MAPLE : Проблема решения ОДУ схемы RLC с входной функцией Дирака.
Я пытаюсь решить переходную характеристику базовой схемы RLC (последовательной) с ODE на основе тока i (t) в цепи. Цепь управляется функцией Heaviside(t) (дроссель напряжения равен 1 В), поэтому в ODE вторым элементом является функция Дирака ( diff(Heaviside(t),t) .
Как следствие, ОДУ имеет следующий вид (L — индуктивность, R — резистор, C — емкость):
L diff(i(t), t, t) + R diff(i(t), t) + i(t)/C = Dirac(t) потому что diff(Heaviside(t), t) = Dirac(t)
Начальные условия следующие: init_cond := D(i)(0) = 1, i(0) = 0.
Значения компонентов: R = 2, L = 1, C = 1/10 . Maple возвращает следующее решение:
i := exp(-t)*sin(3*t)/6 + exp(-t)*sin(3*t)*Heaviside(t)/3 Проблема касается первого члена:
exp(-t)*sin(3*t)/6
чего здесь быть не должно. Почему Maple добавляет этот термин? Может я что-то не так сделал?
Когда я решаю это уравнение с помощью Mathematica, я получаю только это: exp(-t)*sin(3*t)*Heaviside(t)/3 . Моделирование с помощью LTSPICE дает тот же результат, что и Mathematica. Если я использую Modelica, это то же самое, что Mathematice. Поэтому я думаю, что Maple немного сложнее с Dirac. Я прав?
Заранее спасибо за помощь 🙂
PS: код, который я использовал, находится здесь:
restart; with(plots); with(plottools);with(DEtools, firint, intfactor, mutest, odeadvisor); param1 := ; RLCi := L*diff(i(t), t, t) + R*diff(i(t), t) + i(t)/C = Dirac(t); init_cond := D(i)(0) = 1, i(0) = 0;
sol_i_an1 := dsolve(subs(param1, ), i(t)); Pascal77 8 Фев 2021 в 21:36
2 ответа
Вы даете начальное условие в точке, где решение не определено. Таким образом, решатель должен решить, как интерпретировать условие. Maple, кажется, интерпретирует это как ограничение слева, в то время как другие принимают это как ограничение справа.
В пределе справа начальное условие и влияние дельты Дирака компенсируются, так что вы получаете ноль на отрицательной полуоси. С другой стороны, если предел слева отличен от нуля, то функция на отрицательной полуоси не может быть нулевой функцией.
Таким образом, в целом, если вы форсируете начальное условие с помощью дельты Дирака и форсинга Хевисайда, вам не нужно задавать явные начальные условия. Но прочитайте документацию о том, какие предположения реализуются в этом случае или как закодировать i(t)=0 для t
Lutz Lehmann 9 Фев 2021 в 15:41
Хорошо, большое спасибо за ваш ответ. Я попытаюсь переопределить свои начальные условия. Самому найти было не просто.
10 Фев 2021 в 19:15
restart; _EnvUseHeavisideAsUnitStep; # not defined _EnvUseHeavisideAsUnitStep Heaviside(0); undefined param1 := : RLCi := L*diff(i(t), t, t) + R*diff(i(t), t) + i(t)/C = Dirac(t): init_cond := D(i)(0) = 1, i(0) = 0: dsolve(subs(param1, ), i(t)); i(t) = 1/6*exp(-t)*sin(3*t) +1/3*exp(-t)*sin(3*t)*Heaviside(t) _EnvUseHeavisideAsUnitStep:=true: forget(int); # clear remember table Heaviside(0); 1 dsolve(subs(param1, ), i(t)); i(t) = 1/3*exp(-t)*sin(3*t) [править] Альтернатива для этого примера,
restart; param1 := : RLCi := L*diff(i(t), t, t) + R*diff(i(t), t) + i(t)/C = Dirac(t): init_cond := D(i)(0) = 1, i(0) = 0: Heaviside(0):=1: dsolve(subs(param1, ), i(t)); i(t) = 1/3*exp(-t)*sin(3*t) acer 10 Фев 2021 в 21:38
Спасибо за ваш ответ. Это работает! Инструкция «_EnvUseHeavisideAsUnitStep:=true» мне была неизвестна. То же самое было и с «забыть (int)». Я копаю это. Большое спасибо.
10 Фев 2021 в 19:18
Хорошо. Что касается «_EnvUseHeavisideAsUnitStep:=true», я нашел некоторые пояснения на веб-сайте справки кленового листа. Он переопределяет функцию Хевисайда, чтобы соответствовать моей цели.
10 Фев 2021 в 19:28
Что касается функции «забыть()», я нашел это в Stackoverflow: «Все вызовы функции «забыть()» в коде предназначены только для того, чтобы попытаться очистить ранее сохраненные результаты». Итак, что такое инт?
10 Фев 2021 в 19:37
Да, на странице справки для команды Heaviside есть некоторая информация. Команда int выполняет интеграцию и вызывается dsolve в вашем примере. Вызов forget должен очистить ранее сохраненный результат int («запоминание»), который я сделал, чтобы справиться с тем фактом, что я ранее вызывал dsolve на тех же входных данных — но без установки EnvUseHeavisideAsUnitStep в true .
10 Фев 2021 в 21:06
Очень хороший. Большое спасибо за ваш информированный ответ 🙂 Просто для информации, эта проблема возникает в других математических программах, таких как MATLAB, в режиме syms, но не с числовыми решателями.
Функция Дирака
Доброго времени суток)
Подскажите, Пожалуйста, как доопределить функцию Дирака в 0 в Maple?
Заголовок сообщения: Re: Функция Дирака
Добавлено: 20 июн 2021, 17:38
| Последняя инстанция |
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9379
Cпасибо сказано: 121
Спасибо получено:
1723 раз в 1632 сообщениях
Очков репутации: 235
Susanna Gaybaryan писал(а):
Подскажите, Пожалуйста, как доопределить функцию Дирака в 0 в Maple?
