Задача Коши онлайн
Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.
Калькулятор задачи Коши
Примеры Очистить Ссылка
Загрузка изображения, подождите .
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
при заданных начальных условиях:
Установить калькулятор на свой сайт
При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .
Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:
удовлетворяющее начальным условиям:
Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:
Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:
Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :
Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :
Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:
Другие полезные разделы:
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
© Mathforyou 2023
Контакты: support@mathforyou.net
Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности
Решения дифференциального уравнения y’ = f(x,y) зависят от константы u, следовательно, представляют много решений данного уравнения. Хотелось бы выяснить условия на функцию f(x,y), при которых можно выделить конкретное решение этого уравнения, удовлетворяющее заранее заданным требованиям. Для уравнения первого порядка требования формулируются следующим образом.
Найти решения дифференциального уравнения: y’ = f(x,y) (1) ,
удовлетворяющие условиям
y(x0) = y0, (2)
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши — задачей Коши.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a1(x)y’ + a0(x)y = b(x) . Например, для y’-exp(x)=2*y это будет y’-2*y=exp(x) .
Определение . Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по y в области D, если для любых двух точек (x,y1), (x,y2) из этой области выполнено неравенство:
|f(x,y1) — f(x,y2)| ≤ L|y1 — y2|, (3)
где L- некоторая константа, не зависящая от x.
Теорема . (существования и единственности). Пусть в уравнении (1) y’ = f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости, непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица (3) по y. Тогда для любой точки (x0, y0)∈D существуют интервал (x0 — λ, x0 + λ) и функция y = φ(x) заданная на этом интервале так, что y = φ(x) есть решение уравнения, удовлетворяющее условию (2). Это решение единственно в том смысле, что если y = φ(x) есть решение уравнения (1) определенное на интервале (α, β), включающем в себя точку x0, и удовлетворяющее условию (2), то функции φ(x) и ф(x) совпадают там, где они обе определены.
Решение задачи Коши
Добрый вечер!
Прошу помощи в численном решении задачи Коши с начальными условиями.
1 2 3 4 5 6 7
restart; A := m*(eta - 1)*diff(T(eta)^2, eta$2) - 2*s*T(eta)^2 + F(eta) = 0; B := F(eta)^2*diff(F(eta), eta$2) + 3*F(eta)*diff(F(eta), eta)^2 - 24/T(eta)=0; m := (7*alpha + 4)/9; s := (2*alpha + 5)/9; alpha = 1/6; dsolve({A,B, 1/D(F)(0) = +0, F(0) = 0, T(0) = 0}, {F(eta), T(eta)});
Задавал в команде dsolve опцию численного решения, но результат, например значение F(1) получить не удается. Программа выдает ошибки.
Буду благодарен за помощь в решении.
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Найти решение задачи Коши
Это пример: 🙂 Найти решение задачи Коши Почему-то решение не находится (( Maple 17.
Решение задачи Коши — ошибка
Ввожу пример из методички, а выдает ошибку Error, (in dsolve/numeric/process_input) indication of.
Найти численное решение задачи Коши
Здравствуйте! В общем,задача следующая: "Найти численное решение задачи Коши y(0) = 0,y'(0) = 1.
Приближенное решение в Maple задачи Коши (ряд Тейлора)
Помогите пожалуйста решить пример. Найти приближенное решение задачи Коши y’=x2+y2, y(0)=0, до.
1640 / 1492 / 494
Регистрация: 13.09.2015
Сообщений: 5,184
alexizo, во-первых, вы пропустили двоеточие при присваивании alpha; во-вторых, не видно, чтобы вы задали опцию численного решения. И что за начальное условие 1/D(F)(0) = +0?
Регистрация: 30.01.2021
Сообщений: 2
1. Действительно упустил двоеточие
2. Численно решаю так:
1 2 3 4 5 6 7 8
restart; A := m*(eta - 1)*diff(T(eta)^2, eta$2) - 2*s*T(eta)^2 + F(eta) = 0; B := F(eta)^2*diff(F(eta), eta$2) + 3*F(eta)*diff(F(eta), eta)^2 - 24/T(eta)=0; m := (7*alpha + 4)/9; s := (2*alpha + 5)/9; alpha:= 1/6; res:=dsolve({A,B, 1/F'(0)=0, F(0) = 0, T(0) = 0},numeric, {F(eta), T(eta)}); res1:=res(1);
получаю Error, (in DEtools/convertsys) invalid specification of initial conditions
3. Начальное условие задал так, как написано в задаче, которую пытаюсь решить (вложение). Видимо не корректно и достаточно просто 0. Скорректировал.
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний струны
Может кто помочь с задачей? Найдите решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний.
Решение задачи Коши
Всем привет, подскажите как решить данную задачу: 1. Приведение дифференциального уравнения к.
Решение задачи Коши
Всем привет,кто может,помогите с этой задачей: 1. Приведение дифференциального уравнения к.
Решение задачи Коши
помогите, пожалуйста, решить задачу Коши в матлаб y»+asiny=0, x, y'(0)=1, y'(0)=0 a=1,2,3,4,5.
Решение задачи Коши
Доброго времени дня! Перерыл форум, но там и не нашел решения подобной системы для задачи Коши.
Решение задачи Коши
Как вычислить С1 и решить задачу, и показать решение на графике? Помогите, пожалуйста
IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2017
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТЫ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА
Межаков А.В. 1
1 Белгородский государственный национальный исследовательский университет
Работа в формате PDF
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.
Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:
Пусть дано дифференциальное уравнение y′=f(x,y) и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.
Методы Рунге-Кутты – важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (MATHCAD, MAPLE, MATLAB) стандартная схема четвёртого порядка.
Рассмотрим задачу Коши: y′=f(x,y), y(x0)=y0. Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
4. k4=f(xn+h, yn+h·k3), где h – величина шага сетки по x.
Пример. Вычислить методом Рунге-Кутты интеграл дифференциального уравнения y=x 2 -3y 2 при начальном условии y(0)=1 на отрезке x=[0, 0.5] с шагом интегрирования h=0.1.
Решение. Вычислим y1. Для этого сначала последовательно вычисляем kj:
Аналогично вычисляются последующие приближения (табл.1).
Таблица 1. Приближения Рунге-Кутты четвёртого порядка