Как ввести систему уравнений в wolfram
1. Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример 1 . Чтобы решить уравнение x 2 + 3 x — 4 = 0, нужно ввести solve x^2+3x-4=0
Пример 2. Чтобы решить уравнение log32x = 2 , нужно ввести solve log(3, 2x)=2
Пример 3. Чтобы решить уравнение 25 x-1 = 0.2 , нужно ввести solve 25^(x-1)=0.2
Пример 4. Чтобы решить уравнение sin x = 0.5 , нужно ввести solve sin(x)=0.5
2. Решение систем уравнений.
Пример . Чтобы решить систему уравнений
нужно ввести solve x+y=5 && x-y=1
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».
3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример . Чтобы решить неравенство x 2 + 3 x — 4 solve x^2+3x-4
4. Решение систем рациональных неравенств.
Пример. Чтобы решить систему неравенств
нужно ввести solve x^2+3x-4 && 2х^2 — x + 8 > 0
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».
5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример . Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d) 2 (a-c) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c) .
6. Разложение выражения на множители.
Пример . Чтобы разложить на множители выражение x 2 + 3 x — 4, нужно ввести factor x^2 + 3x — 4 .
7. Вычисление суммы n первых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример . Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой an = n 3 +n, нужно ввести sum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, у которой первый член a 1 = 3, разность d = 5, то можно, как вариант, ввести a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый член b 1 = 3, разность q = 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7
8. Нахожд ение производной.
Пример . Чтобы найти производную функции f(x) = x 2 + 3 x — 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x — 4
9. Нахожд ение неопределенного интеграла.
Пример . Чтобы найти первообразную функции f(x) = x 2 + 3 x — 4, нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4
10. Вычисление определенного интеграла.
Пример . Чтобы вычислить интеграл функции f(x) = x 2 + 3 x — 4 на отрезке [5, 7],
нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4, x=5..7
11. Вычисление пределов.
Пример . Чтобы убедиться, что
введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x, стремящемся к бесконечности, следует вводить x -> inf .
12. Исследование функции и построение графика .
Пример . Чтобы исследовать функцию x 3 — 3 x 2 и построить ее график, просто введите x^3-3x^2 . Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.
13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .
Пример . Чтобы найти минимальное значение функции x 3 — 3 x 2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести minimize (x^3-x^2),
Чтобы найти максимальное значение функции x 3 — 3 x 2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести maximize (x^3-x^2),
Как ввести систему уравнений в wolfram
Достаточно войти на страницу wolframalpha набрать в текстовом поле свой запрос и нажать на кнопку » clear: both»>
а чтобы узнать, какое расстояние между Москвой и Тель-Авивом, нужно ввести в поле
и вот вам результат:
Один из минусов сервиса Wolfram Alpha – это его англоязычность…так что если хотите задать вопрос системе придется писать его на английском языке. Даже неизвестно, появится ли русскоязычная версия этой поисково-вычислительной системы.
Основные команды для Вольфрам Альфа
(Команды вводятся в строку Вольфрама — например выше. Все команды заканчиваются нажатием Enter)
1. Решение уравнений, построение графиков
- Арифметические знаки плюс, минус, умножить, поделить +, — , *, / Примеры: 3*2, x*y, (a+b)/c
- Возведение в степень «x в степени а» x^a. Примеры x^a, x**a, (a+b)^2, (a+b)**2, (a+b)^(2x+1)
- Скобки. Действия в скобках ведутся первыми
- Функции .sin(x), cos(x), tan(x)=sin(x)/cos(x), cotan(x)=cos(x)/sin(x), sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x)
- Функции log(x), exp(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), cotanh(x)
- Корень квадратный из «х» sqrt(x) или x^(1/2)
Чтобы вычислить выражение, нужно его просто ввести. Например корень из 2 будет выглядеть как sqrt(2) или же 2^(1/2).
2. Чтобы решить уравнение, нужно просто его ввести
3. Чтобы построить график, нужно использовать команду plot
Например нарисуем с помощью Вольфрама функцию 2^(-x) cos(x). Это делается командой plot (график).
Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости (например для визуализации решения систем уравнений), при значении переменной x в интервале (A,B), нужно использовать команду
4. Чтобы собрать множители из двучлена (многочлена) f, наберите factor[f]
5. Чтобы развалить произведение f на слагаемые, используйте команду expand[f]
6. Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]
Например упростить «е в степени догарифм х»:
Simplify[ exp[ log[x] ] ]
Вольфрам альфа: интегралы
Как работать с Wolfram Alpha
Основные операции
- Сложение : a+b
- Вычитание : a-b
- Умножение : a*b
- Деление : a/b
- Возведение в степень : a^b
- 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
- (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).
Знаки сравнения
- Меньше : : >
- Равно : = или ==
- Меньше или равно : =
Логические символы
- И : &&
- ИЛИ : ||
- НЕ : !
Основные константы
- Число : Pi
- Число : E
- Бесконечность : Infinity, inf или oo
Основные функции
- : Sqrt[x]
- : x^(1/n)
- : a^x
- : Log[a, x]
- : Log[x]
- : cos[x] или Cos[x]
- : sin[x] или Sin[x]
- : tan[x] или Tan[x]
- : cot[x] или Cot[x]
- : sec[x] или Sec[x]
- : csc[x] или Csc[x]
- : ArcCos[x]
- : ArcSin[x]
- : ArcTan[x]
- : ArcCot[x]
- : ArcSec[x]
- : ArcCsc[x]
- : cosh[x] или Cosh[x]
- : sinh[x] или Sinh[x]
- : tanh[x] или Tanh[x]
- : coth[x] или Coth[x]
- : sech[x] или Sech[x]
- : csch[x] или Csch[е]
- : ArcCosh[x]
- : ArcSinh[x]
- : ArcTanh[x]
- : ArcCoth[x]
- : ArcSech[x]
- : ArcCsch[x]
Решение уравнений
Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].
- Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
- Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
- Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.
Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где — интересующая Вас переменная.
- Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
- x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
- x+y+z+t+p+q=9.
Решение неравенств
Решение в Wolfram Alpha неравенств типа 0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/d/9/3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png» />, полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].
- Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
- x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].
Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.
- Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
- x^2+y^3-5 =9.
Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений
Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.
Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x], ]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например , нужно ввести: Plot[f[x], , ].
Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x], ].
Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y], , ]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).
Математический анализ
Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.
Пределы
Для того, чтобы найти предел последовательности нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].
- Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
- Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].
Найти предел функции при можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].
Производные
Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Интегралы
Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: Integrate[f[x], ] либо Integrate f(x), x=a..b.
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Дифференциальные уравнения и их системы
Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).
Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.
Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.
Ошибки при работе с системой
Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач [1] . К примеру, если попытаться решить неравенство , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4) Примечания
Дифференциальные уравнения
Язык Wolfram позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения с запаздыванием.
Функция DSolveValue возвращает решение дифференциального уравнения в общем виде:
Используем символ /. для замены константы:
Или добавим начальные условия для получения частного решения:
Функция NDSolveValue позволяет находить численные решения:
Объект InterpolatingFunction можно визуализировать без дополнительной обработки:
Для решения систем дифференциальных уравнений, необходимо использовать списки для задания уравнений и условий:
(Обратите внимание, что перенос уравнений на новую строку не влияет на результат.)
Построим решения системы в виде параметрического графика:
Как решить систему уравнений в wolfram mathematica
Многие математические задачи сводятся к решению в общем случае нелинейных уравнений вида f(x) = 0 или f(x) = expr.
В системе Mathematica они обозначаются как eqns (от слова equations — уравнения). Разумеется, могут решаться и системы, состоящие из ряда таких уравнений.
Для решения уравнений (как одиночных, так и систем) в численном и символьном виде Mathematica имеет функцию Solve:
- Solve [eqns, vars] — предпринимает попытку решить уравнение или систему уравнений eqns относительно переменных vars;
- Solve [eqns, vars, elims] — пытается решать уравнения eqns по переменным vars, исключая переменные elims.
Входные параметры этой функции могут быть представлены списками или записаны выражениями через объединительный знак«&&». В eqns в качестве знака равенства используется знак «= =». Примеры применения функции Solve представлены на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Примеры решения уравнений
Обратите внимание на то, что в определенных ситуациях система подсказывает тонкости решения, выдавая предупреждающие сообщения. Если такие ситуации не являются ошибками, препятствующими решению, то полученное решение выводится в ячейку вывода.
Решение систем нелинейных уравнений в символьном виде
Приведенные на рис. 4.13 примеры показывают решение систем нелинейных уравнений с помощью функции Solve.
Достаточно характерен пример с применением функции N. Если убрать в нем функцию N, то будет получен чрезвычайно громоздкий, хотя и точный результат (проверьте это сами, поскольку размеры результата делают нецелесообразным его приведение в книге). Функция N осуществляет выполнение всех промежуточных вычислений, благодаря чему результат получается вполне обозримым и представленным в комплексных числах.
В последнем примере рис. 4.13 получен набор из пяти пар корней, определенных через функцию Root. Эта функция, в свою очередь, означает вычисление корней полиномиального уравнения пятой степени. Данный пример, как и ранее приводимые решения кубического уравнения, является наглядной иллюстрацией того, что простота нелинейных уравнений порой оказывается весьма обманчивой, а их решение порой приводит к весьма громоздким и сложным результатам. Тем не менее, возможность решения отдельных нелинейных уравнений и их систем в символьном виде трудно переоценить. К сожалению, далеко не все уравнения имеют такие решения — многие можно решать только в численном виде.
Рис. 4.13. Примеры решения систем нелинейных уравнений
Не следует полагать, что Mathematica всегда выдает верное решение систем нелинейных уравнений. На самом деле решение иногда бывает ошибочным. Поэтому в большинстве случаев стоит оформлять решение таким образом, чтобы обеспечить его проверку. Для этого рекомендуется отдельно задать систему уравнений и результат решения. Тогда проверка легко осуществляется с помощью подстановки. Два примера решения систем уравнений с проверкой решений показаны на рис. 4.14.
В первом примере решение кажется очевидным (равенства выполняются, например, при х=2 и у=3). Однако здесь Mathematica дает сразу три пары решений, и все они оказываются верны, поскольку после подстановки проверка всех равенств возвращает True.
А вот во втором примере проверка дала не совсем обычный результат, что связано с наличием в решении неопределенной переменной а. В таких случаях стоит попробовать упростить решение с помощью функции Simplify, что и показано на рис. 4.14.
Рис. 4.14. Примеры решения уравнений с проверкой
Опции функции Solve
С функцией Solve можно использовать ряд опций. Их можно вывести командой Options [Solve]. Ниже описано их назначение:
- InverseFunctions — указывает, следует ли использовать обратные функции;
- MakeRules — указывает, должен ли результат быть представлен как объект AlgebraicRulesData;
- Method — устанавливает алгоритм, используемый для вычисления результата (возможны методы 1, 2 и 3);
- Mode — задает характер решения уравнения (возможны Generic, Modular и Rational);
- Sort — устанавливает, нужна ли сортировка результатов;
- Verif ySolutions — устанавливает, следует ли проводить проверку полученных решений и удаление посторонних решений;
- WorkingPrecision — устанавливает число цифр промежуточных вычислений (по умолчанию Infinity).
На рис. 4.15 приведены примеры применения функции Solve с опцией Inverse-Functions.
Обратите внимание на то, что последняя система уравнений при отсутствии опции InverseFunctions решается с предупреждением. Она вообще не решается, если эта опция задана как False, и гладко решается при InverseFunctions -> True.
Рис. 4.15. Примеры решения уравнений с опцией InverseFunction
То, насколько может влиять на решение опция Method, наглядно показывают примеры, представленные на рис. 4.16.
Рис. 4.16. Примеры решения уравнений разными методами
Множество примеров решения систем нелинейных уравнений в символьном виде можно найти в справочной системе Mathematica.
Численное решение уравнений
Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют аналитических решений. Однако их решение вполне возможно численными методами. Для численного решения систем нелинейных уравнений используется функция NSolve:
- NSolve [eqns, vars] — пытается численно решить одно уравнение или систему уравнений eqns относительно переменных vars;
- NSolve [eqns, vars, elims] — пытается численно решить уравнения eqns относительно vars, исключая переменные elims.