Извините, что влезаю в тему. У меня нет никакого опыта работы с функцией Дирака в Маple. Но просто любопытно стало. Она что, определена там для для точек отличных от нуля? И зачем её доопределять в нуле? Нельзя ли как-то действовать по-другому?
12 дек 2019, 16:30
16 фев 2014, 23:53
06 май 2021, 15:24
21 июн 2016, 16:26
30 июн 2015, 00:21
04 июл 2015, 01:30
22 июл 2015, 11:22
18 янв 2015, 13:44
22 авг 2015, 09:16
19 дек 2018, 21:07
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Вы можете создать форум бесплатно PHPBB3 на Getbb.Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.ru
Русская поддержка phpBB
Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
Как построить функцию дирака в maple
Maple — программный пакет, система компьютерной алгебры. Является продуктом компании Waterloo Maple Inc., которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование.
Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль.
Файлы: 1 файл
Дипломная.docx
3.3. Работа со специальными функциями
3.3.1. Обзор специальных математических функций
Специальные математические функции являются решениями дифференциальных уравнений, которые невозможно представить через элементарные функции. Через такие функции нередко представляются и многие интегралы. Наиболее мощные из СКМ, например Maple, широко используют специальные математические функции в ходе символьных преобразований. Рассмотрим наиболее важные специальные математические функции.
Функция Эйри формирует пару линейно независимых решений дифференциального уравнения вида:
Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается формулой:
Дифференциальное уравнение вида
где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функция Бесселя. J(z) и J_(z) формирую т фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений (так называемые функции Бесселя первого рода):
где для гамма-функции используется следующее представление:
Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J(z), определяется как
и задает функции Бесселя второго рода Y(z).
Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя связаны следующим выражением:
Дифференциальное уравнение вида
где v — неотрицательная константа — называется модифицированным уравнением Бесселя, и его решения известны как модифицированные функции Бесселя I(z) и I_(z).K(z) — второе решение модифицированного уравнения Бесселя, линейно независимое отI(z). I(z) и K(z) определяют ся как:
Бета-функция определяется как:
где Г(z) — гамма-функция. Неполная бета-функция определяется интегральным выражением:
Эллиптические функции Якоби определяются интегралом:
В некоторых случаях при определении эллиптических функций используются модули k вместо параметра m. Они связаны выражением:
Полные эллиптические интегралы первого и второго рода определяются следующим образом:
Функция ошибки (интеграл вероятности) определяется следующим образом:
erf(X) — возвращает значение функции ошибки для каждого элемента вещественного массива X.
Остаточная функция ошибки задается соотношением:
Встречается и масштабированная остаточная функция ошибки. Эта функция определяется так:
eifcx(x) = е x² erfc(x)
Интегральная показательная функция определя ется следующим образом:
Гамма-функция определяется выражением:
Неполная гамма-функция определ яется как:
Перейдем к функциям, представляющим ортогональные полиномы. Функция Лежандраопределяется следующим образом:
где Рn(х) — полином Лежандра степени n, определяет ся так:
3.3.2. Специальные математические функции системы Maple 9.5
Maple 9.5 имеет практически полный набор специальных математических функций:
• AiryAi (Bi) — функции Эйри;
• AngerJ — функция Ангера;
• bernoulli — числа и полиномы Бернулли;
• Bessell (J, K, Y) — функции Бесселя разного рода;
• binomial — биноминальные коэффициенты;
• Chi — интегральный гиперболический косинус;
• Сi — интегральный косинус;
• csgn — комплексная сигнум-функция;
• Dirac — дельта-функция Дирака;
• Ei — экспоненциальный интеграл;
• EllipticCE (CK, CPi, Е, F, K, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;
• erf — функция ошибок;
• erfc — дополнительная функция ошибок;
• euler — числа и полиномы Эйлера;
• FresneIC (f, g, S) — интегралы Френеля;
• GaussAGM — арифметико-геометрическое среднее Гаусса;
• HankelH1 (Н2) — функции Ганкеля;
• harmonic — частичная сумма серии гармоник;
• Heaviside — функция Хевисайда;
• JacobiAM (CN, CD, CS, DN, DC, DS, NC, ND, NS, SC, SD, SN) — эллиптические функции Якоби;
• JacobiTheta1 (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби;
• JacobiZeta — зет-функция Якоби;
• KelvinBer (Bei, Her, Hei, Ker, Kei) — функции Кельвина;
• Li — логарифмический интеграл;
• InGAMMA — логарифмическая гамма-функция;
• MeijerG — G-функция Мейджера;
• pochhammer — символ Похгамера;
• polylog — полилогарифмическая функция;
• Shi — интегральный гиперболический синус;
• Si — интегральный синус;
• Ssi — синусный интеграл смещения;
• StruveH (L) — функции Струве;
• surd — неглавная корневая функция;
• LambertW — W-функция Ламберта;
• WeberE — Е-функция Вебера;
• WeierstrassP — Р-функция Вейерштрасса;
• WeierstrassPPrime — производная Р-функции Вейерштрасса;
• WeierstrassZeta — зета-функция Вейерштрасса;
• WeierstrassSigma — сигма-функция Вейерштрасса;
• Zeta — зета-функция Римана и Гурвица.
Ввиду большого числа специальных функций и наличия множества примеров их вычисления в справочной системе Maple 9.5, ограничимся несколькими примерами вычисления наиболее распространенных специальных функций. По их подобию читатель может опробовать в работе и другие специальные функции.
На рис. 3.13 даны примеры применения ряда специальных функций. Обратите особое внимание на первый пример. Он показывает, как средствами системы Maple задается определение функций Бесселя. Показано, что функции Бесселя являются решениями заданного на рис. 3.13 дифференциального уравнения второго порядка. Система Maple 9.5/10 способна вычислять производные и интегралы от специальных функций.
