Как построить график в maple по уравнению
Математический пакет Maple — среда для решения математических задач. Основы работы, команды. Построение графиков функций. Решение дифференциальных уравнений.
Пакет аналитических вычислений Maple является мощным инструментом решения математических проблем. Более двух тысяч эффективно реализованных команд позволяют решать задачи алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, теории графов и многие другие. Пакет включает развитую графическую библиотеку и язык программирования.
Интерфейс программы разделяется на несколько основных областей:
— строка основного меню;
— рабочая область (содержащая один или несколько рабочих листов);
Интерфейс Maple имеет следующие особенности:
— содержимое основного меню (включая доступность тех или иных пунктов) зависит от активного объекта и поэтому является контекстным;
— панель инструментов, дублирующая наиболее часто используемые пункты меню, состоит из 2-х частей — основной (верхняя часть) и контекстной (нижняя часть).
Рабочий лист (worksheet) является основным документом, в котором вводятся команды пользователя, и в который выдаются результаты работы пакета Maple. Maple является интерактивной системой, интерпретатором — каждая вводимая команда после нажатия на клавишу передается на выполнение ядру Maple. Для запуска на обработку текущей команды вместо клавиши можно левой клавишей мыши нажать кнопку с одним восклицательным знаком на панели инструментов. Далее при упоминании на необходимость нажатия на клавишу будет подразумеваться и возможность запуска команды с помощью указанной кнопки на панели инструментов.
В рабочем листе выделяются области ввода и области вывода. В области ввода пользователем вносятся команды и операторы, а также комментарии и текстовая информация. В полях вывода отображаются результаты выполнения введенных команд, включая сообщения об ошибках. При этом графика, выводимая Maple, также обычно отображается в области вывода, но может отображаться и в отдельном окне, если в установках установлен режим вставки графики в отдельный лист. Комментарии и текстовая информация ядром Maple не обрабатываются и предназначены только для разработчиков и пользователей программ.
Область ввода и соответствующая ей область вывода называется группой вычислений. На рабочем листе она отмечается квадратной скобкой слева.
В группе вычислений может содержаться несколько областей ввода и вывода: все команды и операторы в областях ввода одной группы вычислений обрабатываются системой за одно обращение по нажатию клавиши .
После обработки команды и помещения результата в область вывода группы вычислений Maple сформирует начало следующей группы и предложит ввести команду в том же самом режиме, который и был до обработки предыдущей команды. Стандартные настройки пакета Maple таковы, что команды вводятся шрифтом красного цвета, вывод осуществляется шрифтом синего цвета.
В области ввода вводимая информация может быть двух типов:
1. Команды и операторы Maple, которые обрабатываются пакетом: в строке рабочего листа выдается приглашение на ввод команд — символ > (больше). Команды могут вводиться либо в форме синтаксиса языка Maple в режиме «Maple Input» («Maple ввод»), либо в форме стандартной математической записи в режиме «Standard Math Input» («Стандартный ввод»). Во втором случае в строке рабочего листа после символа > выдается символ ? (вопросительный знак).
2. Текстовая информация, которая не обрабатывается Maple. Здесь может вводиться просто текст в режиме «Text» («Текст»), либо формулы в математической нотации в режиме «Standard Math» («Стандартная»), когда в строке рабочего листа выдается символ ? (вопросительный знак).
Таким образом, существует всего четыре режима ввода информации в Maple:
1. Ввод текстовой информации.
2. Ввод команд Maple в стандартном режиме.
3. Ввод текстовой математической символики.
4. Ввод команд Maple в виде математической символики.
Для изучения команд пакета Maple следует знать следующие правила набора команд:
1. Maple чувствителен к регистру вводимых символов, т.е. большие и маленькие буквы система воспринимает по-разному.
2. При вводе длинной команды, не помещающейся в одной строке, Maple автоматически переходит на следующую строку, считая при этом части команды единым целом.
3. В одной строке можно вводить несколько команд.
4. Признаком завершения каждой команды является символ : (двоеточие) или ; (точка с запятой). Если команда заканчивается символом ; (точка с запятой), то команда будет обработана, а результаты исполнения выданы в области вывода. Если же команда завершается символом : (двоеточие), то команда будет выполнена (!), но на экран результаты выполнения команды выданы не будут. Нельзя путать отсутствие результата в области вывода при работе в режиме ввода текста и в режиме ввода команд Maple.
5. Если необходимо, чтобы команды располагались по одной на строке, а Maple обрабатывал их в рамках единой операции, необходимо после ввода команды вместо нажать клавиши +. В этом случае введенная команда не обрабатывается, а курсор устанавливается на следующую строку.
6. Для запуска на исполнение клавиша может нажиматься не только в конце области ввода (т.е. когда курсор находится после всех введенных команд), но и в любом месте этой области ввода.
