Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

EMBED

To add the widget to iGoogle, click here. On the next page click the «Add» button. You will then see the widget on your iGoogle account.

To embed this widget in a post on your WordPress blog, copy and paste the shortcode below into the HTML source:

For self-hosted WordPress blogs

To embed this widget in a post, install the Wolfram|Alpha Widget Shortcode Plugin and copy and paste the shortcode above into the HTML source.

To embed a widget in your blog’s sidebar, install the Wolfram|Alpha Widget Sidebar Plugin, and copy and paste the Widget ID below into the «id» field:

To add a widget to a MediaWiki site, the wiki must have the Widgets Extension installed, as well as the code for the Wolfram|Alpha widget.

To include the widget in a wiki page, paste the code below into the page source.

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

Проблема следующая.
В Mathematica 6.0 пытаюсь перемножить матрицы (для примера):

На хабре уже не раз упоминалась Mathematica и если вам хочется начать работать с ней, то эта статья для вас. Я расскажу об основных аспектах работы с нею и покажу несколько интересных нововведений из последних версий Wolfram Mathematica.

Wolfram Mathematica — это программное обеспечение, не только для математических вычислений, это гораздо больше: от моделирования и симуляции, визуализации, документации, до создания веб-сайтов. Mathematica обладает возможностью осуществлять вызовы функций и принимать вызовы с C, .NET, Java и других языков, генерировать C код, компилировать автономные библиотеки и исполняемые файлы.
Обо всех достоинствах Mathematica можно почитать на официальном сайте

Для начала работы с Mathematica вам необходимо её получить и установить на свой компьютер. Mathematica прекрасно работает на Windows, Mac, Linux.
Скачать и бесплатно попробовать Mathematica так же можно на оф. сайте.
Если же вы надумаете её купить, то цены на неё вполне приемлемые. Например для студента за семестровый вариант она обойдётся в $44.95. Для домашнего использования в $295. Если вы планируете использовать её для коммерческих целей, то наилучший вариант лицензии это Standard Edition (Вы получаете подписку на Premier Service и бесплатные обновления).

Изучение

Самая лучшая книга по Mathematica — это встроенный Help. Имеет огромную кучу туториалов и советов. Огромное множество примеров. Всё что вам может понадобится находится там. Это первое место где нужно искать нужную информацию. Однако, если вам нужно больше, в интернете огромное множество сообществ посвещённых Mathematica. (Например: mathematica.stackexchange.com).

Блокноты и Ячейки

Ячейки ввода – в них задаются команды, которые будут вычислены
Ячейки результата – в них выводится результат вычислений
Другие ячейки – ячейки с текстом, заголовки и все остальное

Нумерация ячеек идёт в том порядке в котором вы их запустили. Для того что-бы вычислить значение ячейки нажмите SHIFT+ENTER или правый ENTER, либо Evaluation -> Evaluate Cells.

Для того что-бы обратиться к значению последней вычисленной ячейке используйте знак %.

Бесконечная точность

Одной из замечательных особенностью Mathematica является концепция бесконечной точности. Если результатом вычислений является корень из двух, то она так и напишет.

Вы можете попросить округлить ответ так:

Или же добавить дробную часть (или просто точку) к числам в выражении:

Ввод формул

В Mathematica реализован удобный ввод формул. Но для начала вам могут пригодится палитры (На картинке справа находится Palettes -> Basic Math Assistant).

У каждой кнопочки на палитре, есть свой горячие клавиши. Например, что бы написать знак интеграла нужно нажать Esc int Esc.

Вот список наиболее часто используемых горячих клавиш:

CTRL+2 – Шаблон квадратного корня
CTRL+6 – Верхний индекс
CTRL+7 – Надстрочный символ
CTRL+- – Нижний индекс
CTRL+= – Подстрочный символ
CTRL+/ – Дробь
CTRL+2, затем CTRL+5 – Корень любой степени
ALT+ENTER – Создает новую ячейку
SHIFT+CTRL+D – Разбивает текущую ячейку
SHIFT+CTRL+M – Склеивает несколько ячеек

Выражения, Списки, Функции

Все что записано внутри ячеек является выражениями. Каждое выражение состоит из головы и списка. Например в выражение Power[2, 2]. В нём головой является Power, а списком 2, 2.
Даже 2+2 является выражением. Чтобы посмотреть как Mathematica интерпретирует ввод, есть функция FullForm:

Функция Hold просит математику не вычислять выражение. Обратной функция является Evaluate.

Списки в Mathematica создаются при помощи фигурных скобок: , что является сокращением от List[. ].

Для манипуляции со списками в Mathematica есть огромная куча функций. Всё что вам может когда-нибудь понадобиться уже есть там. Вам остаётся только найти нужную функцию.

Для того чтобы получить элемент списка есть функция Part, c сокращённым вариантом в виде двойных квадратных скобок [[. ]] либо с толстыми скобками (Esc [[ Esc).

Поскольку всё является выражениями (и списки тоже), мы может получить голову выражения таким вот способом:

Таким образом индекс первого элемента в списке это 1.

Так же есть возможность заменить голову любого выражения. Это делает функция Apply[head, expression]. Либо её сокращённый вариант @@.

В Mathematica есть несколько способов применить функции(головы) к выражениям. Это обычные квадратные скобки: f[x], префикс: f@x, постфикс: x // f

А так же инфикс: из x

Однострочное программирование

В Mathematica есть множество функций для обычного программирования, такие как For, If, Switch. Однако, их лучше не использовать без крайней необходимости. Так как практически всё тоже самое можно сделать в одну строчку при помощи специальных функций и их комбинированием (поначалу бывает сложно перестроиться на такой стиль программирования).

Вот хорошее видео демонстрирующее как работают некоторые из функций:

Динамические интерактивные вычисления

Одной из замечательнейших возможностью Mathematica, являются динамические вычисления. Они позволяют манипулировать данными и смотреть на то как динамически меняется результат.

Для динамических вычислений используются функции Dynamic, Manipulate и др.

Заключение

В статье я рассказал о основных аспектах работы в Mathematica. Есть также несколько других важных моментов, таких как паттерны, модули, ядра. О них я расскажу в следующий раз, если эта тема будет интересна вам.

Как перемножать матрицы

Перемножение матриц требует выполнения некоторого данные: число столбцов первой матрицы-множителя должно быть равно числу строк 2-й. Помимо того, эта операция не является коммутативной, то есть, итог зависит от порядка сомножителей.

Как перемножать матрицы

Инструкция

1. По определению матрица C, произведение матриц A и B, состоит из элементов с[i,j], всякий из которых равен сумме произведений элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы столбца j матрицы B. Это дозволено записать формулой. В формуле учитывается, что матрица A имеет размерность m x p, а матрица B – p x n. Тогда матрица C будет иметь размерность m x n.