Рис. 3.13. Примеры применения специальных функций
Еще несколько примеров работы со специальными функциями представлено на рис. 3.14. Как видно из приведенных примеров, на экране монитора можно получить математически ориентированное представление специальных функций, обычно более предпочтительное, чем представление на Maple-языке или в текстовом формате. Записи функций при этом выглядят как в обычной математической литературе.
Рис. 3.14. Примеры работы со специальными математическими функциями
На рис. 3.14 показаны примеры разложения специальных функций в ряды и применения функции convert для их преобразования. Любопытно отметить, что в двух первых примерах рис. 3.14 вывод оказался иным, чем в предшествующих версиях Maple. Да и в них вывод для этих примеров отличался. Это говорит о непрерывной работе разработчиков над алгоритмами символьных вычислений и необходимости переработки примеров при переходе от одной версии Maple к другой.
3.3.3. Построение графиков специальных функций
Много информации о поведении специальных функций дает построение их графиков. На рис. 3.15 показано построение семейства графиков функций Бесселя BesselJ разного порядка и гамма-функции. Эти функции относятся к числу наиболее известных. Если читателя интересуют те или иные специальные функции, следует прежде всего построить и изучить их графики.
Рис. 3.15. Графики функций Бесселя и гамма-функции
3.3.4. Консультант по функциям
Математикам, серьезно работающим с функциями, большую помощь может оказать имеющийся в составе Maple 9.5 консультант по функциям, вводимый командой:
FunctionAdvisor(Topic, function, quiet)
Здесь: topics — строковый параметр, задающий вывод тематической информации, quiet — строковый параметр, указывающий на вывод вычислительных данных, Topic — задание темы и function — задание имени функции или класса функций.
Команда FunctionAdvisor() выводит правила применения консультанта по функциям (файл funcadv):
> FunctionAdvisor(); The usage is as follows:
> FunctionAdvisor( topic, function, . );
where ‘topic’ indicates the subject on which advice is required, ‘function’ is the name of a Maple function, and ‘. ‘ represents possible additional input depending on the ‘topic’ chosen. To list the possible topics:
> FunctionAdvisor( topics ); A short form usage,
with just the name of the function is also available and displays a summary of information about the function.
Следующие примеры показывают вывод определений функций Бесселя:
BesselI = Modified Bessel function of the first kind,
BesselJ = Bessel function of the first kind,
BesselK = Modified Bessel function of the second kind,
BesselY = Bessel function of the second kind
BesselJ = Bessel function of the first kind
В следующем примере выводится информация о представлении функции синуса в виде ряда, представленного суммой его членов:
Еще один пример показывает вывод интегрального представления синусного интеграла Френеля:
> FunctionAdvisor(integral form, FresnelS);
Представленные примеры дают представление лишь о малой части возможностей консультанта по функциям. С этим мощным средством получения информации о функциях можно дополнительно познакомиться по справке о нем, содержащей множество интересных примеров применения консультанта по функциям.
Maple его свойства и возможности
Maple — программный пакет, система компьютерной алгебры. Является продуктом компании Waterloo Maple Inc., которая с 1984 года выпускает программные продукты, ориентированные на сложные математические вычисления, визуализацию данных и моделирование. Система Maple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов.
Рисунок 1 Стандартные математические функции
Maple — типичная интегрированная система, которая объединяет в себе:
1) мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
2) редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
3) современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
4) мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
5) ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
6) численный и символьный процессоры;
7) систему диагностики;
8) библиотеки встроенных и дополнительных функций;
9) пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ [2].
Новые возможности системы Maple
Система Maple приобрела ряд новых возможностей. Кратко отметим их:
1) расширенная поддержка численных алгоритмов пакета программ NAG, в том числе при решении численных задач математического анализа и при решении дифференциальных уравнений;
2) новый обучающий курс User’s Tour, встроенный в ее справку;
3) существенно переработанные и обновленные пакеты функций;
4) ускоренные алгоритмы целочисленных вычислений (например, факториал числа 25000 вычисляется более чем на порядок быстрее, чем системой Maple предыдущей версии);
5) обширный набор новых алгоритмов решения дифференциальных уравнений, обеспечивающий дополнительную эффективность решения задач в области моделирования физических явлений и устройств;
6) выполненное впервые 100% успешное испытание при решении специальных тестовых задач, что является высшим достижением на рынке средств компьютерной математики;
7) усовершенствованные и новые алгоритмы реализации многих численных методов решения задач;
8) новые встроенные пакеты аппроксимации кривых CurveFitting, внешних вычислений ExternalCalling, решения линейных функциональных систем LinearFunctionalSystem, ортогональных рядов OrthogonalSeries, работы с полиномами PolynomialTools, решения уравнений SolveTools и поддержки вычислений с размерными величинами Units;
9) новый пакет для поддержки языка XML;
10) поддержка новейшего стандарта записи математической информации — языка MathML 2.0;
11) улучшение пользовательского интерфейса, в частности введение новой палитры ввода шаблонов векторов;
12) поддержка протокола TCP/IP, обеспечивающего динамический удаленный доступ к данным, например, для финансового анализа в реальном масштабе времени или данных о погоде;
13) дополнительные пакеты (Maple PowerTools™), доступные через Интернет, поддерживающие анализ методом конечных элементов (РЕМ), нелинейную оптимизацию и статистику, а также три новых пакета: вычисления для новичков, теоретическая физика и программирование;
14) возможность работы с курсом университетского математического образования, загружаемого через Интернет.
В сочетании с сохраненными возможностями предшествующей версии системы это дает новой версии Maple обширные возможности в эффективном решении широкого класса математических и научно-технических задач, а также задач в области образования.