7. На результат выполнения предыдущей операции можно ссылаться с помощью символа % (процент). На результат выполнения «предпредыдущей» и «предпредпредыдущей» команды можно ссылаться с помощью символов %% и %%% соответственно. Это так называемые «операторы Дитто» («Ditto operators»), означающие, согласно словарю Вебстера, «вещи, подразумеваемые ранее или выше».
8. Комментарий в Maple начинается с символа # (решетка), он продолжается до конца команды. Текст, приведенный в комментарии, не обрабатывается.
Построение графиков функций.
В математике широко используются зависимости вида y(x) или у(х). Их графики строятся на плоскости в виде ряда точек y1(x1), обычно соединяемых отрезками прямых. Таким образом, используется кусочно-линейная интерполяция двумерных графиков. Если число точек графика достаточно велико (десятки или сотни), то приближенность построения не очень заметна.
Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде:
где f — визуализируемая функция (или функции), h — переменная с указанием области ее изменения, v — необязательная переменная с указанием области изменения, о — параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т. д.).
Самыми простыми формами задания этой функции являются следующие:
plot(f ,xrnin,xmax) — построение графика функции f, заданной только своим именем;
plot(f(x),x=xmin,xmax) — построение графика функции f(x),
Диапазон изменения независимой переменной х задается как xmin. xmax, где xmin и xmax — минимальное и максимальное значение х, .. (две точки) — составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Разумеется, имя х здесь дано условно — независимая переменная может иметь любое допустимое имя.
Помимо построения самой кривой у(х) или f(x) необходимо задать ряд других свойств графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это достигается применением параметров графика — специальных указаний для Maple. Графики обычно (хотя и не всегда) строятся сразу в достаточно приемлемом виде. Это достигается тем, что многие параметры задаются по умолчанию и пользователь, по крайней мере начинающий, может о них ничего не знать.
Технология работы с пакетом Maple
Автор: Вардомацкая Елена Юрьевна, ст. преподаватель кафедры математики и информационных технологий УО «Витебский государственный технологический университет».
· Общие сведения о СКМ Maple
Работа в СКМ Maple организована в диалоговом режиме: вопрос – ответ в отдельном блоке. Блок выделяется слева квадратной скобкой, длина которой зависит от размеров и количества исходных выражений (вопросов) и результатов вычислений (ответов). Строка ввода математических выражений имеет отличительный символ >.
Алфавит языка содержит 26 прописных и строчных латинских букв (от A до Z и от а до z), 10 арабских цифр (0 – 9) и 32 специальных символа. Идентификатор должен быть уникальным, начинаться с буквы и может содержать буквы, цифры и знак подчеркивания. Maple различает прописные и строчные символы.
Выражение задается с помощью функций и операторов, записываемых в командной строке. Результат вычислений (по умолчанию) возвращается в виде математических формул. Ввод выражения завершается символом фиксации конца выражения – точкой с запятой, если ответ выводится в ячейку вывода, или двоеточием, если ответ не выводится.
Выражения формируются из операторов и операндов. Операндами могут быть константы, переменные и значения функций.
В СКМ Maple могут использоваться следующие операторы:
| + — оператор сложения | -> — функциональный оператор |
| — — оператор вычитания | < — менее чем |
| * — умножение | > — более чем |
| / — деление | = — равно |
| **, ^ — возведение в степень | |
| ! – факториал | >= — более чем и равно |
| . – десятичная точка | <> — неравно |
| := — оператор присваивания | or – логическое ИЛИ |
| and – логическое И |
· Функции
Важным понятием СКМ Мaple является понятие функции. Функция возвращает результат некоторого преобразования исходных данных — параметров функции.
Встроенные функции Мaple хранятся в его ядре и пакетах расширений. Дополнительные функции из пакетов расширения должны применяться после объявления загрузки пакета с помощью команды ,
где name — имя применяемого пакета.
Практически все функции задаются именем и аргументом, в качестве которого может задаваться математическое выражение.
Математические функции(все они известны):
Sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arcos, arctan. exp. sqrt…
ilog10, ilog — целочисленные логарифмы (ilog10(25)=1);
ln, log, log10, sqrt, abs.
Некоторые целочисленные функции:
iquo (a,b) – частное от деления а на b;
irem (a,b) – остаток от деления а на b;
igcd(a,b) — наиб. общий делитель;
lcm – наименьшее общее кратное;
Функции с элементами сравнения:
ceil – наименьшее целое >=x;
floor – наибольшее целое
frac– дробная часть числа х;
trunc–меньшее целое, округленное в направлении к нулю;
round–округленное значение числа;
signum–функция знака (-1, 1);
Функции пользователя в СКМ Мaple могут задаваться следующим образом:
1. Присваивание (с помощью оператора присваивания :=) Пример:
2. C помощью оператора à в фомате:
Вызов функции осуществляется в виде:
name(x,y) , где x,y – список формальных параметров.