Как перемножать матрицы

2. Разглядим пример. Перемножим матрицы A и B, указанные на рисунке. Ступенчато обнаружим все элементы матрицы C = AB.с[1,1] = a[1,1]*b[1,1] + a[1,2]*b[2,1] + a[1,3]*b[3,1] = 3*2 + 2*5 + 0*3 = 16c[1,2] = a[1,1]*b[1,2] + a[1,2]*b[2,2] + a[1,3]*b[3,2] = 3*1 + 2*4 + 0*2 = 11c[2,1] = a[2,1]*b[1,1] + a[2,2]*b[2,1] + a[2,3]*b[3,1] = 1*2 + 3*5 + 1*3 = 20c[2,2] = a[2,1]*b[1,2] + a[2,2]*b[2,2] + a[2,3]*b[3,2] = 1*1 + 3*4 + 1*2 = 15

Как перемножать матрицы

Обратите внимание!
Квадратные матрицы дозволено перемножать в любом порядке, но итог AB будет отличаться от BA.Если одна из матриц является диагональной и элементы, стоящие на ее диагонали равны, то в этом случае умножение ее на всякую квадратную соответствующей размерности коммутативно: AD = DA.

Перемешивание списка в Mathematica

Какой самый лучший / самый простой способ перемешать длинный список в Mathematica?

3 ответа

Да, это действительно так просто. По крайней мере, с версии 6.

До RandomSample был введен, можно использовать:

До того, как был представлен RandomSample, я интенсивно использовал приведенную ниже функцию MathGroup, хотя RandomSample на моей машине быстрее, по крайней мере, на одну величину.

Другая проблема, помимо производительности, заключается в том, что если один и тот же случайный реал попадет дважды (маловероятно, хотя и возможно), то порядок не даст эти два в случайном порядке.

В настоящее время я использую

Это для Mathematica 8. Combinatorica также имеет функцию RandomPermutation (более ранние версии).

Похожие публикации:

Кто в труде principia mathematica обосновал математику на аксиомах теории множеств и логики
Почему telegram занимает много места
Почему не сохраняется фильм в windows movie maker
Чем отличается archicad от autocad

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

10+ советов по написанию быстрого кода в Mathematica

Когда люди говорят мне, что Mathematica недостаточно быстро работает, обычно я прошу посмотреть код и часто обнаруживаю, что проблема не в производительности Mathematica, а в её не оптимальном использовании. Я хотел бы поделиться списком тех вещей, на которые я обращаю внимание в первую очередь при попытке оптимизировать код в Mathematica.

1. Используйте числа с плавающей точкой, и переходите к ним на как можно более ранней стадии.

Самая распространённая ошибка, которую я замечаю, когда разбираюсь с медленным кодом — задание слишком высокой точности для данной задачи. Да, неуместное использование точной символьной арифметики — самый распространенный случай.

У большинства вычислительных программных систем нет такого понятия, как точная арифметика — для них 1/3 это то же самое, что и 0,33333333333333. Это различие может играть большую роль, когда вы сталкиваетесь со сложными и неустойчивыми задачами, однако для большинства задач числа с плавающей точкой вполне удовлетворяют нуждам, и что важно — вычисления с ними проходят значительно быстрее. В Mathematica любое число с точкой и с менее чем 16 цифрами автоматически обрабатывается с машинной точностью, потому всегда следует использовать десятичную точку, если в данной задаче скорость важнее точности (например, ввести треть как 1./3.). Вот простой пример, где работа с числами с плавающей точкой проходит почти в 50,6 раза быстрее, чем при работе с точными числами, которые лишь затем будут переведены в числа с плавающей точкой. И в этом случае получается такой же результат.

То же самое можно сказать и для символьных вычислений. Если для вас не принципиальна символьная форма ответа и устойчивость в этой задаче не играет особой роли, то постарайтесь как можно раньше перейти к форме числа с плавающей точкой. Например, решая это полиномиальное уравнение в символьном виде, перед тем, как подставить значения, Mathematica строит промежуточное символьное решение на пять страниц.

Но если сперва выполнить подстановку, то Solve будет использовать значительно более быстрые численные методы.

При работе со списками данных следует быть последовательным в использовании действительных чисел. Всего лишь одно точное значение в наборе данных переведёт его в более гибкую, но менее эффективную форму.

2. Используйте Compile.

Функция Compile принимает код Mathematica и позволяет предварительно задавать типы (действительный, комплексный и т. д.) и структуры (значение, список, матрица и т. д.) входных аргументов. Это лишает части гибкости языка Mathematica, но освобождает от необходимости беспокоиться о том, «Что же делать, если аргумент в символьной форме?» и других подобных вещах. Mathematica может оптимизировать программу и создать байт-код для его запуска на своей виртуальной машине (возможна также компиляция в C — см. ниже). Не всё можно скомпилировать, и очень простой код может и не получить никаких преимуществ, однако сложный и низкоуровневый вычислительный код может получить действительно большое ускорение.

Использование Compile вместо Function даёт ускорение более чем в 80 раз.

Но мы можем пойти дальше, сообщая Compile о возможности распараллеливания этого кода, получая ещё лучший результат.

На моей двухъядерной машине я получил результат в 150 раз быстрее, чем в изначальном случае; прирост скорости будет ещё заметнее с большим количеством ядер.

Однако следует помнить, что многие функции в Mathematica, такие как Table, Plot, NIntegrate и ещё некоторые автоматически компилируют свои аргументы, так что вы не увидите каких-либо улучшений при использовании Compile для вашего кода.

2.5.… и используйте Compile для генерации кода на C.

Кроме того, если ваш код компилируется, то вы также можете использовать опцию CompilationTarget -> «C» для генерации кода на C, что автоматически вызовет компилятор C для компиляции в DLL и отправки ссылки на него в Mathematica. Мы имеем дополнительные издержки на этапе компиляции, но DLL выполняется непосредственно в процессоре, а не в виртуальной машине Mathematica, так что результаты могут быть еще быстрее (в нашем случае, в 450 раз быстрее, чем изначальный код).

3. Используйте встроенные функции.

Mathematica содержит много функций. Больше, чем обычный человек сможет выучить за один присест (последняя версия Mathematica 10.2 содержит уже более 5000 функций). Так что не удивительно, что я часто вижу код, где кто-то реализовывает какие-то операции, не зная, что Mathematica уже умеет их осуществлять. И это не только пустая трата времени на изобретение велосипеда; наши ребята основательно потрудились, создав и наиболее эффективно реализовав лучшие алгоритмы для различных типов входных данных, так что встроенные функции работают действительно быстро.

Если вы найдете что-то похожее, но не совсем то, то вам следует проверить параметры и необязательные аргументы — часто они обобщают функции и охватывают многие специальные и более отдалённые приложения.

Вот пример. Если у меня есть список из миллиона матриц 2х2, который я хочу превратить в список из миллиона одномерных списков из 4 элементов, то по идее самый простой способ будет использовать Map на функцию Flatten, применённую к списку.

Но Flatten знает, как самой решить эту задачу, если вы укажете, что уровни 2 и 3 структуры данных должны быть объединены, а уровень 1 чтобы не затрагивался. Указание подобных деталей может быть несколько неудобным, однако используя только одну Flatten, наш код будет выполнен в 4 раза быстрее, чем в случае, когда мы будем заново изобретать встроенные в функцию возможности.

Так что не забывайте заглянуть в справку перед тем, как вводить какой-то свой функционал.

4. Используйте Wolfram Workbench.

Mathematica прощает некоторые виды ошибок в коде, и всё будет спокойно работать, если вы вдруг забыли инициализировать переменную в нужный момент, и не нужно заботиться о рекурсии или неожиданных типах данных. И это здорово, когда вам нужно просто по-быстрому получить ответ. Однако подобный код с ошибками не позволит вам получить оптимальное решение.

Workbench помогает сразу несколькими способами. Во-первых, он позволяет лучше отлаживать и организовывать крупные проекты, а когда всё ясно и организованно, то значительно проще писать хороший код. Но ключевой особенностью в данном контексте является профайлер, который позволяет увидеть, какие строки кода используется в определённые моменты времени, сколько раз они были вызваны.

Рассмотрим в качестве примера подобный, ужасно неоптимальный (с точки зрения вычислений) способ получения чисел Фибоначчи. Если вы не задумывались о последствиях двойной рекурсии, то, вероятно, несколько удивитесь 22-м секундам для оценки fib[35] (примерно столько же времени потребуется встроенной функции для расчета всех 208 987 639 цифр Fibonacci[1000000000] [см. пункт 3]).

Выполнение кода в Profiler показывает причину. Главное правило вызывается 9 227 464 раз, а значение fib[1] запрашивается 18 454 929 раз.

Увидеть код таким, каким он является в действительности — может стать настоящим откровением.

5. Запоминайте значения, которые вам понадобятся в дальнейшем.

Это хороший совет для программирования на любом языке. Вот как это можно реализовать в Mathematica:

Она сохраняет результат вызова f для любого аргумента, так что если функция будет вызвана для уже вызванного ранее аргумента, то Mathematica не потребуется вычислять его снова. Тут мы отдаем память, взамен получая скорость, и, конечно, если количество возможных аргументов функции огромно, а вероятность повторного вызова функции с тем же аргументом весьма мала, то так делать не стоит. Но если множество возможных аргументов невелико, то это действительно может помочь. Вот этот код спасает программу, которую я использовал для иллюстрации совета 3. Нужно заменить первое правило на это:

И код начинает работать несравнимо быстро, и для вычисления fib [35] главное правило должно быть вызвано лишь 33 раза. Запоминание предыдущих результатов предотвращает необходимость неоднократно рекурсивно спускаться к fib[1].

6. Распараллеливайте код.

Всё большее число операций в Mathematica автоматически распаралливаются на локальные ядра (особенно задачи линейной алгебры, обработки изображений, статистики), и, как мы уже видели, по запросу могут быть реализованы через Compile. Но для других операций, которые вы хотите распараллелить на удаленном оборудовании, вы можете использовать встроенные конструкции для распараллеливания.

Для этого есть набор инструментов, однако в случае принципиально монопоточных задач использование одних лишь ParallelTable, ParallelMap и ParallelTry может увеличить время вычислений. Каждая из функций автоматически решает задачи коммуникации, управления и сбора результатов. Существует некоторые дополнительные издержки в отправке задачи и получении результата, то есть получая выигрыш во времени в одном, мы теряем время в другом. Mathematica поставляется с определенным максимальным количеством доступных вычислительных ядер (зависит от лицензии), и вы можете масштабировать их с gridMathematica, если у вас есть доступ к дополнительным ядрам. В этом примере ParallelTable дает мне двойную производительность, поскольку выполняется на моей двухъядерной машине. Большее количество процессоров дадут больший прирост.

Всё, что может сделать Mathematica, может быть распараллелено. Например, вы можете отправить наборы параллельных задач удалённым устройствам, каждое из которых компилирует и работает в C или на GPU.

6.5. Подумайте об использовании CUDALink и OpenCLLink.

С помощью GPU некоторые задачи могут в параллельном режиме решаться значительно быстрее. Не считая случая, когда для решения ваших задач требуются уже оптимизированные под CUDA функции, вам потребуется проделать небольшую работу, однако инструменты CUDALink и OpenCLLink автоматизируют для вас большое количество всякой рутины.

7. Используйте Sow и Reap для накопления больших объемов данных (но не AppendTo).

Из-за гибкости структур данных в Mathematica, AppendTo не может знать, что вы будете добавлять число, потому что вы можете точно так же добавлять документ, звук или изображение. В результате AppendTo необходимо создать новую копию всех данных, реструктуризованную для размещения прилагаемой информации. По мере накопления данных работа будет осуществляться всё медленнее (а конструкция data=Append[data,value] эквивалентна AppendTo).

Вместо этого используйте Sow и Reap. Sow передаёт значения, которые вы хотите собрать, а Reap собирает их и создаёт объект данных в конце. Следующие примеры эквивалентны:

8. Используйте Block и With вместо Module.

Block (локализация значения переменной), With (замена переменных во фрагменте кода на их конкретные значения с последующим вычислением всего кода) и Module (локализация имен переменных) представляют собой ограничивающие конструкции, которые имеют несколько различные свойства. По моему опыту, Block и Module взаимозаменяемы, по крайней мере в 95% случаев, с которыми я сталкиваюсь, но Block, как правило, работает быстрее, а в некоторых случаях With (фактически Block с переменными, доступными лишь для чтения) ещё быстрее.

9. Не перебарщивайте с шаблонами.

Шаблонные выражения — это здорово. Многие задачи с их помощью легко решаются. Однако шаблоны — это не всегда быстро, особенно такие нечёткие, как BlankNullSequence (обычно записывается как «___»), которые могут долго и упорно осуществлять поиск шаблонов в данных, которых там явно не может быть. Если скорость выполнения принципиальна, используйте чёткие модели, или вообще откажитесь от шаблонов.

В качестве примера приведу изящный способ осуществить сортировку пузырьком в одну строчку кода через шаблоны:

В теории всё аккуратно, но слишком медленно по сравнению с процедурным подходом, который я изучал, когда только начинал программировать:

Конечно, в этом случае следует использовать встроенную функцию Sort (см. совет 3), которая работает наиболее быстро.

10. Используйте разные подходы.

Одна из самых сильных сторон Mathematica — возможность решать задачи по-разному. Это позволяет писать код так, как вы мыслите, а не переосмысливать проблему под стиль языка программирования. Тем не менее, концептуальная простота не всегда есть то же, что и вычислительная эффективность. Иногда простая для понимания идея порождает больше работы, чем это необходимо.

Но другой момент заключается в том, что из-за всяких специальных оптимизаций и умных алгоритмов, которые автоматически применяются в Mathematica, часто трудно становится предсказать, какой из путей следует выбрать. Например, вот два способа расчёта факториала, но второй более чем в 10 раз быстрее.

Почему? Вы могли бы предположить, что Do медленнее прокручивает циклы, или все эти присваивания Set к temp занимают время, или ещё что-то не так с первой реализацией, но настоящая причина, вероятно, окажется довольно неожиданной. Times (оператор умножения) знает хитрый трюк с бинарным разбиением, который может использоваться, когда у вас есть большое количество целочисленных аргументов. Рекурсивное разделение аргументов на два меньших произведения (1 * 2 *… * 32767) * (32768 *… * 65536) работает быстрее, чем обработка всех аргументов — от первого до последнего. Количество умножений получается таким же, однако однако меньшее количество из них включают большие числа, потому в среднем алгоритм осуществляется быстрее. Есть много другого скрытого волшебства в Mathematica, и с каждой версией его всё больше.

Конечно лучший вариант в данном случае — использовать встроенную функцию (опять-таки совет 3):

Mathematica способна обеспечить превосходную вычислительную производительность, а также высокую скорость и точность, но не всегда одновременно. Надеюсь, что эти советы помогут вам сбалансировать зачастую противоречивые требования быстрого программирования, быстрого исполнения и точных результатов.

Все тайминги приводятся для 7 64-разрядной Windows PC, с 2,66 ГГц Intel Core 2 Duo и 6 Гб оперативной памяти.

Помимо этого краткого поста Джона Маклуна, мы рекомендуем вам ознакомиться с двумя видео, приведенными ниже.

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

В статье рассматриваются примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системе Wolfram Mathematica.

Ключевые слова

Текст научной работы

Системы компьютерной математики (Maple, Mathematica, MatLab, Derive и др.) применяются в различных областях науки. Они содержат процедуры для численных и аналитических расчетов, средства программирования, визуализации. В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смоленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Система компьютерной математики Wolfram Mathematica является одним из наиболее распространенных программных средств, которое позволяет выполнять численные, символьные вычисления, имеет развитую двумерную и трехмерную графику, а также встроенный язык программирования высокого уровня. Для знакомства с языком программирования Wolfram Language рекомендуется интернет-ресурс Wolfram Language & System «Documentation Center» (http://reference.wolfram.com/language/). Выбирая раздел, можно познакомиться с имеющимися командами для решения задач и с примерами их использования. Примеры использования Mathematica в решении геометрических задач приведены в [1-5].

Система Mathematica обладает обширными возможностями решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде. Для этого используется функция DSolve, в алгоритме которой реализовано большинство известных на сегодняшний день аналитических методов.

Пример 1. Решим дифференциальное уравнение и построим график решений при различных значениях постоянной.

Пример 2. Решим уравнение y’=\frac

Попытаемся решить уравнение с помощью функции DSolve:

В данном случае функция DSolve не может решить нелинейное уравнение. Поэтому запишем уравнение в виде:

и будем интегрировать обе части уравнения:

Следовательно, общее решение уравнения примет вид

-(-2+y^2)\cos y+2y\sin y=x-10\ln (1-x)+13\ln(2-x)+C

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение и построим поле направлений и график решения уравнения при различных значениях константы.

Построим таблицу решений, заменив С[1] на a, где a изменяется от -2 до 2 с шагом 0,5:

Отобразим два графика одновременно и покажем, что векторы поля направлений являются касательными к решениям дифференциального уравнения:

Система Wolfram Mathematica используется для решения дифференциальных уравнений не только в математике, но и актуальна в других научных областях. Ее можно применять и в механике, в частности, для решения различных постановок задач, где в качестве математических объектов используются дифференциальные уравнения. В работах [6,7] рассмотрены уравнения движения мембран и акустических сред в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Для их решения может быть использована система компьютерной математики Wolfram Mathematica.

Список литературы

Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов всероссийской конференции, Барнаул, 24 — 26 ноября 2015. — Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. С. 248-249.
Букушева А.В. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : Материалы Междунар. науч. конф. — Саратов : Издат. центр.»Наука», 2016. С. 105-107.
Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»». 2014. – С. 76-77.
Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Всеросс. научно-практ. конф. – Саратов: ООО «Издательский центр «Наука»», 2015. С.185-187.
Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
Вельмисова А.И. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с гибкими стенками в случае разрыва упругих свойств на одной из стенок // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.12. С. 136-140.
Вельмисова А.И., Вильде М.В., Кириллова И.В. Распространение и отражение гармонических волн в плоском акустическом слое с кусочно-неоднородными гибкими стенками // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2011. Т.11. №4. С. 68-73.

Цитировать

Зинина, А.И. Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений / А.И. Зинина. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 55. — С. 5-9. — URL: https://novainfo.ru/article/8754 (дата обращения: 13.06.2022).

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

И $\wedge$ : &&
ИЛИ $\vee$ : ||
НЕ $\neg$ : !

Основные константы

Число $\pi$ : Pi
Число $e$ : E
Бесконечность $\infty$ : Infinity или inf

Основные функции

: x^a

» />: x^(1/n)
: Log[a, x]
$\ln x$ : Log[x]
$\cos x$ : cos[x] или Cos[x]
$\sin x$ : sin[x] или Sin[x]
x» />: cot[x] или Cot[x]
$\sec x$ : sec[x] или Sec[x]
: ArcCos[x]
$\arcsin x$ : ArcSin[x]
x» />: ArcCot[x]
x» />: ArcCsc[x]
x» />: sinh[x] или Sinh[x]
x» />: coth[x] или Coth[x]
x» />: csch[x] или Csch[е]
x» />: ArcSinh[x]
x» />: ArcCoth[x]
x» />: ArcCsch[x]
[19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Решение уравнений

$f(x)=0$

Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции $f$ и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида $f(x,y. z)=0$ по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где $j$ — интересующая Вас переменная.

Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа $f(x)>0″ />, <img decoding=$ полностью аналогично решению уравнения $f(x)=0$ . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

$j$

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.

Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
x^2+y^3-5
x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

x^3+y^3==9&&x+y=1;
x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
Log[x+5]=0&&x+y+z

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида $f(x)$ , так и вида $f(x,y)$ . Для того, чтобы построить график функции $f(x)$ на отрезке был конкретным, например на прямоугольнике пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции $f(x,y)$ Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Plot[Sin[x^2+y^2], , ];
Plot[xy, , ].