1) вычисление сумм последовательностей;
2) вычисление произведений членов последовательностей;
3) вычисление производных;
4) вычисление интегралов;
5) разложение функций в ряд;
6) решение уравнений и неравенств;
7) нахождение сингулярных точек функций;
8) вычисление асимптотических разложений;
9) операции с полиномами;
10) аналитические операции;
11) решение СЛАУ;
12) решение дифференциальных уравнений;
13) численное решение дифференциальных уравнений;
14) возможности трехмерной и двумерной графики;
15) математические пакеты.
Необходимости работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, числовые значения элементарных функций, а также многих специальных функций и констант.
Система Maple предлагает различные способы представления и преобразования выражений, например, такие операции, как упрощение и разложение на множители алгебраических выражений и приведение их к различному виду. Систему Maple можно использовать для решения уравнений и систем алгебраических уравнений.
Maple имеет также множество мощных инструментальных средств для вычисления выражений с одной и несколькими переменными. Систему Maple можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов, умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), непрерывных или кусочно-непрерывных функций.
Система Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники. Вот некоторые из них:
— Эллиптическая интегральная функция ;
— Ступенчатая функция Хевисайда ;
— Бесселева и модифицированная бесселева функции.
Maple может вычислять пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к бесконечности, а также распознает неопределенные пределы.
В системе Maple можно решать множество обычных дифференциальных уравнений (ODE), а также дифференциальные уравнения в частных производных (PDE), в том числе задачи с начальными условиями (IVP), и задачи с граничными условиями (BVP).
Одним из наиболее часто используемых в системе Maple пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить собственные значения и собственные векторы, вычислять криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять множество различных типов разложения матриц.
Для технических применений в Maple включены справочники физических констант и единицы физических величин с автоматическим пересчетом формул[3].
Дельта-функция Дирака — Dirac delta function
В математика, то Дельта-функция Дирака ( δ функция) это обобщенная функция или же распределение введен физиком Поль Дирак. Он используется для моделирования плотности идеализированного точечная масса или же точечный заряд как функция равны нулю всюду, кроме нуля, и интеграл по всей действительной прямой равен единице. [1] [2] [3] Поскольку не существует функции, обладающей такими свойствами, вычисления, сделанные физиками-теоретиками, казались математикам бессмысленными до тех пор, пока не были введены распределения Лоран Шварц формализовать и подтвердить вычисления. В качестве распределения дельта-функция Дирака представляет собой линейный функционал который отображает каждую функцию в ее нулевое значение. [4] [5] В Дельта Кронекера Функция, которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1, является дискретным аналогом дельта-функции Дирака.
В машиностроении и обработка сигналов, дельта-функция, также известная как единичный импульс символ, [6] можно рассматривать через его Преобразование Лапласа, как исходя из граничных значений комплексный аналитический функция комплексного переменного. Формальные правила, которым подчиняется эта функция, являются частью операционное исчисление, стандартный набор инструментов физики и инженерии. Во многих приложениях дельта Дирака рассматривается как своего рода предел ( слабый предел) из последовательность функций, имеющих высокий пик в начале координат (в теории распределений это истинный предел). Таким образом, аппроксимирующие функции последовательности являются «приближенными» или «возникающими» дельта-функциями.
Мотивация и обзор
В график дельта-функции обычно рассматривается как Иксось и положительный у-ось. [7] : 174 Дельта Дирака используется для моделирования функции высокого узкого шипа ( импульс) и другие подобные абстракции например, точечный заряд, точечная масса или же электрон точка. Например, чтобы вычислить динамика из бильярдный шар будучи пораженным, можно приблизительно сила воздействия дельта-функцией. При этом можно не только упростить уравнения, но и вычислить движение шара, рассматривая только полный импульс столкновения без подробной модели всей передачи упругой энергии на субатомных уровнях (например).
Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что сила вместо этого равномерно распределена в течение небольшого промежутка времени. Δ т . То есть,
Тогда импульс в любое время т находится путем интеграции:
Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела как Δ т → 0 , давая
В прикладной математике, как мы сделали здесь, дельта-функция часто используется как своего рода ограничение ( слабый предел) из последовательность функций, каждый член которых имеет высокий шип в начале координат: например, последовательность Гауссовы распределения с центром в начале координат с отклонение стремится к нулю.
Несмотря на свое название, дельта-функция на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной функцией с диапазоном в действительные числа. Например, объекты ж(Икс) = δ(Икс) и грамм(Икс) = 0 равны везде, кроме Икс = 0 но есть разные интегралы. В соответствии с Теория интеграции Лебега, если ж и грамм такие функции, что ж = грамм почти всюду, тогда ж интегрируемый если и только если грамм интегрируема и интегралы от ж и грамм идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как математический объект сам по себе требует теория меры или теория распределения.
История
Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется Интегральная теорема Фурье в его трактате Теория аналитик де ла шалёр в виде: [8]
что равносильно введению δ-функция в виде: [9]
Потом, Огюстен Коши выразил теорему с помощью экспонент: [10] [11]
Коши указал, что в некоторых случаях порядок интеграции в этом результате значительна (контраст Теорема Фубини). [12] [13]
Как оправдано использование теория распределений, уравнение Коши можно переформулировать так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье и раскрыло δ-функция как
где δ-функция выражается как
Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различных ограничений функции ж необходимые для его применения растянулись на несколько веков. Проблемы с классической интерпретацией объясняются следующим образом: [14]
Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно необходимо, чтобы эти функции уменьшаться достаточно быстро к нулю (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс функций, которые можно было преобразовать, и это устранило многие препятствия.
Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье », начиная с Планшереля Новаторская L 2 -теория (1910), продолжающаяся Винера и Бохнера произведений (около 1930 г.) и завершилось объединением в Л. Шварца теория распределения (1945) . «, [15] и привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.
