Приближенные решения
Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find.
Minerr(z 1, z 2 . .)
Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.
Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.
Символьное решение уравнений
В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.
Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:
· Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.
· Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.
Команда Символы Þ Переменные Þ Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.
Чтобы решить уравнение символьно необходимо:
· Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш [Ctrl]=).
· Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.
· Выбрать пункт меню Символы Þ Переменные Þ Вычислить.
Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.
Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:
· Напечатать ключевое слово Given.
· Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется [Ctrl]=.
· Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.
· Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит символьный знак равенства ®.
· Щелкнуть мышью на функции Find.
Пример 2 Рисунка 4 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в MathCAD.
Порядок выполнения практической работы 2
Упражнение 1. Построить график функции f (x)(Таблица 1) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f (x) = 0с точностью e = 10 – 4 с помощью встроенной функции Mathcad root;
Таблица 1
Варианты упражнения 1
| № вари-анта | f (x) | № вари-анта | f (x) |
| arccos — x х Î [2, 3] | |||
| х 5 – х — 0,2 х Î [1, 2] |
Упражнение 2. Для полинома g (x) (Таблица 2) выполнить следующие действия:
с помощью команды Символы Þ Коэффициенты полинома создать вектор V, содержащий коэффициенты полинома;
решить уравнение g (x) = 0 с помощью функции polyroots;
решить уравнение символьно, используя команду Символы Þ Переменные Þ Вычислить.
Варианты упражнения 2
| № варианта | g (x) | № варианта | g (x) |
| x 4 — 2 x 3 + x 2 — 12 x + 20 | x 4 + x 3 — 17 x 2 — 45 x — 100 | ||
| x 4 + 6 x 3 + x 2 — 4 x — 60 | x 4 — 5 x 3 + x 2 — 15 x + 50 | ||
| x 4 — 14 x 2 — 40 x — 75 | x 4 — 4 x 3 — 2 x 2 — 20 x + 25 | ||
| x 4 — x 3 + x 2 — 11 x + 10 | x 4 + 5 x 3 + 7 x 2 + 7 x — 20 | ||
| x 4 — x 3 — 29 x 2 — 71 x -140 | x 4 — 7 x 3 + 7 x 2 — 5 x + 100 | ||
| x 4 + 7 x 3 + 9 x 2 + 13 x — 30 | x 4 + 10 x 3 +36 x 2 +70 x + 75 | ||
| x 4 + 3 x 3 — 23 x 2 — 55 x — 150 | x 4 + 9 x 3 + 31 x 2 + 59 x + 60 | ||
| x 4 — 6 x 3 + 4 x 2 + 10 x + 75 |
Упражнение 3. Решить систему линейных уравнений (Таблица 3):
используя функцию Find;
матричным способом и используя функцию lsolve.
Варианты упражнения 3
| № вари-анта | Система линейных уравнений | № вари-анта | Система линейных уравнений |
Упражнение 4. Преобразовать нелинейные уравнения системы из Таблицы 4 к виду f 1(x) = y и f 2 (y) = x. Построить их графики и определить начальное приближение решения. Решить систему нелинейных уравнений с помощью функции Minerr.
Варианты упражнения 4
| № вари-анта | Система нелинейных уравнений | № вари-анта | Система нелинейных уравнений |
Упражнение 5. Символьно решить системы уравнений:
Контрольные вопросы
1. Назовите способы нахождения начального приближения.
2. Какие функции для решения одного уравнения в MathCAD вы знаете? В чем их отличие?
3. Какие аргументы функции root не обязательны?
4. В каких случаях MathCAD не может найти корень уравнения?
5. Какая системная переменная отвечает за точность вычислений?
6. Как изменить точность, с которой функция root ищет корень?
7. Как системная переменная TOL влияет на решение уравнения с помощью функции root?
8. Назовите функции для решения систем уравнений в MathCAD и особенности их применения.
9. Опишите структуру блока решения уравнений.
10. Какой знак равенства используется в блоке решения? Какой комбинацией клавиш вставляется в документ?
11. Какие выражения не допустимы внутри блока решения уравнения?
12. Опишите способы использования функции Find.