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности при $x \to a$ можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции $f(x)$ нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], ]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции $f(x,y,z. t)$ напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где $j$ — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], ], где $j$ означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

D[x*E^x, x];
D[x^3*E^x, ];
D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
D[x/(x+y^4), ].

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции $f(x)$ нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл ,y^ . y^ ) = 0″ /> нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: , где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

y»’+y»+y=Sin[x];
y»+y’+y=ArcSin[x];
y»+y+y^2=0;
y»=y, y[0]==0, y'[0]=4;
y+x*y’=x, y[6]=2;
y»'[x]+2y»[x]-3y'[x]+y=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач. К примеру, если попытаться решить неравенство ; 2) \cup (3; 4)» />, в котором будет присутствовать точка 1, обращающая оба знаменателя исходного неравенства в 0. Так что весь риск и вся ответственность при использовании Wolfram|Alpha ложится на Вас. Скорее всего, данные недочеты будут скоро исправлены.

Разложение на множители

Например, разложить на множители

x 2 /3 — 3x + 12

factor x^2/3 — 3x + 12

и нажимаем равно (=).

Например, разложить на слагаемые

Partial fraction expansion(1-x^2)/(x^3+x)

используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series) или

Похожие публикации:

Как в ворде поставить запятую вверху слова
Как в ворде сделать сквозные строки в таблице
Как отформатировать текст по ширине страницы в ворде
Как переименовать гиперссылку в outlook

Wolfram mathematica умножение матриц: Matrices & Linear Algebra | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

Таловская средняя школа

10+ советов по написанию быстрого кода в Mathematica / Хабр

Перевод поста Джона Маклуна (Jon McLoone) «10 Tips for Writing Fast Mathematica Code».
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе.

Пост Джона Маклуна рассказывает о распространенных приемах ускорения кода, написанного на языке Wolfram Language. Для тех, кто заинтересуется этим вопросом мы рекомендуем ознакомиться с видео «Оптимизация кода в Wolfram Mathematica», из которого вы подробно и на множестве интересных примеров узнаете о приемах оптимизации кода, как рассмотренных в статье (но более детально), так и других.

1. Используйте числа с плавающей точкой, и переходите к ним на как можно более ранней стадии.

/3.). Вот простой пример, где работа с числами с плавающей точкой проходит почти в 50,6 раза быстрее, чем при работе с точными числами, которые лишь затем будут переведены в числа с плавающей точкой. И в этом случае получается такой же результат.

2. Используйте

Compile…

Использование Compile вместо Function даёт ускорение более чем в 80 раз.

2.5.… и используйте

Compile для генерации кода на C.

3. Используйте встроенные функции.

Так что не забывайте заглянуть в справку перед тем, как вводить какой-то свой функционал.

4. Используйте Wolfram

Workbench.

Увидеть код таким, каким он является в действительности — может стать настоящим откровением.

5. Запоминайте значения, которые вам понадобятся в дальнейшем.

Это хороший совет для программирования на любом языке. Вот как это можно реализовать в Mathematica:

6. Распараллеливайте код.

. Но для других операций, которые вы хотите распараллелить на удаленном оборудовании, вы можете использовать встроенные конструкции для распараллеливания.

6.5. Подумайте об использовании

CUDALink и OpenCLLink.

7. Используйте

Sow и Reap для накопления больших объемов данных (но не AppendTo).

Из-за гибкости структур данных в Mathematica,AppendTo не может знать, что вы будете добавлять число, потому что вы можете точно так же добавлять документ, звук или изображение. В результате AppendTo необходимо создать новую копию всех данных, реструктуризованную для размещения прилагаемой информации. По мере накопления данных работа будет осуществляться всё медленнее (а конструкция data=Append[data,value] эквивалентна AppendTo).

8. Используйте

Block и With вместо Module.

9. Не перебарщивайте с шаблонами.

10. Используйте разные подходы.

Конечно лучший вариант в данном случае — использовать встроенную функцию (опять-таки совет 3):

Все тайминги приводятся для 7 64-разрядной Windows PC, с 2,66 ГГц Intel Core 2 Duo и 6 Гб оперативной памяти.

Разработка больших приложений в Mathematica

Распространенные ошибки и заблуждения начинающих пользователей Mathematica

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Системы компьютерной алгебры

Аннотация: В данной лекции рассматриваются программы Mathematica и Maxima, позволяющие проводить обработку как числовой, так и символьной информации, а также осуществлять вычисления с большой степенью точности и оперировать огромными числами.

Ключевые слова: программные средства, тождество, выражение, программа, Windows, компьютерная алгебра, GNU, интерфейс, первообразная, значение, функция, MathCAD, mapl, описание системы, фирма, место, машинно-независимость, ядро, пользователь, вычисление, правильный ответ, algebraic, calculus, geometry, statistics, подпакет, сумма ряда, соответствие шаблону, аннулирование, simplify, expandability, polys, многочлен, plotting, HSB, hue, saturation, brightness, thickness, ‘dashed, tick, automatic, график функции, список переменных, equation, мнимая единица, бесконечное множество, натуральный логарифмы, приближенное решение уравнения, infinity, предел функции, аналитические функции, Series, производная функции, дифференцирование, вторая производная, определенный интеграл, матричная форма, определитель, inverse, transpose, транспонирование, линейное уравнение, умножение матриц, импликация, упрощение логического выражения, GPL, shell, меню, сеанс, оболочка, информация, метка, вывод, Command, регистр, запись, присваивание, kill, параметр, прерывание, DESCRIBE, имя функции, иррациональное число, non-numerical, COTS, ACO, divide-by-zero, gcd, обыкновенное дифференциальное уравнение, кратность, неопределенный интеграл, интеграл, divergent, determine, определитель матрицы, invertible, Алгебраическим дополнением, система линейных уравнений, коэффициентами системы, свободными членами, Единичная матрица, batch

intuit.ru/2010/edi»>В этой главе будут рассмотрены программные средства, позволяющие проводить обработку как числовой, так и символьной информации, а также осуществлять вычисления с большой степенью точности и оперировать огромными числами.

Большинство компьютерных программ, предназначенных для вычислений, работают только с числовыми выражениями. Как правило их результаты бывают приближенными, ведь при операциях с вещественными числами происходит их округление. В последнее время все большее распространение приобретают системы для научных и инженерных расчетов, избавленные от подобных недостатков. Они способны использовать в процессе вычислений математические теоремы и факты. Так, широко известное тригонометрическое тождество гласит, что sin 2 x+cos 2 x=1 для любого x. Ни один калькулятор не способен применить это тождество в процессе преобразований, в то время как такие программы, как Mathematica или Maxima, предназначенные для символьных вычислений, легко справляются с подобными задачами.