An бесконечно малый формула для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия Распределение Коши) явно фигурирует в тексте 1827 г. Огюстен Луи Коши. [16] Симеон Дени Пуассон рассмотрел вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввел единичный импульс как предел Гауссианы, что также соответствовало Лорд КельвинПонятие точечного источника тепла. В конце 19 века Оливер Хевисайд использовал формальный Ряд Фурье манипулировать единичным импульсом. [17] Дельта-функция Дирака как таковая была введена как «удобное обозначение» Поль Дирак в его влиятельной книге 1930 г. Принципы квантовой механики. [18] Он назвал это «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной Дельта Кронекера.
Определения
Дельта Дирака можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна,
и который также должен удовлетворять тождеству
Это просто эвристический характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку никакая функция, определенная на действительных числах, не имеет этих свойств. [18] Дельта-функцию Дирака можно строго определить либо как распределение или как мера.
Как мера
Один из способов строго уловить понятие дельта-функции Дирака — определить мера, называется Мера Дирака, который принимает подмножество А реальной линии р в качестве аргумента и возвращает δ(А) = 1 если 0 ∈ А , и δ(А) = 0 иначе. [20] Если дельта-функция концептуализирована как моделирование идеализированной точечной массы в 0, то δ(А) представляет собой массу, содержащуюся в множестве А. Тогда можно определить интеграл относительно δ как интеграл функции от этого массового распределения. Формально Интеграл Лебега предоставляет необходимое аналитическое устройство. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет
для всех непрерывных функций с компактным носителем ж. Мера δ не является абсолютно непрерывный с уважением к Мера Лебега — по сути, это особая мера. Следовательно, дельта-мера не имеет Производная Радона – Никодима (по мере Лебега) — нет истинной функции, для которой свойство
держит. [21] В результате последнее обозначение удобно. злоупотребление обозначениями, а не стандарт (Риман или же Лебег) интеграл.
Это означает, что ЧАС(Икс) является интегралом кумулятивного индикаторная функция 1(−∞, Икс] по мере δ; остроумие,
Все выше моменты из δ равны нулю. Особенно, характеристическая функция и функция, производящая момент оба равны одному.
Как распространение
В теории распределения, обобщенная функция считается не функцией сама по себе, а только в отношении того, как она влияет на другие функции, когда «интегрирована» против них. [24] : 41 В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, какой «интеграл» дельта-функции соответствует достаточно «хорошему». функция тестирования φ. Тестовые функции также известны как функции удара. Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега тестовой функции по этой мере дает необходимый интеграл.
Типичное пространство тестовых функций состоит из всех гладкие функции на р с компактная опора которые имеют столько производных, сколько требуется. В качестве распределения дельта Дирака представляет собой линейный функционал на пространстве тестовых функций и определяется [25]
для каждой тестовой функции φ .
За δ чтобы быть собственно распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии на пространстве тестовых функций. В общем случае для линейного функционала S на пространстве пробных функций для определения распределения необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N есть целое число MN и постоянный CN так что для каждой тестовой функции φ, выполняется неравенство [26]
С δ распределения имеет место такое неравенство (с CN = 1) с MN = 0 для всех N. Таким образом δ является распределением нулевого порядка. Более того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( поддерживать будучи ).
Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Например, это производная по распределению из Ступенчатая функция Хевисайда. Это означает, что для каждой тестовой функции φ, надо
Интуитивно, если интеграция по частям были разрешены, то последний интеграл должен упроститься до
и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае
В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. Наоборот, уравнение (1) определяет Даниэль интеграл на пространстве всех непрерывных функций с компактным носителем φ который, по Теорема Рисса о представлении, можно представить как интеграл Лебега от φ в отношении некоторых Радоновая мера.
Обычно, когда термин «Дельта-функция Дирака«используется скорее в смысле распределений, чем мер, Мера Дирака являясь одним из нескольких терминов для соответствующего понятия в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин Распределение дельты Дирака.
Обобщения
Дельта-функцию можно определить в п-размерный Евклидово пространство р п как мера такая, что
для каждой непрерывной функции с компактным носителем ж. В качестве меры п-мерной дельта-функцией является мера продукта одномерных дельта-функций по каждой переменной отдельно. Таким образом, формально с Икс = (Икс1, Икс2, . Иксп) , надо [6]
Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как выше в одномерном случае. [27] Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, (2) следует обращаться с осторожностью, поскольку продукт распределений может быть определен только в довольно узких обстоятельствах. [28]
Понятие о Мера Дирака имеет смысл на любом наборе. [20] Таким образом, если Икс это набор, Икс0 ∈ Икс — отмеченная точка, Σ — любая сигма-алгебра подмножеств Икс, то мера, определенная на множествах А ∈ Σ к
это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в Икс0.
Другое распространенное обобщение дельта-функции — это дифференцируемое многообразие где большинство его свойств как распределения также могут быть использованы из-за дифференцируемая структура. Дельта-функция на многообразии M с центром в точке Икс0 ∈ M определяется как следующее распределение:
для всех гладких вещественнозначных функций с компактным носителем φ на M. [29] Частным частным случаем этой конструкции является тот, в котором M является открытый набор в евклидовом пространстве р п .