С этой функцией используется единственная опция WorkingPrecision, задающая число верных цифр результата — по умолчанию 16. На рис. 4.17 представлены примеры использования функции NSolve для численного решения уравнений.
Риc. 4.17. Примеры численного решения уравнений
Результаты решения с помощью функции NSolve также рекомендуется проверять с помощью подстановки, например, так:
Нетрудно заметить, что в данном случае решение верно.
Поиск корней уравнений
Для вычисления корней полиномиальных уравнений используется функция Roots:
На рис. 4.18 представлены примеры применения функции Roots.
Рис. 4.18. Примеры использования функции Roots
Формат выдачи результатов для функции Roots отличается от такового для функции Solve. Поэтому проверку решения подстановкой надо выполнять как в следующем примере:
Для преобразования результата вычислений в список решений (подобный решениям, получаемым с помощью функции Solve) здесь использована функция ToRules.
При затруднениях в решении уравнений с помощью функции Roots можно использовать следующие опции:
Ниже они описаны подробно:
- Cubics — указывает, следует ли искать явные решения для неприводимых кубических уравнений;
- EquatedTo — задает выражение для замещения переменной в решении;
- Modulus — задает промежуточную факторизацию полинома;
- Multiplicity— устанавливает кратность каждого из корней в конечном результате;
- Quartics — задает точное решение квадратного уравнения и полинома четвертой степени;
- Using — указывает какие-либо дополнительные уравнения, которые следует использовать для решения уравнений.
Применение опций нередко позволяет получать решения, которые не удаются с первого раза. Однако это требует определенного опыта и понимания сути решаемой задачи.
Дополнительные функции для решения уравнений
Имеется также ряд дополнительных функций, которые используются описанными ранее функциями и также могут применяться при решении нелинейных уравнений:
- Auxiliary [v] — применяется модулем Solve для указания того, что переменная v должна использоваться функцией Roots для результирующих решений, но соответствующие значения v не должны быть включены в окончательный ответ;
- Eliminate [eqns, vars] — исключает переменные vars из системы уравнений eqns;
- FindRoot [Ihs == rhs, ] — ищет численное решение уравнения Ihs == rhs, начиная с х = x0;
- MainSolve [eqns] — основная функция для преобразования системы уравнений. Ее вызывают Solve и Eliminate. Уравнения должны быть представлены в форме Ihs == rhs. Они могут объединяться с помощью && и | |. MainSolve возвращает False, если не существует решения уравнений, и возвращает True, если все значения переменных являются решениями. MainSolve перестраивает уравнения, применяя определенные директивы;
- MainSolve [eqns, vars, elim, rest] — пытается перестраивать уравнения eqns так, чтобы найти решения для переменных vars и исключить переменные elim. Список rest может включаться для указания порядка исключения любых остальных переменных;
- NRoots [lhs==rhs, var] — возвращает список численных приближений корней полиномиального уравнения;
- Residue [ехрr, ] — ищет вычет ехрг в точке х = х0;
- SolveAlways [eqns, vars] — возвращает значения параметров, которые превращают уравнения eqns в тождества для всех значений переменных vars.
Примеры использования некоторых из этих функций показаны на рис. 4.19.
Рис. 4.19. Примеры применения дополнительных функций для решения уравнений
В целом надо отметить, что система Mathematica обладает обширными средствами для решения уравнений и их систем. Умение их применять — залог правильного и эффективного решения сложных математических задач, относящихся к классу решения уравнений.
Графическая иллюстрация и выбор метода решения уравнений
При рассмотрении приведенных выше примеров может сложиться благодушное впечатление о том, что решение нелинейных уравнений может производиться автоматически и без размышлений. Но это далеко не так — представленные выше примеры просто подобраны так, что они имеют решение с помощью соответствующих функций.
На самом деле порой даже простые уравнения могут не иметь решения. В сложных случаях очень полезна графическая визуализация решения. В качестве примера на рис. 4.20 показана визуализация вычисления корней квадратного уравнения. В данном случае график функции явно указывает на существование двух действительных корней при х, близких к 0.2 и 2.3. Функция Nsolve без труда находит оба корня.
Рис. 4.20. Визуализация решения квадратного уравнения для случая двух действительных корней
А вот на рис. 4.21 показан случай, когда из-за изменения последнего члена квадратичной функции ее график уже не пересекает ось х вообще. Это говорит о том, что решения в виде действительных корней нет. И в самом деле, NSolve находит корни как комплексно-сопряженные числа. Действительная часть найденных корней дает координату х для впадины кривой — параболы.
Если требуется решение равенства f1(х) = f 2 (x), то для графической визуализации решения можно построить графики функций f1(х) и f 2 (лг) — наличие точек их пересечения будет означать существование действительных корней. Этот случай иллюстрирует рис. 4.22. В данном случае проблем с решением нет, поскольку, по существу, решается квадратное уравнение.
Рис. 4.21. Визуализация решения квадратного уравнения для случая двух комплексных корней
Рис. 4.22. Пример визуализации решения уравнения вида f(x) = 5х + 1
Но вот на рис. 4.23 показан случай решения уравнения f(x) = ехр(х/2). Графики функций ясно показывают, что парабола пересекается экспонентой в двух точках. Однако функция NSolve отказывается решать такое уравнение и выдает сообщение о том, что оно является трансцендентным.
Таким образом, в данном случае наличие графического решения говорит о необходимости смены функции, с помощью которой до сих пор решались уравнения. Подходящей в данном случае является функция FindRoot, которая отыскивает одно решение вблизи заданной начальной точки. Применив ее дважды, нетрудно получить оба корня данного уравнения.
Рис. 4.23. Пример решения уравнения вида f(x) = ехр(х/2)
Приведенные примеры далеко не исчерпывают проблему графической визуализации решения и выбора методов решения. Однако они иллюстрируют возможности системы Mathematica в этой области и заостряют внимание на потенциальных проблемах. Для реализации численных расчетов в системе Mathematica отобраны наилучшие и наиболее эффективные численные методы из описанных в литературе, в том числе в отечественной.