Там, где необходимо выполнить вычисления точно, либо осуществить аналитическое преобразование, например, упростить сложное математическое выражение, вычислить в символьном виде производную или первообразную заданной функции, разложить ее в ряд Тейлора, найти корни уравнения, заданного в достаточно общем виде и т. д., применяются так называемые системы компьютерной алгебры (системы символьных вычислений). Отметим также особую роль подобных систем в техническом и математическом образовании. Они позволяют проверить результаты громоздких математических расчетов и наглядно представить сложные математические объекты.

Мировым лидером среди подобного рода систем справедливо считается программа Mathematica. Ее версии доступны пользователям различных операционных систем, в том числе Windows и Linux. Следует отметить, что эта программа, заслуженно пользующаяся популярностью, стоит достаточно дорого.

Другой системой компьютерной алгебры, рассматриваемой в этом курсе, является Maxima. Эта программа распространяется под лицензией GNU, что позволяет рекомендовать ее широкому кругу пользователей. У каждой из этих двух программ есть свои сильные и слабые стороны. Удобный графический интерфейс является несомненным достоинством программы Mathematica, в то время как Maxima зачастую дает более корректные ответы. Так, например, при вычислении первообразной функции x n Maxima просит уточнить значение n, так как при n = -1 результатом является функция ln x, а при других n первообразная равна x n+1 /(n+1). Программа Mathematica для такой функции всегда в качестве первообразной выдает значение x n+1 /(n+1), хотя если в качестве функции задать 1/x, то получим верный результат — ln x. Другими представителями систем такого рода являются программы Mathcad и Maple, но в данном курсе они рассмaтриваться не будут.

Mathematica

intuit.ru/2010/edi»>Этот раздел посвящен описанию системы компьютерной алгебры Mathematica. Многие считают ее мировым лидером среди систем подобного класса. Разработкой этой программы занимается компьютерная фирма Wolfram Research, Inc. Число легальных пользователей программы Mathematica во всем мире превысило миллион человек. К сожалению, достаточно высокая для индивидуального пользователя нашей страны цена этой программы делает практически невозможным ее легальное использование в России.

Центральное место в системе Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций Kernel. Оно гарантирует идентичность результатов, полученных при одних и тех же вычислениях в системах Mathematica, установленных на разных платформах. В дальнейшем изложении мы будем рассматривать процесс работы с этой программой в ОС Linux.

Работа с системой происходит в диалоговом режиме: пользователь задает вопрос и получает на него ответ. Mathematica допускает вычисление и по заранее подготовленным программам, но в этом учебном пособии вопросы, связанные с программированием в системе Mathematica, не затрагиваются.

Следует отметить, что Mathematica позволяет решать корректно поставленные математические задачи, но вся ответственность за их формулировку и перевод на язык этой системы лежит на пользователе. Не понимая постановки задачи, невозможно получить правильный ответ.

Работа с выражениями

Для запуска программы наберите команду mathematica в командном окне, либо в стартовом меню выберите пункт Mathematica.

При старте открывается рабочее окно, в котором отображаются ввод и вывод программы. В верхней его части находится меню, позволяющее выполнять различные действия, в том числе сохранение текущей сессии в файле с расширением nb. Кроме основного окна в работе участвуют так называемые палитры. Если они не появились при старте, то для их открытия можно воспользоваться пунктом Palettes из меню File. Палитра Basic Input предоставляет набор кнопок для ввода наиболее употребительных символов, таких как корни, дроби, интегралы, буквы греческого алфавита и т. д. Палитра Basic Calculations содержит шаблоны для вычисления основных алгебраических функций.

Чтобы инициировать процесс вычисления после набора команды нужно одновременно нажать клавиши Shift и Enter (либо клавишу Enter на числовой клавиатуре справа). После завершения расчета программа присваивает имена вида In[1] и Out[1] исходному выражению и результату. Можно отменить показ имен, отключив в меню Kernel пункт Show In/Out Names.

Mathematica в качестве имен функций почти всегда использует их английские названия. Исключениями являются несколько наиболее употребимых функций: кроме N для определения численного значения, символ D используется для нахождения производной.

Дополнительную информацию о назначении той или иной функции в ходе работы с системой можно получить, используя следующие команды:

? Name — помощь по заданному слову Name;

?? Name — расширенная помощь по заданному слову Name.

Большинство функций программы Mathematica являются встроенными, т. е. становятся доступными сразу после загрузки системы. Кроме того, имеется набор так называемых пакетов расширения, содержащих специализированные функции для работы в той или иной области. Среди них Algebra, Calculus, DiscreteMath, Geometry, LinearAlgebra, Miscellaneous, Graphics, NumberTheory, NumericalMath, Statistics и некоторые другие. Каждый из пакетов содержит набор подпакетов, например, в пакет Algebra входят такие подпакеты, как InequalitySolve для решения неравенств, SymbolicSum для вычисления сумм рядов, Trigonometry для работы с тригонометрическими выражениями и другие. Для того чтобы сделать доступными функции, входящие в состав специализированных пакетов, следует их подключить командой типа

обратите внимание на использование обратных апострофов). Если загружаемый подпакет содержит несколько функций, то их перечень выводится на экран. При наличии в пакете только одной функции ее имя совпадает с именем пакета.

Mathematica всегда старается упростить введенное выражение. Если вы попробуете вычислить корень квадратный из двадцати, для чего после ввода соответствующего выражения нажмете Shift+Enter, то результатом окажется выражение, равное двум корням из пяти. Программа упростит выражение, оставив его в символьном виде. Для того чтобы получить численное значение выражения expr, следует использовать функцию N[expr] или N[expr, n], где n задает точность вычислений. По умолчанию выводится значение выражения с пятью знаками после запятой.

Для ввода выражений удобно пользоваться палитрой Basic Input, которая содержит шаблоны для ввода степеней, дробей, радикалов, греческих букв и т. п. При выборе соответствующего шаблона появляется возможность ввести нужные значения (место для ввода значений выглядит как небольшой квадратик).

Отметим некоторые особенности синтаксиса системы, используемого при записи арифметических выражений:

знак умножения может быть заменен пробелом;
имена встроенных функций начинаются с большой буквы;
параметры функций задаются в квадратных скобках, например Sin[2] ;
круглые скобки используются для того, чтобы выделить части выражений и изменить порядок выполнения операций;
intuit.ru/2010/edi»>фигурные скобки используются при задании списков, например, при перечислении уравнений, входящих в систему.

Раздел MMA Mathematica

Предупреждение: jsMath требует JavaScript для обработки математики на этой странице.
Если ваш браузер поддерживает JavaScript, убедитесь, что он включен.