На локально компактное хаусдорфово пространство Икс, дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке Икс это Радоновая мера связанный с интегралом Даниэля (3) на непрерывных функциях с компактным носителем φ. [30] На этом уровне обобщения исчисление как таковое больше невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение Икс 0 ↦ δ Икс 0 mapsto delta _ >> является непрерывным вложением Икс в пространство конечных радоновских мер на Икс, оборудованный своим нечеткая топология. Более того, выпуклый корпус изображения Икс под этим вложением находится плотный в пространстве вероятностных мер на Икс. [31]
Характеристики
Масштабирование и симметрия
Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α: [32]
Применение Maple для моделирования динамического состояния RLC-цепи при импульсном воздействии на термистор Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»
Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — А. Г. Коробейников
В работе, на примере импульсного воздействия на термистор, являющимся элементом электрической цепи , представляющей из себя последовательный колебательный RLC–контур , показан процесс моделирования с использованием системы Maple. Математическая модель колебательного контура представлена неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Импульсное воздействие моделировалось δ-функцией Дирака . Предлагаемый исходный код содержит многочисленные комментарии, позволяющие достаточно легко модифицировать заданную математическую модель объекта. В связи с этим можно изменять связи между элементами цепи, а также дополнительно вводить новые элементы и связи. А так как решение дополнительно представляется в графическом виде, то можно достаточно легко произвести анализ на предмет влияния начальных условий и номинальных значений элементов системы на решение.
Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — А. Г. Коробейников
APPLICATION OF MAPLE FOR MODELING OF DYNAMIC STATE OF RLC–CIRCUIT AT IMPULSE INFLUENCE ON THE THERMISTOR
In the work, on the example of the impulsed action on the thermistor, which is an element of the electric circuit , which is a sequential oscillatory RLC–circuit , the simulation process using the Maple system is shown. The mathematical model of the oscillatory circuit is represented by an inhomogeneous ordinary differential equation of the first order. The impulsed action was modeled by the Dirac δ-function . The proposed source code contains numerous comments that make it easy to modify a given mathematical model of an object. In this regard, can change the relationship between the elements of the chain, as well as additionally input new elements and relationships. And since the solution is additionally presented in graphical form, it is easy to analyze for the influence on the solution of the initial conditions and nominal values of the elements.
Текст научной работы на тему «Применение Maple для моделирования динамического состояния RLC-цепи при импульсном воздействии на термистор»
ПРИМЕНЕНИЕ MAPLE ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ RLC-ЦЕПИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
А.Г. Коробейников, д-р техн. наук, профессор, зам. директора по науке Санкт-Петербургский филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова Российской академии наук (СПбФ ИЗМИРАН) (Россия, г. Санкт-Петербург)
Аннотация. В работе, на примере импульсного воздействия на термистор, являющимся элементом электрической цепи, представляющей из себя последовательный колебательный RLC-контур, показан процесс моделирования с использованием системы Maple. Математическая модель колебательного контура представлена неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Импульсное воздействие моделировалось ё-функцией Дирака.
Предлагаемый исходный код содержит многочисленные комментарии, позволяющие достаточно легко модифицировать заданную математическую модель объекта. В связи с этим можно изменять связи между элементами цепи, а также дополнительно вводить новые элементы и связи. А так как решение дополнительно представляется в графическом виде, то можно достаточно легко произвести анализ на предмет влияния начальных условий и номинальных значений элементов системы на решение.
Ключевые слова: RLC-контур, электрическая цепь, колебательный контур, математическая модель, обыкновенное дифференциальное неоднородное уравнение, ё-функция Дирака, импульсное воздействие, MAPLE.
В настоящее время теоретические положения и практические методы математического и компьютерного моделирования применяются во многих предметных областях, например, электродинамика. Необходимо также отметить, что развитие методов и средств математического и компьютерного моделирования позволяет сделать процесс решения задач из вышеназванной предметной области более эффективным. Поэтому обучение владением методами и инструментарием компьютерного моделирования является крайне важным. Широко используемый инструментарий, применяемый в компьютерном моделировании, это такие программные системы как MATLAB, Maple и др. [1-4]. С их помощью решают различные проблемы [48].
В данной работе рассмотрена электрическая система являющаяся последовательной ЯЬС-цепью. Система находится в режиме установившихся колебаний. В некоторый момент времени происходит импульсное воздействие на термистор, например, нагрев при помощи достаточно мощного лазерного излучения. В результате происходит резкое изменение сопротивления, после чего начинаются переходные процессы. Представленные результаты моделирования показывают динамическую картину изменения состояния электрической системы.
Постановка задачи. Пусть имеется последовательная ЯЬС-цепь, в которой содержатся источник ЭДС, термистор Я, индуктивность Ь и емкость С (рис. 1).
Будем предполагать, что сопротивление термистора представляет из себя дискретно -континуальную характеристику, т.е. может скачкообразно меняться под внешним воздействием.
В качестве искомой величины будем брать силу тока Тогда в случае установившегося режима колебаний в RLC-контуре, уравнение, соответствующее данному случаю, можно записать в следующем виде [1]:
I ■ г (г) + Я ■—I(г) + -• г (г) = -Е(г)
где E(t) — электродвижущая сила: Е^)=А^п(ш4);
А — амплитуда в вольтах (В);
ш — круговая частота (рад/с);
t — время в секундах (с).
В случае, когда в некоторый момент времени Ю происходит импульсное воздействие на термистор, уравнение (1) преобразуется в следующий вид:
L i (t) + (R + S(t0 )■ r )—i (t) +1 • i (t ) = -E (t)
dt2 W V W ‘dt С dt \ (2)
где 5(t) — дельта функция Дирака.
Целью моделирования является получение информации о динамике поведения функции тока i(t) при импульсном воздействие на термистор.
Для большей наглядности изменение функции тока i(t) представляется в графическом виде.
Для компьютерного моделирования зададим конкретные значения для параметров, входящих в математические модели (1) и (2):
L=0,4 Гн; R=20 ом; г=30 ом; C=0.02 Ф; и =15 рад/с; A=10 В; t0=15 с.