Получение сразу нескольких корней
Многие уравнения с тригонометрическими функциями могут иметь периодические или близкие к ним решения. К сожалению, функции Mathematica, вычисляющие корни уравнений, не способны в этом случае дать сразу несколько корней. Однако ситуация тут далеко не безнадежна — приведенный ниже пример наглядно показывает это.
Пусть требуется в интервале изменения х от 0 до 20 найти все решения уравнения
График функции, представляющей левую часть уравнения, показан на рис. 4.24. Хорошо видно, что он пересекает ось х семь раз, то есть имеет в интересующем нас диапазоне семь корней.
Рис. 4.24. График функции х sin(x) + х/2 — 1 и пример вычисления всех ее корней в интервале изменения х от 0 до 20
Колебательная составляющая функции обусловлена входящей в нее функцией sin(x), которая имеет нули в точках 0, n, 2n, Зn. Однако, как видно из рис. 4.24, эти значения лишь приближенные, ввиду влияния других членов уравнения.
Ключевая идея получения всех корней уравнения заключается в поиске нужных решений с помощью функции FindRoot, которой последовательно подставляются различные начальные приближения. Однако вместо уже испытанного приема — поиска корней поодиночке — можно воспользоваться «таблицей» решений, используя функцию Table. Решение, приведенное под графиком функции на рис. 4.24, наглядно иллюстрирует возможности этого приема — найдены (или, вернее, уточнены) все семь корней исходного уравнения.
Получение неизвестных в явном виде
Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решения всех представленных выше примеров выглядят не совсем обычно — в виде списка подстановок. Это не позволяет использовать неизвестные в явном виде, например, для проверки решений или передачи найденных неизвестных в последующие вычислительные блоки. Однако от этого затруднения легко избавиться, если перед конструкций блока решения использовать выражение следующего вида:
Список переменных в этом выражении должен однозначно соответствовать списку неизвестных системы уравнений. Покажем этот прием в действии. Ниже приведено решение системы из трех нелинейных уравнений:
Обратите внимание на то, что вывод списка не дает полученных значений неизвестных. Это связано с тем, что переменные в блоке решения имеют ло-к(1лъный характер и за пределами блока их значения (в том числе неопределенные) сохранятся такими, какими они были до применения в блоке решения.
Теперь зададим решение в ином виде:
Как видите, на сей раз решение получено в виде списка с числами — явными значениями неизвестных. Можно обозначить их как а, Ь и с, получить список и даже использовать их отдельно:
Теперь можно проверить решение данной системы:
Полученный вектор правых частей системы совпадает с заданным, что свидетельствует о правильности решения. Разумеется, вместо нового списка для вектора решения можно было использовать и вектор .
WolframAlpha по-русски
Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Надеюсь, вы уже установили расширение, тулбар или плагин Wolfram|Alpha для вашего браузера, как это было сказано в предыдущем посте. Сделайте это, чтобы вам было удобнее использовать Wolfram Alpha, и продолжим.
Для решения уравнений и их систем в Wolfram|Alpha используется запрос solve
Вот запрос, который означает: «Решить систему линейных уравнений»:
Другой вариант (без использования solve), который также позволяет получить решение системы: достаточно просто ввести уравнения системы через запятую.
Wolfam Alpha решает не только определенные, но и неопределенные системы линейных алгебраических уравнений. Вот пример, где переменных на одну больше, чем уравнений (без solve):
То же самое, но с использованием запроса solve:
Wolfram Alpha также позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Об этом будет следующий пост на эту тему.
Решение системы нелинейных уравнений в Mathematica
Я пытаюсь численно решить приведенную ниже систему из шести уравнений (g0-g5) для a0-a5 в системе Mathematica. Я не специалист по математике и не совсем уверен, как это сделать.
Однако я потратил много времени, пытаясь заставить NSolve и FindRoot дать решение. Вот этот код:
Еще одна дополнительная информация, которую я могу предложить, заключается в том, что результирующее решение для f (x, y) должно быть эквивалентно двумерной стандартной нормальной плотности. Любая помощь приветствуется. Это мой первый пост на SO, дайте мне знать, если потребуется дополнительная информация.
2 ответа
Я поражен. Я никогда не ожидал, что это закончится. Но если вы все время вычитаете, чтобы он выполнил интегралы, то Reduce завершится в мгновение ока.
Примечание. Это дает Simplify одно предположение, которое вы должны проверить, является ли оно обоснованным. Это предположение позволяет превратить все ваше ConditionalExpression в предположительно допустимые выражения для вашей проблемы. Я получил это предположение, просмотрев каждый из результатов, возвращаемых интеграцией, и увидел, что все они зависят от этого, чтобы результат был действительным.
Вот как это сформулировать численно:
Обратите внимание, что я сделал первоначальное предположение, очень близкое к известному решению (спасибо @Bill), и поиск ответа все еще занимает очень много времени.
-0,837388 — 1,4099 * 10 ^ -29 I, a1 -> -6,35273 * 10 ^ -22 + 7,19577 * 10 ^ -46 I, a2 -> -1,27815 * 10 ^ -20 + 6,00264 * 10 ^ — 38 I, a3 -> -0,500489 + 1,41128 * 10 ^ -29 I, a4 -> -0,5 — 7,13595 * 10 ^ -44 I, a5 -> -5,55356 * 10 ^ -28 — 9,23563 * 10 ^ -47 I>
-0.837388, a1 -> 0, a2 -> 0, a3 -> -0.500489, a4 -> -0.5, a5 -> 0>
Решение системы линейных уравнений
Решение недоопределенной системы линейных уравнений
Есть такая проблема. Есть кусок программы из Maple, где решается система линейных уравнений: Код.
Записать результат решения системы линейных уравнений в переменные
Ув. формучане, подскажите пожалуйста. Я определяю систему линейных уравнений и решаю ее.
Решение системы из 6 (шести) уравнений
Здравствуйте, господа и дамы. Есть система уравнений, 6и уравнений, есть расчет в мэпле, но есть.