Раздел ММА Mathematica

Примечание к вычислениям ME.MMA: матричная запись

Матрицы вводятся как списки списков, так как список является базовой структурой данных в системе Mathematica. Матрица представляет собой список строк, каждая из которых вводится как список. Mathematica использует фигурные скобки ((\ влево \ )) для разграничения списков. Итак, ввод

создаст 3 × 4 матрица с именем a, равная

Чтобы отобразить матрицу с именем «красиво» в Mathematica, введите MatrixForm[a] , и вывод будет отображаться со строками и столбцами. Если вы просто наберете , то вы получите список списков, например, как вы вводите матрицу в первом место.

Примечание к вычислениям RR.MMA: уменьшение строки

Если a — это имя матрицы в системе Mathematica, то команда RowReduce[a] выведет уменьшенную ступенчатую форму матрицы.

Примечание к вычислениям LS.MMA: Linear Solve

Mathematica решит линейную систему уравнений, используя LinearSolve[] команда. Входные данные представляют собой матрицу с коэффициентами переменных (но не столбец констант) и список, содержащий постоянные термины каждого уравнение. Это будет выглядеть немного странно, так как списки в матрице являются строками, а столбец констант также вводится как список и поэтому выглядит как строка, а не как столбец. Результатом будет единственное решение (даже если их бесконечно много), сообщается в виде списка или утверждения об отсутствии решения. Когда есть бесконечно много, сообщаемое единственное решение — это именно то решение, которое использовалось в доказательство теоремы RCLS, где все свободные переменные равны нулю, а зависимые переменные идут вместе со значениями из последнего столбца таблицы матрица с уменьшенной строкой.

Например, архетип A

\eqalignno< _ – _ + 2_ & = 1 & & \кр 2_ + _ + _ & = 8 & & \кр _ + _ & = 5 & & >

Чтобы запросить у Mathematica решение, введите

LinearSolve[\ \ <\<1,\kern 1.95872pt — 1,\kern 1.95872pt 2\>,\<2,\kern 1.95872pt 1,\kern 1.95872pt 1\>,\<1,\kern 1.95872 pt 1,\kern 1.95872pt 0\>\>,\ \<1,\kern 1.95872pt 8,\kern 1.95872pt 5\>\ ]

и вы получите единое решение

Позже мы увидим, как уговорить Mathematica дать нам бесконечно много решения для этой системы (Расчет ВФСС.ММА).

Примечание к вычислениям VLC.MMA: векторные линейные комбинации

Предоставлено Robert Beezer
Векторы в Mathematica представлены в виде списков, записываются и отображаются горизонтально. Например, вектор

будет введено и названо с помощью команды

Сложение векторов и скалярное умножение тогда очень естественны. Если и и v два списка одинаковой длины, тогда

вычислит правильный вектор и вернет его в виде списка. Если у и v есть разного размера, то Mathematica будет жаловаться на «объекты неравных размеров». длина.»

Примечание к вычислениям NS.MMA: Null Space

Учитывая матрицу A, Mathematica вычислит набор векторов-столбцов, диапазон которых является нулевым пространством матрица с помощью команды NullSpace[]. Возможно, не случайно этот набор точно \ влево \ _ \ вправо \ vert 1 ≤ j ≤ n — r \ вправо \>. Однако Mathematica предпочитает выводить векторы в обратном порядке. тот, который мы выбрали. Вот небольшой пример. 9> &B & = \left [\array< \text&0& 3 &−2\cr 0&\текст &−2 & 1 \кр 0&0& 0 & 0 > \right ] & & & & & & & >

Мы можем извлечь записи из B для построения векторов _ и _ согласно Теорема SSNS и описание N\kern -1. 95872pt \left (A\right ) как промежуток множества \left \<_,\kern 1.95872pt _\право\>. Вместо этого, если был установлен на А, затем выполнение команды NullSpace[a] дает список списков (столбец векторы),

Обратите внимание, как наш _ является вторым в списке. Чтобы «исправить» это, мы можем использовать команду обработки списка из Mathematica, Reverse[] следующим образом: 9 является вектор-столбцом. Мы могли бы захотеть найти все решения линейной системы ℒS\kern -1.95872pt\left (A,\kern 1.95872pt b\right ). LinearSolve[A, b] Mathematica вернет не более одного решение (Расчет LS.MMA). Однако, когда система непротиворечивым, то это единственное решение, о котором сообщается, является в точности вектором в, описано в формулировке теоремы VFSLS.

Векторы _, 1 ≤ j ≤ n − r из Теорема VFSLS – это в точности результат Mathematica NullSpace[] команда, хотя Mathematica перечисляет их в обратном порядке из выбранного нами порядка. Это те же векторы, что и _, 1 ≤ j ≤ n − r в теореме SSNS. С с производится с помощью команды LinearSolve[], а _ исходя из команды NullSpace[], мы можем использовать символический код Mathematica. команды манипулирования для создания выражения, описывающего все решения.

Начните с системы ℒS\kern -1.95872pt\left (A,\kern 1.95872pt b\right ). Ряд-уменьшить A (вычисление RR.MMA) и определите свободные переменные, определив неосновной столбцы. Предположим, ради аргумента, что у нас есть три свободных переменных _, _ и _. Затем следующая команда создаст выражение для произвольного решение:

Не забудьте поставить точку прямо перед командой NullSpace[] — она эффект создания линейной комбинации векторов в нулевом пространстве с использованием скаляры, которые являются символами, напоминающими переменные.

Здесь поможет конкретный пример. Предположим, мы хотим набор решений для линейной системы с матрицей коэффициентов А и вектор констант b,

Если бы мы применяли теорему VFSLS, мы бы извлекли компоненты с и _ из сокращенная по строкам версия расширенной матрицы системы (полученная с Mathematica, вычисления RR.MMA),

\влево [\массив< \text&2&0& 4 &−2&0&−5& 2\cr 0&0 &\text &−3 &1 &0 &3 &1 \кр 0&0&0& 0 & 0 &\text& 2 &−3 > \right ]

Вместо этого мы будем использовать эту расширенную матрицу в сокращенной ступенчатой форме только для определите свободные переменные. В этом примере мы находим несводные столбцы и видим что _, _, _ и _ бесплатны. Если мы имеем установить a на коэффициент матрица и б к вектору констант, то выполняем команду Mathematica,

\eqalignno< \text< LinearSolve[a, b]+\. NullSpace[a] > & & >

На выходе получаем вектор-столбец (список),

\eqalignno< \слева [\массив< 2 — 2\текст- 4\текст + 2\текст + 5\текст\кр \текст \кр 1 + 3\текст-\текст- 3\текст\кр \текст \кр \текст\cr −3 − 2\текст \кр \text < x7 >> \right ] & & >

Расчетная записка GSP.MMA: Процедура Грама-Шмидта

Mathematica имеет встроенную процедуру, которая выполняет тест Грама-Шмидта. процедура (теорема GSP). На вход подается набор векторов, который должен быть линейно независимым. Записывается в виде списка, содержащего списки, которые являются векторами. Пусть a будет таким списком списков, содержащих векторы _, 1 ≤ i ≤ p из утверждение теоремы. Вам нужно будет сначала загрузить правильный пакет Mathematica — выполните

Предоставлено Robert Beezer
Предположим, что a — это имя матрицы, хранящейся в системе Mathematica. Затем транспонировать [a] создаст транспонирование файла .

