Документация
Эта тема содержит введение в создание матриц и выполнение основных матричных вычислений в MATLAB ® .
Среда MATLAB использует термин матрица , чтобы указать на переменное, содержащее вещественные или комплексные числа, расположенные в двумерной сетке. Массив является, в более общем плане, вектором, матрицей или более высокой размерной сеткой чисел. Все массивы в MATLAB являются прямоугольными, в том смысле, что векторы компонента по любому измерению являются всеми одинаковыми длина. Математические операции, заданные на матрицах, являются предметом линейной алгебры.
Создание матриц
MATLAB имеет много функций, которые создают различные виды матриц. Например, можно создать симметрическую матрицу с записями на основе треугольника Паскаля:
A = pascal(3)
A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6
Или, можно создать несимметричную матрицу магического квадрата , которая имеет равные суммы строки и столбца:
B = magic(3)
B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2
Другим примером является 3 2 прямоугольная матрица случайных целых чисел. В этом случае первый вход к randi описывает область значений возможных значений для целых чисел, и вторые два входных параметров описывают количество строк и столбцов.
C = randi(10,3,2)
C = 9 10 10 7 2 1
Вектор-столбцом является m-by-1 матрица, вектор-строка является 1 n матрицей, и скаляр является матрицей 1 на 1. Чтобы задать матрицу вручную, используйте квадратные скобки [ ] обозначить начало и конец массива. В скобках используйте точку с запятой ; обозначить конец строки. В случае скаляра (матрица 1 на 1), не требуются скобки. Например, эти операторы производят вектор-столбец, вектор-строку и скаляр:
u = [3; 1; 4] v = [2 0 -1] s = 7
u = 3 1 4 v = 2 0 -1 s = 7
Для получения дополнительной информации о создании и работе с матрицами, смотрите Создание, конкатенацию и расширение матрицы.
Сложение и вычитание матриц
Сложение и вычитание матриц и массивов выполняются поэлементно или поэлементные . Например, добавление A к B и затем вычитание A от результата восстанавливает B :
X = A + B
X = 9 2 7 4 7 10 5 12 8
Y = X - A
Y = 8 1 6 3 5 7 4 9 2
Сложение и вычитание требуют, чтобы обе матрицы имели совместимые размерности. Если размерности несовместимы, ошибка заканчивается:
X = A + C
Error using + Matrix dimensions must agree.
Для получения дополнительной информации см. Массив по сравнению Матричные операции.
Векторные произведения и транспонирование
Вектор-строка и вектор-столбец той же длины могут быть умножены в любом порядке. Результатом является или скаляр, названный скалярным произведением , или матрица, названная векторным произведением :
u = [3; 1; 4]; v = [2 0 -1]; x = v*u
x = 2
X = u*v
X = 6 0 -3 2 0 -1 8 0 -4
Для действительных матриц транспонировать операция обменивается a i j и a j i. Для комплексных матриц другой фактор состоит в том, взять ли сопряженное комплексное число комплексных записей в массиве, чтобы сформировать комплексное сопряженное транспонирование . MATLAB использует оператор апострофа ( ‘ ) выполнять комплексное сопряженное транспонирование и оператор точечного апострофа ( .’ ) транспонировать без спряжения. Для матриц, содержащих все действительные элементы, эти два оператора возвращают тот же результат.
Матрица в качестве примера A = pascal(3) симметрично , таким образом , A’ равно A . Однако B = magic(3) не симметрично, таким образом , B’ отразили элементы по основной диагонали:
B = magic(3)
B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2
X = B'
X = 8 3 4 1 5 9 6 7 2
Для векторов перемещение превращает вектор-строку в вектор-столбец (и наоборот):
x = v' x = 2 0 -1
Если x и y оба действительные вектор-столбцы, затем продукт x*y не задан, но эти два продукта
приведите к тому же скалярному результату. Это количество используется так часто, оно имеет три различных имени: скалярное произведение , скалярное произведение или скалярное произведение . Существует даже специализированная функция для названных скалярных произведений dot .
Для комплексного вектора или матрицы, z , количество z’ не только транспонирует вектор или матрицу, но также и преобразует каждый комплексный элемент в его сопряженное комплексное число. Таким образом, знак мнимой части каждого комплексного элемента изменения. Например, рассмотрите комплексную матрицу
z = [1+2i 7-3i 3+4i; 6-2i 9i 4+7i]
z = 1.0000 + 2.0000i 7.0000 - 3.0000i 3.0000 + 4.0000i 6.0000 - 2.0000i 0.0000 + 9.0000i 4.0000 + 7.0000i
Комплексное сопряженное транспонирование z :
ans = 1.0000 - 2.0000i 6.0000 + 2.0000i 7.0000 + 3.0000i 0.0000 - 9.0000i 3.0000 - 4.0000i 4.0000 - 7.0000i
Неспрягаемый комплекс транспонирует, где комплексная часть каждого элемента сохраняет свой знак, обозначается z.’ :
ans = 1.0000 + 2.0000i 6.0000 - 2.0000i 7.0000 - 3.0000i 0.0000 + 9.0000i 3.0000 + 4.0000i 4.0000 + 7.0000i
Для комплексных векторов, эти два скалярных произведения x’*y и y’*x сопряженные комплексные числа друг друга и скалярное произведение x’*x из комплексного вектора с собой действительно.
Умножение матриц
Умножение матриц задано способом, который отражает состав базовых линейных преобразований и позволяет компактное представление систем одновременных линейных уравнений. Матричное произведение C = AB задан, когда размерность столбца A равна размерности строки B, или когда один из них является скаляром. Если A является m-by-p, и B является p-by-n, их продукт, C является m-by-n. Продукт может на самом деле быть задан с помощью MATLAB for циклы, colon обозначение и векторные скалярные произведения:
A = pascal(3); B = magic(3); m = 3; n = 3; for i = 1:m for j = 1:n C(i,j) = A(i,:)*B(:,j); end end
MATLAB использует звездочку, чтобы обозначить умножение матриц, как в C = A*B . Умножение матриц не является коммутативным; то есть, A*B обычно не равно B*A :
X = A*B
X = 15 15 15 26 38 26 41 70 39
Y = B*A
Y = 15 28 47 15 34 60 15 28 43
Матрица A может быть умножена справа вектор-столбцом и слева вектором-строкой:
u = [3; 1; 4]; x = A*u
x = 8 17 30
v = [2 0 -1]; y = v*B
y = 12 -7 10
Прямоугольные умножения матриц должны удовлетворить условиям совместимости размерности. Начиная с A имеет размер 3х3 и C 3 2, можно умножить их, чтобы добраться 3 2 результат (общие внутренние отмены размерности):
X = A*C
X = 24 17 47 42 79 77
Однако умножение не работает в обратном порядке:
Y = C*A
Error using * Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns in the first matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform elementwise multiplication, use '.*'.
Можно умножить что-либо со скаляром:
s = 10; w = s*y
w = 120 -70 100
Когда вы умножаете массив на скаляр, скаляр неявно расширяется, чтобы быть одного размера с другим входом. Это часто упоминается как скалярное расширение .
Единичная матрица
Общепринятое математическое обозначение использует прописную букву I, чтобы обозначить единичные матрицы, матрицы различных размеров с единицами на основной диагонали и нулях в другом месте. Эти матрицы имеют свойство, что A I = A и I A = A каждый раз, когда размерности совместимы.
Исходная версия MATLAB не могла использовать I с этой целью, потому что это не различало прописные и строчные буквы, и i уже служил индексом и как комплексной единицей. Таким образом, английская игра слов языка была введена. Функция
eye(m,n)
возвращает m-by-n прямоугольная единичная матрица и eye(n) возвращает n-by-n квадратная единичная матрица.
Обращение матриц
Если матричный A является квадратным и несингулярным (ненулевой определитель), затем уравнения A X = I и X A =, I имеет то же решение X. Это решение называется инверсией A и обозначается A -1 . inv функционируйте и выражение A^-1 оба вычисляют обратную матрицу.
A = pascal(3)
A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6
X = inv(A)
X = 3.0000 -3.0000 1.0000 -3.0000 5.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000
ans = 1.0000 0 0 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
Определитель , вычисленный det мера масштабного коэффициента линейного преобразования, описанного матрицей. Когда определитель ниже нуля, матрица сингулярна , и никакая инверсия не существует.
d = det(A)
d = 1
Некоторые матрицы почти сингулярны , и несмотря на то, что обратная матрица существует, вычисление восприимчиво к числовым ошибкам. cond функция вычисляет число обусловленности для инверсии , которая дает индикацию относительно точности результатов матричной инверсии. Число обусловленности лежит в диапазоне от 1 для численно устойчивой матрицы к Inf для сингулярной матрицы.
c = cond(A)
c = 61.9839
Редко необходимо сформировать явную инверсию матрицы. Частое неправильное употребление inv возникает при решении системы линейных уравнений A x = b . Лучший способ решить это уравнение, с точки зрения и времени выполнения и числовой точности, состоит в том, чтобы использовать матричный оператор обратной косой черты x = A\b . Смотрите mldivide для получения дополнительной информации.