Решение системы уравнений в Mathematica
Добрый день, у меня почти нет опыта работы с какими-либо программами вроде Mathematica, но мне.
Похожие публикации:
- Как найти музыку в telegram
- Как наложить музыку на клип в windows movie maker
- Как редактировать видео в windows movie maker
- Как решить уравнение в maple
Как решить систему уравнений в wolfram
Многие математические задачи сводятся к решению в общем случае нелинейных уравнений вида f(x) = 0 или f(x) = expr.
В системе Mathematica они обозначаются как eqns (от слова equations — уравнения). Разумеется, могут решаться и системы, состоящие из ряда таких уравнений.
Для решения уравнений (как одиночных, так и систем) в численном и символьном виде Mathematica имеет функцию Solve:
- Solve [eqns, vars] — предпринимает попытку решить уравнение или систему уравнений eqns относительно переменных vars;
- Solve [eqns, vars, elims] — пытается решать уравнения eqns по переменным vars, исключая переменные elims.
Входные параметры этой функции могут быть представлены списками или записаны выражениями через объединительный знак«&&». В eqns в качестве знака равенства используется знак «= =». Примеры применения функции Solve представлены на рис. 4.12.
Рис. 4.12. Примеры решения уравнений
Обратите внимание на то, что в определенных ситуациях система подсказывает тонкости решения, выдавая предупреждающие сообщения. Если такие ситуации не являются ошибками, препятствующими решению, то полученное решение выводится в ячейку вывода.
Решение систем нелинейных уравнений в символьном виде
Приведенные на рис. 4.13 примеры показывают решение систем нелинейных уравнений с помощью функции Solve.
Достаточно характерен пример с применением функции N. Если убрать в нем функцию N, то будет получен чрезвычайно громоздкий, хотя и точный результат (проверьте это сами, поскольку размеры результата делают нецелесообразным его приведение в книге). Функция N осуществляет выполнение всех промежуточных вычислений, благодаря чему результат получается вполне обозримым и представленным в комплексных числах.
В последнем примере рис. 4.13 получен набор из пяти пар корней, определенных через функцию Root. Эта функция, в свою очередь, означает вычисление корней полиномиального уравнения пятой степени. Данный пример, как и ранее приводимые решения кубического уравнения, является наглядной иллюстрацией того, что простота нелинейных уравнений порой оказывается весьма обманчивой, а их решение порой приводит к весьма громоздким и сложным результатам. Тем не менее, возможность решения отдельных нелинейных уравнений и их систем в символьном виде трудно переоценить. К сожалению, далеко не все уравнения имеют такие решения — многие можно решать только в численном виде.
Рис. 4.13. Примеры решения систем нелинейных уравнений
Не следует полагать, что Mathematica всегда выдает верное решение систем нелинейных уравнений. На самом деле решение иногда бывает ошибочным. Поэтому в большинстве случаев стоит оформлять решение таким образом, чтобы обеспечить его проверку. Для этого рекомендуется отдельно задать систему уравнений и результат решения. Тогда проверка легко осуществляется с помощью подстановки. Два примера решения систем уравнений с проверкой решений показаны на рис. 4.14.
В первом примере решение кажется очевидным (равенства выполняются, например, при х=2 и у=3). Однако здесь Mathematica дает сразу три пары решений, и все они оказываются верны, поскольку после подстановки проверка всех равенств возвращает True.
А вот во втором примере проверка дала не совсем обычный результат, что связано с наличием в решении неопределенной переменной а. В таких случаях стоит попробовать упростить решение с помощью функции Simplify, что и показано на рис. 4.14.
Рис. 4.14. Примеры решения уравнений с проверкой
Опции функции Solve
С функцией Solve можно использовать ряд опций. Их можно вывести командой Options [Solve]. Ниже описано их назначение:
- InverseFunctions — указывает, следует ли использовать обратные функции;
- MakeRules — указывает, должен ли результат быть представлен как объект AlgebraicRulesData;
- Method — устанавливает алгоритм, используемый для вычисления результата (возможны методы 1, 2 и 3);
- Mode — задает характер решения уравнения (возможны Generic, Modular и Rational);
- Sort — устанавливает, нужна ли сортировка результатов;
- Verif ySolutions — устанавливает, следует ли проводить проверку полученных решений и удаление посторонних решений;
- WorkingPrecision — устанавливает число цифр промежуточных вычислений (по умолчанию Infinity).
На рис. 4.15 приведены примеры применения функции Solve с опцией Inverse-Functions.
Обратите внимание на то, что последняя система уравнений при отсутствии опции InverseFunctions решается с предупреждением. Она вообще не решается, если эта опция задана как False, и гладко решается при InverseFunctions -> True.
Рис. 4.15. Примеры решения уравнений с опцией InverseFunction
То, насколько может влиять на решение опция Method, наглядно показывают примеры, представленные на рис. 4.16.
Рис. 4.16. Примеры решения уравнений разными методами
Множество примеров решения систем нелинейных уравнений в символьном виде можно найти в справочной системе Mathematica.
Численное решение уравнений
Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют аналитических решений. Однако их решение вполне возможно численными методами. Для численного решения систем нелинейных уравнений используется функция NSolve:
- NSolve [eqns, vars] — пытается численно решить одно уравнение или систему уравнений eqns относительно переменных vars;
- NSolve [eqns, vars, elims] — пытается численно решить уравнения eqns относительно vars, исключая переменные elims.
С этой функцией используется единственная опция WorkingPrecision, задающая число верных цифр результата — по умолчанию 16. На рис. 4.17 представлены примеры использования функции NSolve для численного решения уравнений.
Риc. 4.17. Примеры численного решения уравнений
Результаты решения с помощью функции NSolve также рекомендуется проверять с помощью подстановки, например, так:
Нетрудно заметить, что в данном случае решение верно.
Поиск корней уравнений
Для вычисления корней полиномиальных уравнений используется функция Roots:
На рис. 4.18 представлены примеры применения функции Roots.
Рис. 4.18. Примеры использования функции Roots
Формат выдачи результатов для функции Roots отличается от такового для функции Solve. Поэтому проверку решения подстановкой надо выполнять как в следующем примере:
х == -3.56155 | | х == 0.561553
Для преобразования результата вычислений в список решений (подобный решениям, получаемым с помощью функции Solve) здесь использована функция ToRules.