Примечание к вычислениям MM.MMA: умножение матриц

Если А и Б являются матрицами, определенными в системе Mathematica, то A. B вернет произведение двух матриц (обратите внимание на точку между матрицами). Если А — матрица и v является вектором, то A.v вернет вектор, являющийся матрично-векторным произведением А и с. В в каждом случае размеры матриц и векторов должны быть правильными. Некоторые примеры: \begin \<\<1,\kern 1.95872pt 2\>,\kern 1.95872pt \<3,\kern 1.95872pt 4\>\>.\<\<5,\kern 1.95872pt 6,\kern 1.95872pt 7\ >,\kern 1.95872pt \<8,\kern 1.95872pt 9,\kern 1.95872pt 10\>\> = \<\<21,\kern 1.95872pt 24,\kern 1.95872pt 27\>,\kern 1.95872pt \<47,\kern 1.95872pt 54,\kern 1.95872pt 61\>\>& \\ \<\<1,\kern 1.95872pt 2\>,\kern 1.95872pt \<3,\kern 1.95872pt 4\>\>.\,\kern 1.95872pt \\ > = \,\kern 1.95872pt \\> & \\ \<\<1,\керн 1,95872pt 2\>,\kern 1.95872pt \<3,\kern 1.95872pt 4\>\>.\ <5,\kern 1.95872pt 6\>= \ <17,\kern 1.95872pt 39\>& \end < массив>Понимание разницы между двумя последними примерами поможет объясняя, как работают некоторые конструкции Mathematica.

Примечание к вычислениям MI.MMA: Матрица, обратная

Если А — это матрица, определенная в Mathematica, то Inverse[A] вернет обратную матрицу А, если он существует. В случае, когда А не имеет обратной Mathematica скажет вам, что матрица сингулярна (см. Теорема NI).

Как сложить две матрицы в Mathematica?

Как добавить две матрицы в Mathematica? | 8 ответов из научных статей Экстракция (химия) Умножение матриц Обратное преобразование Лапласа Преобразование Лапласа Миграция клеток 8 найденных ответов .

Метод распределенной передаточной функции для решения задач теплопроводности в многослойных композитах 11 сентября 2008 г. • Численный расчет теплопередачи, часть B — основные принципы 12 цитирования

Мы также получили улучшенные алгоритмы для умножения более чем двух разреженных матриц.

Быстрое умножение разреженных матриц 14 сентября 2004 г. • 20 цитирования

Если две такие матрицы различаются хотя бы одним элементом, то они представляют разные векторные подпространства.

Биективные методы в теории конечных векторных пространств 01 июл 1984 • Журнал комбинаторной теории, серия A 21 Цитаты

Однако эти матрицы не позволяют контролировать

3D -миграционные исследования с использованием двухфотонных материалов. 206 цитирования

Этот метод позволяет достичь пределов количественного определения, необходимых для двух матриц.

Экстракция сверхкритической жидкостью в сочетании с иммуноаффинной очисткой для анализа следовых количеств органических загрязнителей в различных матрицах 01 ноября 1997 г. • Хроматография 23 цитирования

Мы показываем, что эти две матрицы определяют друг друга, и устанавливаем между ними несколько полезных взаимосвязей.

Замечание о двух матрицах, встречающихся в решении квазипроцессов рождения и смерти две квадратные нулевые гамильтоновы матрицы.

Каждая симплектическая матрица является продуктом четырех симплектических инволюций для больших матриц.

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

EMBED

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

Изучение

Блокноты и Ячейки

Бесконечная точность

Ввод формул

Выражения, Списки, Функции

Однострочное программирование

Динамические интерактивные вычисления

Заключение

Как перемножать матрицы

Инструкция

Перемешивание списка в Mathematica

3 ответа

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

10+ советов по написанию быстрого кода в Mathematica

1. Используйте числа с плавающей точкой, и переходите к ним на как можно более ранней стадии.

2. Используйте Compile.

2.5.… и используйте Compile для генерации кода на C.

3. Используйте встроенные функции.

4. Используйте Wolfram Workbench.

5. Запоминайте значения, которые вам понадобятся в дальнейшем.

6. Распараллеливайте код.

6.5. Подумайте об использовании CUDALink и OpenCLLink.

7. Используйте Sow и Reap для накопления больших объемов данных (но не AppendTo).

8. Используйте Block и With вместо Module.

9. Не перебарщивайте с шаблонами.

10. Используйте разные подходы.

Использование Wolfram Mathematica в решении дифференциальных уравнений

Ключевые слова

Текст научной работы

Читайте также

Список литературы

Цитировать

Поделиться

Как перемножить матрицы в wolfram mathematica

Основные константы

Основные функции

Решение уравнений

Решение неравенств

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Построение графиков функций

Математический анализ

Пределы

Производные

Интегралы

Ошибки при работе с системой

Разложение на множители

Partial fraction expansion(1-x^2)/(x^3+x)

Wolfram mathematica умножение матриц: Matrices & Linear Algebra | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

10+ советов по написанию быстрого кода в Mathematica / Хабр

1. Используйте числа с плавающей точкой, и переходите к ним на как можно более ранней стадии.

2. Используйте

2.5.… и используйте

3. Используйте встроенные функции.

4. Используйте Wolfram

5. Запоминайте значения, которые вам понадобятся в дальнейшем.

6. Распараллеливайте код.

6.5. Подумайте об использовании

7. Используйте

8. Используйте

9. Не перебарщивайте с шаблонами.

10. Используйте разные подходы.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Системы компьютерной алгебры

Mathematica

Работа с выражениями

Раздел MMA Mathematica

Раздел ММА Mathematica

Примечание к вычислениям ME.MMA: матричная запись

Примечание к вычислениям RR.MMA: уменьшение строки

Примечание к вычислениям LS.MMA: Linear Solve

Примечание к вычислениям VLC.MMA: векторные линейные комбинации

Примечание к вычислениям NS.MMA: Null Space

Расчетная записка GSP.MMA: Процедура Грама-Шмидта

Примечание к вычислениям MM.MMA: умножение матриц

Примечание к вычислениям MI.MMA: Матрица, обратная

Как сложить две матрицы в Mathematica?

Мы также получили улучшенные алгоритмы для умножения более чем двух разреженных матриц.

Если две такие матрицы различаются хотя бы одним элементом, то они представляют разные векторные подпространства.