Продукт тензора Кронекера
Кронекеров продукт, kron(X,Y) , из двух матриц большая матрица, сформированная из всех возможных продуктов элементов X с теми из Y . Если X m-by-n и Y p-by-q, затем kron(X,Y) mp-by-nq. Элементы располагаются таким образом что каждый элемент X умножается на целый матричный Y :
[X(1,1)*Y X(1,2)*Y . . . X(1,n)*Y . . . X(m,1)*Y X(m,2)*Y . . . X(m,n)*Y]
Кронекеров продукт часто используется с матрицами нулей и единиц, чтобы создать повторенные копии маленьких матриц. Например, если X матрица 2 на 2
X = [1 2 3 4]
и I = eye(2,2) единичная матрица 2 на 2, затем:
kron(X,I)
ans = 1 0 2 0 0 1 0 2 3 0 4 0 0 3 0 4
kron(I,X)
ans = 1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 1 2 0 0 3 4
Кроме kron , некоторые другие функции, которые полезны, чтобы реплицировать массивы, repmat , repelem , и blkdiag .
Векторные и матричные нормы
‖ x ‖ p = ( ∑ | x i | p ) 1 p ,
вычисляется norm(x,p) . Эта операция задана для любого значения p> 1, но наиболее распространенные значения p равняются 1, 2, и ∞. Значением по умолчанию является p = 2, который соответствует Евклидовой длине или векторной величине :
v = [2 0 -1]; [norm(v,1) norm(v) norm(v,inf)]
ans = 3.0000 2.2361 2.0000
‖ A ‖ p = max x ‖ A x ‖ p ‖ x ‖ p ,
может быть вычислен для p = 1, 2, и ∞ norm(A,p) . Снова, значением по умолчанию является p = 2:
A = pascal(3); [norm(A,1) norm(A) norm(A,inf)]
ans = 10.0000 7.8730 10.0000
В случаях, где вы хотите вычислить норму каждой строки или столбца матрицы, можно использовать vecnorm :
vecnorm(A)
ans = 1.7321 3.7417 6.7823
Используя многопоточное вычисление с функциями линейной алгебры
MATLAB поддерживает многопоточный расчет во многой линейной алгебре и поэлементных числовых функциях. Эти функции автоматически выполняются на нескольких потоках. Для функции или выражения, чтобы выполниться быстрее на нескольких центральных процессорах, много условий должны быть верными:
- Функция выполняет операции, что легко раздел в разделы, которые выполняются одновременно. Эти разделы должны смочь выполниться с небольшой связью между процессами. Они должны потребовать немногих последовательных операций.
- Размер данных является достаточно большим так, чтобы любые преимущества параллельного выполнения перевесили время, требуемое разделить данные и управлять отдельными потоками выполнения. Например, большинство функций убыстряется только, когда массив содержит несколько тысяч элементов или больше.
- Операция не ограничена памятью; время вычислений не во власти времени доступа к памяти. Как правило сложные функции ускоряют больше, чем простые функции.
Матрица умножает (X*Y) и матричная степень (X^p) операторы показывают значительное увеличение скорости на больших массивах с двойной точностью (порядка 10 000 элементов). Функции анализа матрицы det , rcond , hess , и expm также покажите значительное увеличение скорости на больших массивах с двойной точностью.
Похожие темы
- Системы линейных уравнений
- Факторизации
- Собственные значения
- Сингулярные значения
Документация MATLAB
Поддержка
- MATLAB Answers
- Помощь в установке
- Отчеты об ошибках
- Требования к продукту
- Загрузка программного обеспечения
© 1994-2021 The MathWorks, Inc.
- Условия использования
- Патенты
- Торговые марки
- Список благодарностей
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте
Войти
Памятка переводчика
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.
Курс Matlab. Часть 1 — Матричные операции
Matlab — пакет прикладных программ для проведения вычислений и одноименный язык программирования. Изначально эта программа развивалась именно как ПО для работы с матрицами (облегчения машинного решения матричных уравнений) — Matrix Laboratory.
Что нужно знать новичку.
Как задать матрицу в матлаб?
>> a = [2 1 3; 0 2 6; 9 7 8] a = 2 1 3 0 2 6 9 7 8
Указанная команда объявляет матрицу 3 на 3. Матрица (массив — матрица с одной строкой) объявляется при помощи квадратных скобок, строки разделяются точкой с запятой.
Обратите внимание, что если ставить в конце строки точку с запятой вывода в консоль не будет.
>> a = [2 1 3; 0 2 6; 9 7 8];
Для сложения, вычитания матриц используют + и —
Для поэлементного сложения .+
поэлементного умножения .* и т.д.
Как умножить (разделить) матрици?
Умножать матрици очень просто. Для это воспользуйтесь обычным оператором *
>> a = [1 2; 3 4] a = 1 2 3 4 >> b = [5 6; 7 8] b = 5 6 7 8 >> a * b ans = 19 22 43 50
Для работы с матрицами предусмотрены операции левого и правого деления (ведь в случае матриц от перемены мест многое меняется).
Для деления матриц вы можете использовать слэши или же умножение матриц:
A\B = inv(A) * B; A/B = A * inv(B);
Пример для матриц объявленных выше:
>> a \ b ans = -3 -4 4 5 >> a / b ans = 3.0000 -2.0000 2.0000 -1.0000
Логические операции для матриц
В матлаб есть возможность использовать логические операции для матриц. При этом все что не ноль — true.
Оперция или:
Обозначается вертикальной чертой или or(a,b)
>> a = [0 1; 0 2] a = 0 1 0 2 >> b = [9 0; 0 19] b = 9 0 0 19 >> a | b ans = 1 1 0 1
Операция И:
Обозначается амперсандом или функцией and(a,b)
>> a & b ans = 0 0 0 1
>> not(a) ans = 1 0 1 0
>> xor(a,b) ans = 1 1 0 0
Как найти элементы в массиве?
Поиск элементов по условию:
>> c = [3 2 -1 0 6]; >> ch=find(c<=2) ch = 1 2 5
Выведены номера элементов. Т.е. первый, второй и пятый больше или равны двум.
Напомню, что массивы в матлаб нумеруются с единицы.
Как же получить элементы по номерам?
>> ca=c(ch) ca = 3 2 6
Проверка массивов на соответствие условию.
Если хотя бы один элемент удовлетворяет условию — возвращена будет единица.
>> c1 = any(c<=5) c1 = 1
Все элементы удовлетворяют условию:
>> c2 = all(c>7) c2 = 1
Обращение к участкам матрицы
Выбираем строки со второй по третью, столбцы — с первого по третий.
>> a = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16] a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 >> a( 2:3 , 1:3 ) ans = 5 6 7 9 10 11
Как объединить матрицы?
>> a = [1 2 3] a = 1 2 3 >> b = [4 5 6] b = 4 5 6 >> c = [a b] c = 1 2 3 4 5 6
click fraud protection
Способность создавать матрицы и манипулировать ими — фундаментальный навык для любого, кто работает с данными и выполняет математические вычисления. MATLAB, эффективный язык программирования, популярный в науке и технике, предлагает надежные возможности для работы с матрицами.
В этой статье мы шаг за шагом проведем вас через процесс создания матрицы, независимо от того, являетесь ли вы новичком или уже имеете некоторый опыт работы с MATLAB. Создание матрицы позволяет удобно и эффективно организовывать и структурировать данные, позволяя выполнять различные операции и анализ данных.
Как создать матрицу в MATLAB?
MATLAB предоставляет нам несколько методов для создания матрицы, некоторые из этих методов приведены ниже:
- Использование функции Zeros()
- Использование функции one()
- Использование функции magic()
- Использование функции глаза()
- Использование функции rand()
Все эти методы являются встроенными функциями MATLAB, используемыми для создания матрицы. Теперь мы изучим все эти функции для создания матрицы в MATLAB.
1: Использование функции Zeros()
нули() — это встроенная функция MATLAB, используемая для создания матрицы любого размера, состоящей из нулевых элементов.
Например, в следующем примере будет создана матрица размера 2×3, состоящая из нулевых элементов в MATLAB.
2: Использование функции one()
Пользователи MATLAB также могут использовать те() функция для создания матрицы любого размера, имеющей все элементы 1. Например, матрица 5×3, все элементы которой равны 1, будет создана с использованием приведенного ниже кода.