Для поиска аналитических решений (1) и (2) воспользуемся Maple [1-4]. Исходный текст на Maple для поиска решения (1) может выглядеть следующим образом: >restart
2:AQ ■■= 10 :RQ ■= 20 :rQ ■= 30.0:
t0 ■= 15.0 : CD0 15 : R> ■■= RQ + Dirac(i2) •rQ : >E ■■= i-^-sin(aw) : ics ■= i )) # Решение при заданных начальных условиях
myil 0 init condition ‘■= ё
‘ 15 2167/5″ \ _ 15 cos( 15 t) , 458 45800 J 229
225 sin( 15 t) 458
Таким образом, установившееся решение для (1) имеет вид:
15 +2167>/5 I 15cos(I5t) 225sin(l5t)
Далее, чтобы найти решение (2), необходимо знание начальных условий. Их можно определить, например, при помощи следующего исходного текста:
> # Решение в заданный момент времени
simplify(subs(t = tg, my i l O init condition> ) my J J _0JO ■= -0.4809845602
> # Значение производной решения в заданный момент времени dmy i l O tO ‘■= simplijy^subs^ t = tQ, -^jy (my ilOinitcondition )
Далее, находим решение (2) для t >15 при помощи следующего исходного текста:
> Щобавляем дельта-функцию в уравнение
> my_ode_i_l_l •= subs^A —A0,R= — L0, С — C0,(û — d>0,t — tcommon_my_ode^
myodeill ■= 0.4 /(¿2) + (20 + 30.0 Dirac^) ) -j- i(*2) + 50 /(¿2) dt2
> my_i_l_1 init condition ■= rhs(dsolve( , ¿(¿2), method = laplace) )
245760 cos(i2)15 921600 cos(i2)13 1382400 cos(i2)11
my i 1 1 init condition ■=————1——————-
1056000 cos(t,)9 432000 cos(^)7 90720 cos(f2)5 8400 cosfo)3 + 229
e 2 (34449062941693/У sinh( 10л/Т) + 4757273214290cosh( 1012л/Т))
+ ¿(225sin(i2) ((l6cos(*2)4 — 16cos(*2)2 + l)2 — (8cos(i2)3 — 8cos(i2))2) ((4cos(i2)2 — l)2 -4cos(i2)2) (4cos(i2)2 — l))
ту i l Oinitcondition t < tQ
subs(t2 — t — f0, myj. l l init condition> t > tQ
Таким образом, решение для (2) при t >15 имеет вид: 245760cos (t -15)15 921600cos (t -15)13 1382400cos (t -15)»
1056000cos (t-15)9 432000cos (t-15)7 90720cos (t-15)5 8400cos (t -15)3 229 229 229 229
225 cos (t -15) 229
e-25t+375 (3444906294169^>/5sinh (10 (t -15)>/5 ) + 4757273214290 cosh (10 (t -15) V?))
11450000000000 225sin (t — 15)f (16cos (t-15)4 -16 cos (t -15)2 +1)2
(8cos(t-15)3 — 8cos(t -15)) l(4cos(t -15)2 -1) — 4cos(t -15)2 l(4cos(t -15)2 -1)
Таким образом, окончательный вид решения для (2) можно записать следующим образом: \\ (г) г < 15
Результаты моделирования в графическом виде
Для представления полученного результата в графическом виде необходимо добавить, например, следующий исходный код на Maple:
На графике видна реакция системы при импульсном воздействии на термистор во время равное 10=15 с. Увеличение тока почти в 5 раз. Время переходного процесса примерно 1.8 с.
Заключение. В статье был продемонстрирован подход, который можно применять во время обучения методам и инструментарию компьютерного моделирования. Результат дает представление о тре-
бованиях, предъявляемых к элементам электронных систем. В данном случае, для сохранения работоспособности, необходимо чтобы элементы цепи выдерживали краткосрочную нагрузку как минимум 2,5 А. Продемонстрированный исходный код достаточно легко модифицируем. Это способствует в процессе обучения хорошему закреплению обучающимися предлагаемого материала.
1. Коробейников Г. Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. — СПб.: Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики. — 2010. — 144 с.
2. Коробейников А.Г. Проектирование и исследование математических моделей в средах MATLAB и Maple. — СПб: СПбГУ ИТМО, 2012. — 160 с.
3. Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю. Разработка и исследование многомерных математических моделей с использованием систем компьютерной алгебры. — СПб: НИУ ИТ-МО, 2014. — 100 с.
4. ГришенцевА.Ю., Гурьянов А.В., Кузнецова О.В., Шукалов А.В., Коробейников А.Г. Математическое обеспечение в системах автоматизированного проектирования. — СПб: Университет ИТМО, 2017. — 88 с.
5. Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Разработка модели решения обратной задачи вертикального зондирования ионосферы // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2011. — №2 (72). — С. 109-113.
6. Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю., Кутузов И.М., Пирожникова О.И., Соколов К.О., Литвинов Д.Ю. Разработка математической и имитационной моделей для расчета оценки защищенности объекта информатизации от несанкционированного физического проникновения // Кибернетика и программирование. — 2014. — № 5. — С. 14-25.
7. Коробейников А.Г., Федосовский М.Е., Алексанин С.А. Разработка автоматизированной процедуры для решения задачи восстановления смазанных цифровых изображений // Кибернетика и программирование. — 2016. — № 1. — С. 270-291.
8. ГришенцевА.Ю., Коробейников А.Г., Величко Е.Н., Непомнящая Э.К., Розов С.В. Синтез бинарных матриц для формирования сигналов широкополосной связи // Радиотехника. — 2015. — № 9. — С. 51-58.
APPLICATION OF MAPLE FOR MODELING OF DYNAMIC STATE OF RLC-CIRCUIT AT IMPULSE INFLUENCE ON THE THERMISTOR
A.G. Korobeynikov, Doctor of Technical Sciences, Professor, Deputy Director for Science of SPBF
Pushkov institute of terrestrial magnetism, ionosphere and radio wave propagation of the Russian Academy of Sciences St.-Petersburg Filial (SPbF IZMIRAN) (Russia, St. Petersburg)
Abstract. In the work, on the example of the impulsed action on the thermistor, which is an element of the electric circuit, which is a sequential oscillatory RLC-circuit, the simulation process using the Maple system is shown. The mathematical model of the oscillatory circuit is represented by an inhomogeneous ordinary differential equation of the first order. The impulsed action was modeled by the Dirac S-function. The proposed source code contains numerous comments that make it easy to modify a given mathematical model of an object. In this regard, can change the relationship between the elements of the chain, as well as additionally input new elements and relationships. And since the solution is additionally presented in graphical form, it is easy to analyze for the influence on the solution of the initial conditions and nominal values of the elements.