При затруднениях в решении уравнений с помощью функции Roots можно использовать следующие опции:
True, Eliminate -> False, EquatedTo-> Null,
Modulus -> 0, Multiplicity->1, Quar tics -> True, Using -> True>
Ниже они описаны подробно:
- Cubics — указывает, следует ли искать явные решения для неприводимых кубических уравнений;
- EquatedTo — задает выражение для замещения переменной в решении;
- Modulus — задает промежуточную факторизацию полинома;
- Multiplicity— устанавливает кратность каждого из корней в конечном результате;
- Quartics — задает точное решение квадратного уравнения и полинома четвертой степени;
- Using — указывает какие-либо дополнительные уравнения, которые следует использовать для решения уравнений.
Применение опций нередко позволяет получать решения, которые не удаются с первого раза. Однако это требует определенного опыта и понимания сути решаемой задачи.
Дополнительные функции для решения уравнений
Имеется также ряд дополнительных функций, которые используются описанными ранее функциями и также могут применяться при решении нелинейных уравнений:
- Auxiliary [v] — применяется модулем Solve для указания того, что переменная v должна использоваться функцией Roots для результирующих решений, но соответствующие значения v не должны быть включены в окончательный ответ;
- Eliminate [eqns, vars] — исключает переменные vars из системы уравнений eqns;
- FindRoot [Ihs == rhs, ] — ищет численное решение уравнения Ihs == rhs, начиная с х = x0;
- MainSolve [eqns] — основная функция для преобразования системы уравнений. Ее вызывают Solve и Eliminate. Уравнения должны быть представлены в форме Ihs == rhs. Они могут объединяться с помощью && и | |. MainSolve возвращает False, если не существует решения уравнений, и возвращает True, если все значения переменных являются решениями. MainSolve перестраивает уравнения, применяя определенные директивы;
- MainSolve [eqns, vars, elim, rest] — пытается перестраивать уравнения eqns так, чтобы найти решения для переменных vars и исключить переменные elim. Список rest может включаться для указания порядка исключения любых остальных переменных;
- NRoots [lhs==rhs, var] — возвращает список численных приближений корней полиномиального уравнения;
- Residue [ехрr, ] — ищет вычет ехрг в точке х = х0;
- SolveAlways [eqns, vars] — возвращает значения параметров, которые превращают уравнения eqns в тождества для всех значений переменных vars.
Примеры использования некоторых из этих функций показаны на рис. 4.19.
Рис. 4.19. Примеры применения дополнительных функций для решения уравнений
В целом надо отметить, что система Mathematica обладает обширными средствами для решения уравнений и их систем. Умение их применять — залог правильного и эффективного решения сложных математических задач, относящихся к классу решения уравнений.
Графическая иллюстрация и выбор метода решения уравнений
При рассмотрении приведенных выше примеров может сложиться благодушное впечатление о том, что решение нелинейных уравнений может производиться автоматически и без размышлений. Но это далеко не так — представленные выше примеры просто подобраны так, что они имеют решение с помощью соответствующих функций.
На самом деле порой даже простые уравнения могут не иметь решения. В сложных случаях очень полезна графическая визуализация решения. В качестве примера на рис. 4.20 показана визуализация вычисления корней квадратного уравнения. В данном случае график функции явно указывает на существование двух действительных корней при х, близких к 0.2 и 2.3. Функция Nsolve без труда находит оба корня.
Рис. 4.20. Визуализация решения квадратного уравнения для случая двух действительных корней
А вот на рис. 4.21 показан случай, когда из-за изменения последнего члена квадратичной функции ее график уже не пересекает ось х вообще. Это говорит о том, что решения в виде действительных корней нет. И в самом деле, NSolve находит корни как комплексно-сопряженные числа. Действительная часть найденных корней дает координату х для впадины кривой — параболы.
Если требуется решение равенства f1(х) = f 2 (x), то для графической визуализации решения можно построить графики функций f1(х) и f 2 (лг) — наличие точек их пересечения будет означать существование действительных корней. Этот случай иллюстрирует рис. 4.22. В данном случае проблем с решением нет, поскольку, по существу, решается квадратное уравнение.
Рис. 4.21. Визуализация решения квадратного уравнения для случая двух комплексных корней
Рис. 4.22. Пример визуализации решения уравнения вида f(x) = 5х + 1
Но вот на рис. 4.23 показан случай решения уравнения f(x) = ехр(х/2). Графики функций ясно показывают, что парабола пересекается экспонентой в двух точках. Однако функция NSolve отказывается решать такое уравнение и выдает сообщение о том, что оно является трансцендентным.
Таким образом, в данном случае наличие графического решения говорит о необходимости смены функции, с помощью которой до сих пор решались уравнения. Подходящей в данном случае является функция FindRoot, которая отыскивает одно решение вблизи заданной начальной точки. Применив ее дважды, нетрудно получить оба корня данного уравнения.
Рис. 4.23. Пример решения уравнения вида f(x) = ехр(х/2)
Приведенные примеры далеко не исчерпывают проблему графической визуализации решения и выбора методов решения. Однако они иллюстрируют возможности системы Mathematica в этой области и заостряют внимание на потенциальных проблемах. Для реализации численных расчетов в системе Mathematica отобраны наилучшие и наиболее эффективные численные методы из описанных в литературе, в том числе в отечественной.
Получение сразу нескольких корней
Многие уравнения с тригонометрическими функциями могут иметь периодические или близкие к ним решения. К сожалению, функции Mathematica, вычисляющие корни уравнений, не способны в этом случае дать сразу несколько корней. Однако ситуация тут далеко не безнадежна — приведенный ниже пример наглядно показывает это.
Пусть требуется в интервале изменения х от 0 до 20 найти все решения уравнения
График функции, представляющей левую часть уравнения, показан на рис. 4.24. Хорошо видно, что он пересекает ось х семь раз, то есть имеет в интересующем нас диапазоне семь корней.
Рис. 4.24. График функции х sin(x) + х/2 — 1 и пример вычисления всех ее корней в интервале изменения х от 0 до 20
Колебательная составляющая функции обусловлена входящей в нее функцией sin(x), которая имеет нули в точках 0, n, 2n, Зn. Однако, как видно из рис. 4.24, эти значения лишь приближенные, ввиду влияния других членов уравнения.
Ключевая идея получения всех корней уравнения заключается в поиске нужных решений с помощью функции FindRoot, которой последовательно подставляются различные начальные приближения. Однако вместо уже испытанного приема — поиска корней поодиночке — можно воспользоваться «таблицей» решений, используя функцию Table. Решение, приведенное под графиком функции на рис. 4.24, наглядно иллюстрирует возможности этого приема — найдены (или, вернее, уточнены) все семь корней исходного уравнения.
Получение неизвестных в явном виде
Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решения всех представленных выше примеров выглядят не совсем обычно — в виде списка подстановок. Это не позволяет использовать неизвестные в явном виде, например, для проверки решений или передачи найденных неизвестных в последующие вычислительные блоки. Однако от этого затруднения легко избавиться, если перед конструкций блока решения использовать выражение следующего вида:
Список переменных в этом выражении должен однозначно соответствовать списку неизвестных системы уравнений. Покажем этот прием в действии. Ниже приведено решение системы из трех нелинейных уравнений:
Обратите внимание на то, что вывод списка не дает полученных значений неизвестных. Это связано с тем, что переменные в блоке решения имеют ло-к(1лъный характер и за пределами блока их значения (в том числе неопределенные) сохранятся такими, какими они были до применения в блоке решения.
Теперь зададим решение в ином виде:
Как видите, на сей раз решение получено в виде списка с числами — явными значениями неизвестных. Можно обозначить их как а, Ь и с, получить список и даже использовать их отдельно:
Теперь можно проверить решение данной системы:
Полученный вектор правых частей системы совпадает с заданным, что свидетельствует о правильности решения. Разумеется, вместо нового списка для вектора решения можно было использовать и вектор .
Как решить систему уравнений в wolfram
Достаточно войти на страницу wolframalpha набрать в текстовом поле свой запрос и нажать на кнопку » clear: both»>
а чтобы узнать, какое расстояние между Москвой и Тель-Авивом, нужно ввести в поле
и вот вам результат:
Один из минусов сервиса Wolfram Alpha – это его англоязычность…так что если хотите задать вопрос системе придется писать его на английском языке. Даже неизвестно, появится ли русскоязычная версия этой поисково-вычислительной системы.
Основные команды для Вольфрам Альфа
(Команды вводятся в строку Вольфрама — например выше. Все команды заканчиваются нажатием Enter)
1. Решение уравнений, построение графиков
- Арифметические знаки плюс, минус, умножить, поделить +, — , *, / Примеры: 3*2, x*y, (a+b)/c
- Возведение в степень «x в степени а» x^a. Примеры x^a, x**a, (a+b)^2, (a+b)**2, (a+b)^(2x+1)
- Скобки. Действия в скобках ведутся первыми
- Функции .sin(x), cos(x), tan(x)=sin(x)/cos(x), cotan(x)=cos(x)/sin(x), sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x)
- Функции log(x), exp(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), cotanh(x)
- Корень квадратный из «х» sqrt(x) или x^(1/2)
Чтобы вычислить выражение, нужно его просто ввести. Например корень из 2 будет выглядеть как sqrt(2) или же 2^(1/2).
2. Чтобы решить уравнение, нужно просто его ввести
3. Чтобы построить график, нужно использовать команду plot
Например нарисуем с помощью Вольфрама функцию 2^(-x) cos(x). Это делается командой plot (график).
Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости (например для визуализации решения систем уравнений), при значении переменной x в интервале (A,B), нужно использовать команду
4. Чтобы собрать множители из двучлена (многочлена) f, наберите factor[f]
5. Чтобы развалить произведение f на слагаемые, используйте команду expand[f]
6. Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]
Например упростить «е в степени догарифм х»:
Simplify[ exp[ log[x] ] ]
Вольфрам альфа: интегралы
Как работать с Wolfram Alpha
Основные операции
- Сложение : a+b
- Вычитание : a-b
- Умножение : a*b
- Деление : a/b
- Возведение в степень : a^b
- 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
- (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).
Знаки сравнения
- Меньше : : >
- Равно : = или ==
- Меньше или равно : =
Логические символы
- И : &&
- ИЛИ : ||
- НЕ : !
Основные константы
- Число : Pi
- Число : E
- Бесконечность : Infinity, inf или oo
Основные функции
- : Sqrt[x]
- : x^(1/n)
- : a^x
- : Log[a, x]
- : Log[x]
- : cos[x] или Cos[x]
- : sin[x] или Sin[x]
- : tan[x] или Tan[x]
- : cot[x] или Cot[x]
- : sec[x] или Sec[x]
- : csc[x] или Csc[x]
- : ArcCos[x]
- : ArcSin[x]
- : ArcTan[x]
- : ArcCot[x]
- : ArcSec[x]
- : ArcCsc[x]
- : cosh[x] или Cosh[x]
- : sinh[x] или Sinh[x]
- : tanh[x] или Tanh[x]
- : coth[x] или Coth[x]
- : sech[x] или Sech[x]
- : csch[x] или Csch[е]
- : ArcCosh[x]
- : ArcSinh[x]
- : ArcTanh[x]
- : ArcCoth[x]
- : ArcSech[x]
- : ArcCsch[x]
Решение уравнений
Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].
- Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
- Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
- Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.
Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где — интересующая Вас переменная.
- Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
- x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
- x+y+z+t+p+q=9.
Решение неравенств
Решение в Wolfram Alpha неравенств типа 0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/d/9/3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png» />, полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].
- Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
- x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].
Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.
- Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
- x^2+y^3-5 =9.
Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений
Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.
Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x], ]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например , нужно ввести: Plot[f[x], , ].
Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x], ].
Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y], , ]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).
Математический анализ
Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.
Пределы
Для того, чтобы найти предел последовательности нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].
- Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
- Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].
Найти предел функции при можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].
Производные
Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Интегралы
Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: Integrate[f[x], ] либо Integrate f(x), x=a..b.
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Дифференциальные уравнения и их системы
Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).
Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.
Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.
Ошибки при работе с системой
Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач [1] . К примеру, если попытаться решить неравенство , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4) Примечания
Алгебра
Можно проводить факторизацию или раскрывать алгебраические выражения:
(Используйте CTRL + 6 для ввода степени.)
В Языке Wolfram символ == (два знака равенства) используется для проверки равенства:
Объединим алгебраические выражения с помощью == для формирования уравнения:
Функции, такие как Solve позволяют найти точные решения уравнений:
Для приближенных результатов используйте NSolve:
Систему уравнений можно передать функции в виде списка:
Найдем корни уравнения:
В случае если полином не так просто разложить на множители, то лучше использовать приближенные решения:
Функция Reduce сводит системы неравенств к простой форме:
Упрощенная форма может состоять из нескольких интервалов:
Функция NumberLinePlot — это удобный способ визуализации этих результатов:
Большое число уравнений и формул доступно через естественную форму ввода:
Как в вольфраме решить систему уравнений
Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений
В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.
Ключевые слова
Текст научной работы
Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.
Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в [1-5].
Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.
Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.
Пример 2. Решим уравнение y’=\frac
Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:
В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:
и будем интегрировать обе части уравнения:
Следовательно, общее решение уравнения примет вид
-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C
Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.
Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:
Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:
Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.
Читайте также
- Зинина А.И.
- Зинина А.И.
- Зинина А.И.
- Зинина А.И.
- Зинина А.И.
Список литературы
- Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
- Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.
- Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.
- Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.
- Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
- Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.
- Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.
Цитировать
Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 13.06.2022).
Поделиться
Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.
Wolfram|Alpha на русском
Математика. Статистика & Анализ данных в Wolfram|Alpha
Линейная алгебра в Wolfram|Alpha по-русски
Линейная алгебра – это обычно первый раздел, с которого начинается изучение высшей математики в вузах. На сегодня, к примеру, Решение систем линейных алгебраических уравнений — самый популярный пост тема в блоге ”Wolfram|Alpha по-русски”.
В блоге ”Wolfram|Alpha по-русски” теме линейной алгебры посвящен отдельный раздел, который называется Линейная алгебра.
Далее приводится список основных публикаций блога ”Wolfram|Alpha по-русски” на тему линейной алгебры. Эти публикации расположены не в хронологическом порядке, а так, как их рекомендуется прочитать:
Как в вольфраме решить систему уравнений
1. Решение рациональных, дробно-рациональных уравнений любой степени, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений.
Пример 1 . Чтобы решить уравнение x 2 + 3 x — 4 = 0, нужно ввести solve x^2+3x-4=0
Пример 2. Чтобы решить уравнение log32x = 2 , нужно ввести solve log(3, 2x)=2
Пример 3. Чтобы решить уравнение 25 x-1 = 0.2 , нужно ввести solve 25^(x-1)=0.2
Пример 4. Чтобы решить уравнение sin x = 0.5 , нужно ввести solve sin(x)=0.5
2. Решение систем уравнений.
Пример . Чтобы решить систему уравнений
нужно ввести solve x+y=5 && x-y=1
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».
3. Решение рациональных неравенств любой степени.
Пример . Чтобы решить неравенство x 2 + 3 x — 4 < 0, нужно ввести solve x^2+3x-4
4. Решение систем рациональных неравенств.
Пример. Чтобы решить систему неравенств
нужно ввести solve x^2+3x-4&& 2х^2 — x + 8 > 0
Знаки && в данном случае обозначает логическое «И».
5. Раскрытие скобок + приведение подобных в выражении.
Пример . Чтобы раскрыть скобки в выражении (c+d) 2 (a-c) и привести подобные, нужно
ввести expand (c+d)^2*(a-c) .
6. Разложение выражения на множители.
Пример . Чтобы разложить на множители выражение x 2 + 3 x — 4, нужно ввести factor x^2 + 3x — 4 .
7. Вычисление суммы n первых членов последовательности (в том числе арифметической и геометрической прогрессий).
Пример . Чтобы вычислить сумму 20 первых членов последовательности, заданной формулой an = n 3 +n, нужно ввести sum n^3+n, n=1..20
Если нужно вычислить сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, у которой первый член a 1 = 3, разность d = 5, то можно, как вариант, ввести a1=3, d=5, sum a1 + d(n-1), n=1..10
Если нужно вычислить сумму первых 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый член b 1 = 3, разность q = 5, то можно, как вариант, ввести b1=3, q=5, sum b1*q^(n-1), n=1..7
8. Нахожд ение производной.
Пример . Чтобы найти производную функции f(x) = x 2 + 3 x — 4, нужно ввести derivative x^2 + 3x — 4
9. Нахожд ение неопределенного интеграла.
Пример . Чтобы найти первообразную функции f(x) = x 2 + 3 x — 4, нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4
10. Вычисление определенного интеграла.
Пример . Чтобы вычислить интеграл функции f(x) = x 2 + 3 x — 4 на отрезке [5, 7],
нужно ввести integrate x^2 + 3x — 4, x=5..7
11. Вычисление пределов.
Пример . Чтобы убедиться, что
введите lim (x -> 0) (sin x)/x и посмотрите ответ. Если нужно вычислить какой-то предел при x, стремящемся к бесконечности, следует вводить x -> inf .
12. Исследование функции и построение графика .
Пример . Чтобы исследовать функцию x 3 — 3 x 2 и построить ее график, просто введите x^3-3x^2 . Вы получите корни (точки пересечения с осью ОХ), производную, график, неопределенный интеграл, экстремумы.
13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке .
Пример . Чтобы найти минимальное значение функции x 3 — 3 x 2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести minimize (x^3-x^2),
Чтобы найти максимальное значение функции x 3 — 3 x 2 на отрезке [0.5, 2],
нужно ввести maximize (x^3-x^2),
Похожие публикации:
- Как разбить ячейку на две в ворде
- Как pptx переделать в word
- Как акронисом разбить диск без загрузки
- Как безопасно извлечь жесткий диск