А = единицы ( 5 , 3 )
3: Использование функции magic()
встроенный в MATLAB магия() Функцию также можно использовать для создания квадратной матрицы размера n, в которой все элементы лежат между 1 и н сила 2. Где n должно быть больше или равно 3.
Например, следующий код создаст квадратную матрицу 3×3 в MATLAB.
4: Использование функции глаза()
Eye () — это встроенная в MATLAB функция, которая позволяет нам создать квадратную единичную матрицу размера n, имеющую все диагональные элементы с единицами и недиагональные нули. Например:
5: Использование функции rand()
ранд() — это встроенная в MATLAB функция, которая позволяет нам создать матрицу любого заданного размера, в которой все случайные числа лежат между 0 и 1.
Например, используя приведенный ниже код, вы сможете создать матрицу размером 3×4, состоящую из случайных чисел.
Заключение
Матрицы являются строительными блоками MATLAB и могут быть созданы с использованием встроенных функций MATLAB, включая нули(), единицы(), магия(), глаз(), и ранд(). Все эти функции используются для создания матрицы, состоящей из различных элементов в соответствии с их функциональностью. В этом руководстве обсуждалось, как создать матрицу в MATLAB, используя несколько примеров.
click fraud protection
В MATLAB матрицы играют фундаментальную роль в хранении данных и управлении ими. Независимо от того, работаете ли вы с числовыми значениями, изображениями или сложными наборами данных, важно понимать, как создавать матрицы. В этой статье мы предоставим подробное руководство о том, как создать матрицу в MATLAB, охватывающее различные методы и приемы эффективного создания и инициализации матриц.
Как сделать матрицу в MATLAB
Матрицы обеспечивают структурированную основу для организации информации и упрощения математических операций. Они позволяют кратко и просто реализовать различные алгоритмы и модели. Ниже приведены некоторые распространенные способы создания матрицы в MATLAB:
Способ 1: ручной ввод элементов матрицы
Один из способов создать матрицу в MATLAB — вручную ввести ее элементы. Вы можете использовать квадратные скобки [ ], чтобы заключить элементы и разделить их запятыми или пробелами. Кроме того, точка с запятой может использоваться для обозначения начала новой строки, ниже приведен пример в этом отношении:
матрица = [ 1 , 2 , 7 ; 4 , 8 , 6 ; 0 , 6 , 3 ] ;
дисп ( матрица ) ;
В этом примере мы создаем матрицу 3×3, вводя элементы вручную. дисп() Функция используется для отображения матрицы в командном окне MATLAB.
Метод 2: использование специальных функций для создания матриц
MATLAB предоставляет несколько функций для создания специальных матриц с предопределенными свойствами. Эти функции предлагают удобный способ создания матриц без указания каждого элемента вручную. Некоторые часто используемые функции включают в себя:
те(): Для создания матрицы со всеми единицами можно реализовать эту функцию.
глаз(): Эта функция может быть реализована для создания матрицы идентичности.
нули(): Для создания матрицы со всеми нулями можно реализовать эту функцию.
ранд(): Для создания матрицы со случайными значениями можно реализовать эту функцию.
Вот пример с использованием нули() функция для генерации матрицы с нулями:
матрица = нули ( 4 , 4 ) ;
дисп ( матрица ) ;
В этом случае мы используем нули() Функция для создания матрицы 4×4, заполненной нулями.
Метод 3: использование диапазонов и шаблонов для создания матриц
MATLAB предоставляет функции для создания матриц с определенными диапазонами и шаблонами. Эти функции позволяют создавать матрицы с регулярно расположенными значениями или определенными шаблонами. Некоторые часто используемые функции включают в себя:
линспейс(): Создает матрицу с линейно расположенными значениями.
двоеточие(): создает матрицу с указанным диапазоном значений.
репмат (): Создает матрицу путем повторения заданной матрицы или массива.
Вот пример с использованием линспейс() функция, которая генерирует матрицу строк со значениями от 1 до 5:
матрица = линейное пространство ( 1 , 5 , 5 ) ;
дисп ( матрица ) ;
В этом примере мы используем линспейс() функция для создания вектора-строки со значениями в диапазоне от 1 до 5.
Заключение
Для эффективного хранения и обработки данных необходимо создать матрицы MATLAB. Используя ручной ввод, специальные функции создания матриц и функции для создания матриц с определенными диапазонами и шаблонами, вы можете создавать матрицы, адаптированные к вашим конкретным потребностям. Понимание этих методов позволит вам легко обрабатывать различные типы данных и выполнять сложные операции.