Keywords: RLC-circuit, electric circuit, vibration circuit, mathematical model, ordinary differential inhomogeneous equation, Dirac S-function, impulsed action, MAPLE.
Похожие публикации:
- Как найти экстремум функции mathcad
- Как начать пользоваться archicad 9
- Как определить дискретные переменные с произвольным шагом mathcad
- Как открыть editor в matlab
1.3. Распределение Ферми — Дирака
При рассмотрении функции Ферми — Дирака неявно предполагалось, что сама энергия Ферми не зависит от температуры. В металлах это предположение хорошо выполняется, в полупроводниках же уровень Ферми может сильно зависеть от температуры.
1.4. Вырожденный и невырожденный электронный газ
Выше было показано, что если энергия всех частиц электронного газа удовлетворяет условию E – E F ≥ 3 kT , то функция распределения Ферми — Дирака может быть заменена функцией распределения Максвелла — Больцмана: − E f ( E ) = Ae kT . (1.11) Классический электронный газ, подчиняющийся статистике Мак- свелла — Больцмана, называется невырожденным электронным газом . Квантовый электронный газ, который описывается функцией распределения Ферми — Дирака, называется вырожденным . В каком из состояний будет находиться электронный газ, зависит от концентрации электронов и температуры. Концентрация определяет среднее расстояние между электронами:
| d = | 1 | , | (1.12) |
| 3 n |
а температура — импульс электрона. В качестве характерной величины возьмем средний тепловой импульс p T , который присущ наибольшему числу электронов:
| m v 2 | p 2 | 3 | ||
| T | = | T | = | kT . |
| 2 m | 2 | |||
| 2 |
Тогда длина волны электрона запишется в виде
| λ = | h = | h | , | (1.13) |
| p T | 3 mkT |
где h — постоянная Планка. Электронный газ можно считать невырожденным, если среднее расстояние между электронами d намного больше длины волны электрона λ. Используя выражения (1.12) и (1.13), получаем 11
| 1 | h | hn 1/ 3 | |||
| 3 n | >> | , | или | (1.14) | |
| 3 mkT | ( 3 mkT ) 1 2 | ||||
Таким образом, вырождению электронного газа способствуют низкие температуры и высокие концентрации электронов. Для металла при комнатной температуре условие (1.14) не выполняется, следовательно, электронный газ в металле сильно вырожден.
1.5. Плотность квантовых состояний
Ранее было установлено, что энергетические уровни электрона в металле являются вырожденными, причем кратность их вырождения возрастает с повышением энергии. Это означает, что интервалу энергий dE , взятому при бòльших энергиях, соответствует и бòльшее число состояний. Для описания распределения этих состояний по энергиям вво- дится понятие плотности квантовых состояний g ( E ), определяемое как число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии для тела единичного объема. Построим пространство волновых векторов — к -пространство, взяв прямоугольную систему координат, по осям которой будем откладывать к z компоненты волнового вектора:
2 π / L 0 
2 π / L 2 π / L 
к x Рис.1.3. Пространство волновых векторов. Выделен минимальный объем 2 π 3
к х , к у , к z . Поскольку к = 2 λ π , раз- мерность к -пространства — обратная длина. Компоненты волнового вектора отобразятся по осям координат в виде дискретного ряда точек, отстоящих друг от друга на расстояние 2 L π (рис.1.3). Концы всех волновых векторов к в к -пространстве образуют простую кубическую решетку. При этом каждому волновому вектору отвечает одна элементарная ячейка кубической решетки, построенная вблизи его конца, 12
| 2 π | 2 π | 2 π | 2 π 3 | ( 2 π) 3 | |||||
| объемом | = | = | . С учетом спина каждому | ||||||
| V | |||||||||
| L | L | L | L | ||||||
волновому вектору к соответствуют два квантовых состояния, поэтому объем к -пространства, приходящийся на одно квантовое состояние для тела единичного объема V = 1, составляет δ V к = ( 2 2 π V ) 3 = 4 π 3 . Определим число состояний, содержащихся в интервале энергий от Е до Е = dE . Рассмотрим в к -пространстве изоэнергетическую поверхность, образованную концами всех векторов, удовлетворяющих условию E = h 2 к 2 = h 2 к 2 . 2 m 2 m Это — сфера радиусом = 2 mE 1 
2 к h 2 . Число состояний, содержащихся внутри сферы, т.е. в шаре радиусом к , легко найти, поделив объем шара
| 4 | π к 3 | 4 | 2 mE 3 2 | |
| τ к = | = | π | (1.15) | |
| 3 | 3 | h 2 | ||
на объем, приходящийся на одно состояние 4 π 3 . Если построить две сферы (рис.1.4), соответствующие энергиям E и E + dE, то число состояний в шаровом слое d τ к , заключенном между двумя сферами, будет как раз равно числу состояний в интервале энергий от Е до E + dE: g ( E ) dE = d τ к . δ V к Из (1.15) следует d τ к = 2 π 2 m 3 2 E 1 2 dE . h 2 Тогда
| g ( E ) dE = | 1 | 2 m 3 2 | 1 2 m 3 2 | |||||||||
| 2 π | E 1 2 dE = | E 1 2 dE , | ||||||||||
| 4 π 3 | 2 | 2 π 2 | 2 | |||||||||
| h | h | |||||||||||
13