13. В каких случаях MathCAD не может найти решение системы уравнений?
14. Дайте сравнительную характеристику функциям Find и Minerr.
15. Какие уравнения называются матричными?
16. Как решать матричные уравнения? Назовите способы решения матричных уравнений.
17. Как символьно решить уравнение или систему уравнений в MathCAD? Какой знак равенства используется? Какой комбинацией клавиш вставляется в документ?
18. Назовите особенности использования символьного решения уравнений.
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса.
Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар.
Расчетные и графические задания Равновесный объем — это объем, определяемый равенством спроса и предложения.
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности.
В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство.
Закон Гука при растяжении и сжатии Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году.
Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность.
Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора.
Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления.
БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани.
Решение уравнений
Аннотация: Лекция посвящена численному и аналитическому решению уравнений и систем уравнений в среде MathCAD. Продемонстрированы приемы численного решения уравнений и систем с использованием встроенных функций. Рассмотрены различные способы аналитического решения систем линейных уравнений. Приведены методы решения задач оптимизации.
Цель лекции. Показать технику численного решения нелинейных уравнений с использованием сервисов MathCAD. Показать различные методы аналитического решения систем линейных уравнений.
4.1. Численное решение нелинейных уравнений
Относительно небольшое количество задач решения уравнений можно решить аналитически. Аналитическое решение предполагает точное определение корней либо нахождение алгоритма, по которому корни всегда могут быть найдены. На практике часто приходится искать решение при помощи численных методов [1, 11]. Уравнения решаются численными методами с заданной погрешностью. В MathCAD погрешность задается системной константой TOL . Как правило, отыскание корней алгебраического уравнения (или системы уравнений) численными методами связано с двумя задачами:
- локализация корней, т. е. определение их существования в принципе, а также исследование их количества и примерного расположения;
- собственно отыскание корней с заданной погрешностью
Для численного решения уравнений в MathCAD существуют встроенные функции[1, 10], в которых реализованы алгоритмы известных численных методов: итерационный метод секущих ; различные градиентные методы и другие. Почти все встроенные функции предполагают, что корни уже приблизительно локализованы.
Использование функции root()
Рассмотрим решение простейших уравнений вида F(x)=0 . Решить уравнение – значит найти все его корни, т.е. такие числа, при подстановке которых в исходное уравнение получим верное равенство. Если функция нескольких аргументов F(x, у, ..)=0. , все остальные значения должны быть заданы для искомого x . Для локализации корней (исследования их количества и примерного расположения) полезно построить график функции и определить все точки пересечения графика функции с осью OX.
Функция root () вычисляет значение переменной, при котором F(x, у, ..)=0 . Если уравнение имеет несколько корней, функцию надо вызывать соответствующее число раз. Вычисления реализуются итерационным методом. Данный метод заключается в постепенном приближении к искомому корню с некоторой точностью от начального значения переменной. Точность вычислений задаётся системной переменной TOL , определённой в меню Tools/ Worksheet Options .. По умолчанию равной 0.001.
root(F(x, у, . ), x, [a, b]) возвращает с заданной точностью значение переменной, x , лежащей между a и b при котором функция равна нулю. Значения F() для a и b должны быть разных знаков. Третий аргумент не обязателен. Выбор решения определяется выбором начального значения переменной
Пример 4.1
Пример. Дано алгебраическое уравнение
Определить интервалы локализации корней этого уравнения.
На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨
Уточнение корней нелинейного уравнения
Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.
Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.
Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.
Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨
Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.
Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.
Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.
Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных
Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:
Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логический .
Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.
Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.
Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.
Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).
Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.
Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .
Решение систем уравнений
В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:
· алгебраические системы уравнений;
· трансцендентные системы уравнений.
Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
В матричном виде систему можно записать как
где – матрица размерности , – вектор с проекциями.
Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.
Решение систем нелинейных уравнений
MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.
Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.
Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.
Пример. Дана система уравнений:
Определить начальные приближения для решений этой системы.
Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨
Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .
Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке < Начальные условия >. Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.
Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:
· ограничения со знаком ¹ ;
· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;
· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).
Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.
Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений