторий на фазовой плоскости.

Рис. 11.14. Фазовый портрет брюсселятора при в=0.5 (листинг 11.10)

Как видно из рис. 11.14, все траектории, вышедшие из разных точек, асимптотически стремятся к одному и тому же аттрактору (1,0.5). Из теории динамических систем нам известно, что такой аттрактор называется узлом (с узлом мы уже встречались в примерах разд. 11.1). Конечно, в общем случае при анализе фазового портрета желательно «прощупать» большее число траекторий, задавая более широкий диапазон начальных условий. Не исключено, что в других областях фазовой плоскости траектории будут сходиться к другим аттракторам

Эволюцию фазового портрета брюсселятора можно наблюдать, проводя расчеты с различным параметром в. При его увеличении узел будет сначала постепенно смещаться в точку с координатами (1,в), пока не достигнет бифуркационного значения в=2. В этой точке происходит качественная перестройка портрета, выражающаяся в рождении предельного цикла. При дальнейшем увеличении в происходит лишь количественное изменение параметров этого цикла. Решение, полученное при в=2.5, показано на рис. 11.15.

Чтобы найти аттракторы динамической системы, как известно, нужно решить систему алгебраических уравнений, получающуюся из системы ОДУ заменой нулями их левых частей. Эти задачи также удобно решать средствами Mathcad (см. гл. 8). В частности, исследование зависимости фазового портрета от параметров системы ОДУ и поиск бифуркаций можно проводить методами продолжения (см. разд. «Метод продолжения по параметру» гл. 8).

Рис. 11.15. Фазовый портрет брюсселятора при в=2.5

Читатели, сталкивающиеся с расчетом динамических систем, несомненно оценят возможности Mathcad по построению фазовых портретов и исследованию бифуркаций. Возможно также, что они найдут лучшие программные решения этой задачи, чем алгоритм, предложенный в данном разделе автором.

Знаете ли Вы, почему «черные дыры» — фикция?
Согласно релятивистской мифологии, «чёрная дыра — это область в пространстве-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света (в том числе и кванты самого света). Граница этой области называется горизонтом событий, а её характерный размер — гравитационным радиусом. В простейшем случае сферически симметричной чёрной дыры он равен радиусу Шварцшильда».
На самом деле миф о черных дырах есть порождение мифа о фотоне — пушечном ядре. Этот миф родился еще в античные времена. Математическое развитие он получил в трудах Исаака Ньютона в виде корпускулярной теории света. Корпускуле света приписывалась масса. Из этого следовало, что при высоких ускорениях свободного падения возможен поворот траектории луча света вспять, по параболе, как это происходит с пушечным ядром в гравитационном поле Земли.
Отсюда родились сказки о «радиусе Шварцшильда», «черных дырах Хокинга» и прочих безудержных фантазиях пропагандистов релятивизма.
Впрочем, эти сказки несколько древнее. В 1795 году математик Пьер Симон Лаплас писал:
«Если бы диаметр светящейся звезды с той же плотностью, что и Земля, в 250 раз превосходил бы диаметр Солнца, то вследствие притяжения звезды ни один из испущенных ею лучей не смог бы дойти до нас; следовательно, не исключено, что самые большие из светящихся тел по этой причине являются невидимыми.» [цитата по Брагинский В.Б., Полнарёв А. Г. Удивительная гравитация. — М., Наука, 1985]
Однако, как выяснилось в 20-м веке, фотон не обладает массой и не может взаимодействовать с гравитационным полем как весомое вещество. Фотон — это квантованная электромагнитная волна, то есть даже не объект, а процесс. А процессы не могут иметь веса, так как они не являются вещественными объектами. Это всего-лишь движение некоторой среды. (сравните с аналогами: движение воды, движение воздуха, колебания почвы). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Как построить фазовый портрет в mathcad

Построить фазовый портрет осциллятора
Доброго времени суток. Подскажите пожалуйста как исправить ошибки: "Эта переменная не определена".

9.1.2. Фазовый портрет динамической системы MathCAD 12 руководство

Модели, основанные на задачах Коши для ОДУ, часто называют динамическими системами, подчеркивая, что, как правило, они содержат производные по времени t и описывают динамику некоторых параметров. Проблемы, связанные с динамическими системами, на самом деле весьма разнообразны и зачастую не сводятся к простому интегрированию ОДУ. Некоторые из них мы обозначим в данном разделе, отметив, что для изучения динамических систем центральным моментом является анализ фазовых портретов, т. е. решений, получающихся при выборе всевозможных начальных условий.

Решение ОДУ часто удобнее изображать не в виде графика у₀ (t), y₁(t), . , как на рис. 9.1, а в фазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждой из найденных функций. При таком построении графика аргумент t будет присутствовать на нем лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ (мы свели к ним в предыдущем разделе дифференциальное уравнение осциллятора второго порядка) фазовое пространство является координатной плоскостью, а решение представляет собой кривую, или, по-другому, траекторию, выходящую из точки, координаты которой равны начальным условиям (рис. 9.2). В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N-мерным. При N>3 наглядность теряется, и для визуализации фазового пространства приходится строить его различные проекции или прибегать к другим специальным приемам (например, отображению Пуанкаре).

Рис. 9.2. Решение уравнения w 2 у’ ‘+βу’+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9.1)

Как правило, решение задач Коши для ОДУ и их систем — задача хорошо разработанная и с вычислительной точки зрения довольно простая. На практике чаще встречаются другие, более сложные задачи, в частности, исследование поведения динамической системы в зависимости от начальных условий. При этом в большинстве случаев бывает необходимым изучить только асимптотическое решение ОДУ, т.е. y(t-> ∞ ) , называемое аттрактором. Очень наглядным образом можно визуализировать такую информацию на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько типов аттракторов, и для них можно построить четкую классификацию.

С одной стороны, каждое решение будет выходить из точки, координаты которой являются начальными условиями, но, оказывается, для большинства ОДУ целые семейства траекторий будут заканчиваться в одних и тех же аттракторах (стационарных точках или предельных циклах). Множество решений, вычисленное для всевозможных начальных условий, образует фазовый портрет динамической системы. С вычислительной точки зрения задача исследования фазового портрета часто сводится к обычному сканированию семейств решений ОДУ при разных начальных условиях.

Для рассматриваемого примера модели гармонического осциллятора имеется единственная стационарная точка (аттрактор), на которую «накручивается» решение, из каких бы начальных условий оно ни выходило. В теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом.

Дальнейшее усложнение задач анализа фазовых портретов связано с их зависимостью от параметров, входящих в систему ОДУ. В частности, при плавном изменении параметра модели может меняться расположение аттракторов на фазовой плоскости, а также могут возникать новые аттракторы и прекращать свое существование старые. В первом случае, при отсутствии особенностей, будет происходить простое перемещение аттракторов по фазовой плоскости (без изменения их типов и количества), а во втором — фазовый портрет динамической системы будет коренным образом перестраиваться. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации.

Поясним понятие бифуркации на примере той же модели осциллятора, которая зависит от двух параметров (ш и р). При р>о существует единственная стационарная точка типа фокуса (см. рис. 9.2), которая в точке бифуркации Р=о вырождается в аттрактор типа центр, характеризующийся тем, что решения ОДУ представляют собой циклы, совершаемые вокруг этой точки с амплитудой, которая существенно зависит от начальных условий (рис. 9.3). Для надежного исследования фазового портрета практически всегда необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.

Рис. 9.3. Решение уравнения со2-у’ ‘+у=0 для различных начальных условий (коллаж графиков)

Резюмируя содержание вводного раздела главы, перечислим еще раз типичные постановки задач, характерные для динамических систем:

решение одной задачи Коши для ОДУ;
исследование фазового портрета (поиск аттракторов);
отыскание зависимости положения аттракторов в фазовом пространстве от параметров модели и фиксация бифуркационных значений параметров.

В дальнейших разделах этой главы при рассказе о возможностях Mathcad мы будем в первую очередь описывать решение первой (базовой) задачи, для которой предусмотрен целый арсенал средств. А именно: вычислительный блок для решения ОДУ (см. разд. 9.2), несколько встроенных функций для решения систем ОДУ (см. разд. 9.3), в том числе жестких, которые не поддаются решению стандартными методами (см. разд. 9.4). Приемы, которые автор рекомендует в качестве идиом решения остальных задач, будут рассмотрены эпизодически, на конкретных примерах классических динамических систем вычислительной физики, химии и биологии (см. разд. 9.5 и 9.4.3), связанных с динамическими системами. В частности, программа для визуализации фазового портрета рассмотрена в конце главы, на примере модели брюсселятора (см. разд. 9.5.4). Сводка алгоритмов с рекомендациями по их применению в зависимости от типа задачи приведена конспективно, без детального разбора (см. разд. 9.3.4).

Получение фазового портрета линейной системы в mathcad

MATHCAD позволяет получить фазовые портреты исследуемой системы либо путем непосредственного решения дифференциального уравнения (4), без предварительного преобразования к виду (7), либо путем решения дифференциального уравнения (7).

Программа получения фазовых траекторий системы 2-го порядка путем решения дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид.

Зададим значения коэффициентов

Определим начальное значения для вектора y

Пусть система Рисунок 12 имеет нелинейность в виде петлевой гистерезисной релейной характеристики с зоной нечувствительности (Рисунок 11(в)). В этом случае, если

если , то

Приведем программу построения фазовых траекторий.

Зададим значения коэффициентов

Зададим начальное значения для вектора

Определим функцию D

Рисунок 16 – Фазовая траектория исследуемой нелинейной ститемы

В MATHCAD этот метод исследования нелинейных систем реализуется правильным заданием функции D. Программа расчетов совпадает с программой исследования системы на фазовой плоскости, только в этом случае необходимо выводить график зависимости y(t). Для рассматриваемой системы этот график имеет следующий вид.

Рисунок 17 – График переходного процесса Y(t)

Определим функцию D, задающую производную приведя дифференциальное уравнение 2-го порядка к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка

Найдем матрицу решения

Построим траекторию на фазовой плоскости, предполагая что первый столбец матрицы решения содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения, второй— содержит значения найденного решения, то есть y(t) и, наконец, третий столбецсодержит первые производные этого решения, то есть dy(t)/dt.

Рисунок 15 – Фазовая траектория для комплексных корней с отрицательными вещественными осями

десь изображена фазовая траектория для комплексных корней с отрицательными вещественными частями. Задавая различные коэффициенты и начальные условия можно получить все возможные фазовые траектории исследуемой системы.

2. Получение фазового портрета нелинейной системы в mathcad

В MATHCAD программа получения фазовых траекторий на фазовой плоскости путем непосредственного решения уравнений (14) имеет следующий вид.

Зададим значения коэффициентов

Зададим начальное значения для вектора y

Определим функцию D по 3-м линейным участкам нелинейной статической характеристики, задающую производную, приведя дифференциальное уравнение 2-го порядка к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка

Найдем матрицу решения

Построим траекторию на фазовой плоскости, предполагая что первый столбец матрицы решения

содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения, второй — содержит значения найденного решения, то есть y(t) и, наконец, третий столбецсодержит первые производные этого решения, то есть dy(t)/dt.

На графике линии переключения — штриховые линии. Задавая различные начальные условия можно получить все возможные фазовые траектории исследуемой нелинейной системы.

Рассмотренная нелинейная система была представлена как кусочно-линейная, так как для отдельных участков процесса система описывалась разными линейными дифференциальными уравнениями. Для исследования таких систем применяется метод припасовывания, который заключается в том, что линейные дифференциальные уравнения системы решаются отдельно для каждого участка, а затем правильно состыковываются. Правильная стыковка заключается в том, что конечные фазовые координаты предыдущего участка должны быть равны начальным условиям последующего. В этом случае в решении не будет разрыва.

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Решение ОДУ часто удобнее изображать не в виде графика у₀ (t), y₁(t),…, как на рис. 9.1, а в фазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждой из найденных функций. При таком построении графика аргумент t будет присутствовать на нем лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ (мы свели к ним в предыдущем разделе дифференциальное уравнение осциллятора второго порядка) фазовое пространство является координатной плоскостью, а решение представляет собой кривую, или, по-другому, траекторию, выходящую из точки, координаты которой равны начальным условиям (рис. 9.2). В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N-мерным. При N>3 наглядность теряется, и для визуализации фазового пространства приходится строить его различные проекции или прибегать к другим специальным приемам (например, отображению Пуанкаре).

Рис. 9.2. Решение уравнения w 2 у’ ‘+βу’+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9.1)

Как правило, решение задач Коши для ОДУ и их систем – задача хорошо разработанная и с вычислительной точки зрения довольно простая. На практике чаще встречаются другие, более сложные задачи, в частности, исследование поведения динамической системы в зависимости от начальных условий. При этом в большинстве случаев бывает необходимым изучить только асимптотическое решение ОДУ, т.е. y(t › ∞), называемое аттрактором. Очень наглядным образом можно визуализировать такую информацию на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько типов аттракторов, и для них можно построить четкую классификацию.

Примечание
Для рассматриваемого примера модели гармонического осциллятора имеется единственная стационарная точка (аттрактор), на которую «накручивается» решение, из каких бы начальных условий оно ни выходило. В теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом.

Дальнейшее усложнение задач анализа фазовых портретов связано с их зависимостью от параметров, входящих в систему ОДУ. В частности, при плавном изменении параметра модели может меняться расположение аттракторов на фазовой плоскости, а также могут возникать новые аттракторы и прекращать свое существование старые. В первом случае, при отсутствии особенностей, будет происходить простое перемещение аттракторов по фазовой плоскости (без изменения их типов и количества), а во втором – фазовый портрет динамической системы будет коренным образом перестраиваться. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации.

Поясним понятие бифуркации на примере той же модели осциллятора, которая зависит от двух параметров (ш и р). При р>0 существует единственная стационарная точка типа фокуса (см. рис. 9.2), которая в точке бифуркации Р=0 вырождается в аттрактор типа центр, характеризующийся тем, что решения ОДУ представляют собой циклы, совершаемые вокруг этой точки с амплитудой, которая существенно зависит от начальных условий (рис. 9.3). Для надежного исследования фазового портрета практически всегда необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.

Рис. 9.3. Решение уравнения со2-у’ ‘+у=0 для различных начальных условий (коллаж графиков)

решение одной задачи Коши для ОДУ;
исследование фазового портрета (поиск аттракторов);
отыскание зависимости положения аттракторов в фазовом пространстве от параметров модели и фиксация бифуркационных значений параметров.

Похожие публикации:

Какой символ надо ввести чтобы добавить несколько значений по осям на двумерном графике в mathcad
На сколько каналов можно подписаться в telegram
Почему в windows movie maker не показывает видео
Сколько стоит matlab

Как построить фазовый портрет в mathcad

Фазовый портрет для системы

Построить фазовый портрет осциллятора

Фазовый портрет динамической системы

Как построить фазовый портрет в mathcad

9.1.2. Фазовый портрет динамической системы MathCAD 12 руководство

Получение фазового портрета линейной системы в mathcad

2. Получение фазового портрета нелинейной системы в mathcad

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Добавить комментарий Отменить ответ