>restart;
>x:=o;y:=0;
>m(3,4);
>m(0,1);
>[x,y];
3. C помощью оператора unapply в фомате:
name:= unapply(expr, var1, var2. );
>restart;
>fm:=unapply(sqrt(x^2+y^2),x,y);
Для оценивания выражения, т.е. представления его в числовом виде существует функция evalf ( из группы eval).
Ее формат: evalf(expr, n)–вычисляет expr и возвращает вычисленное значение в форме с плавающей точкой, имеющей n цифр после десятичной точки. Параметр n является необязательным, при его отсутствии n=10.
>evalf(m);
>evalf(m,2);
Количеством выводимых после десятичной точки цифр можно управлять, задавая значение системной переменной Digits:
>Digits:=3;evalf(m);
· Типовые средства графики
В само ядро Maple встроено ограниченное число функций графики. Это, прежде всего, функция для построения двумерных графиков plotи функция для построения трехмерных графиков plot3d. Они позволяют строить графики наиболее распространенных типов в различных системах координат, как на плоскости, так и в трехмерном пространстве. Для построения графиков более сложных типов необходимо подключать пакеты расширений Maple.
Для построения двумерных графиков используется команда plot.
где function – функция, график которой строится;
variable_x– переменная, указывающая область изменения по горизонтали;
variable_y–переменная, указывающая область изменения по вертикали;
option – набор опций, задающий стиль построения графика функции.
При построении графиков функцию можно определять через переменную.
Для двумерной графики можно включать следующие опции:
— numpoints – изменение количества точек графика (по умолчанию=49);
— color – задание цвета кривой графика;
— title – добавление заголовка графика (например, title=”string”);
— coords – выбор системы координат, этот параметр задает 15 типов координатных систем. По умолчанию задана прямоугольная система координат;
— axes– задание типа осей координат (frame — рамка, boxed — прямоугольник, normal — ортогональные, none – без осей);
— thickness – толщина линии графика;
— xtickmarks, ytickmarks – управление числом меток на оси, т.е. задает минимальное число отметок по оси х и у соответственно;
— style – стиль построения графика (line – выводится интерполяционная кривая, point – выводятся точки);
— scalling – масштаб графика (constrained – сжатый, unconstrained — несжатый);
— size – размер шрифта в пунктах;
— symbol – тип точки графика в виде символа (box — прямоугольник, cross — крест, circle — окружность, point – точка, diamond — ромб);
— titlefont – шрифт для заголовка;
— labelfont – шрифт для меток (labels) на осях координат;
— view=[A,B] – определение максимальной и минимальной координат, в пределах которых график будет отображаться на экране, где A=[xmin..xmax], B=[ymin..ymax].
Примеры построения двумерных графиков различных видов
1. Построение графика неявно заданной функции sin(x)/x на интервале -15..15 (см. рис. 1).
Рис.1. График функции sin(x)/x
2. Построение графика функции sin 2 (x) определенной c помощью оператора присваивания, на интервале x=-5..5,y=0..0.5, черного цвета в виде совокупности точек (см. рис. 2).
>fun:=sin(x)^2;
3. Построение графиков трех функций sin(x),sin(x)/x, sin(x 3 /100) линиями трех цветов и трех типов (см. рис. 3).
> plot([sin(x),sin(x)/x,sin(x^3/100)],x=10..10, color = [black,blue,red],style=[line, line, point]);
Рис.3. График трех функций
Для построения трехмерных графиков Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d. Она может использоваться в следующих форматах:
plot3d(expr1, x = a..b, y = c..d, p),
plot3d(f, a..b, c..d, p),
plot3d([exprf, exprg, exprh], s = a..b, t = c..d, p),
plot3d([f, g, h], a..b, c..d, p).
Здесь p – параметры, с помощью которых можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков.
Трехмерными называют графики, отображающие функции двух переменных z(x,y). На деле трехмерные графики представляют собой объемные проекты в аксонометрии.
Пример построения трехмерного графика.Построить поверхность h 2 в цилиндрической системе координат (см. рис. 4).
> plot3d(h^2,a=-Pi..Pi,h=-5..5, coords=cylindrical, style =patch, color=sin(h));
Рис.4. Пример трехмерного графика
· Решение уравнений
Для решения уравнений, неравенств и их систем в СКМ Maple используется функция solve, которая возвращает последовательность решений.
где eqn – уравнение, неравенство или процедура;
var – имя переменной.
Уравнение и его решение можно представлять в виде отдельных объектов, отождествленных с определенной переменной.
> y:=x^2+2*x-3;# задание уравнения через переменную eqn
> rez:=solve(y,x);# решение уравнения и присвоение корней переменной rez.
> x1:= rez [1];# присвоение первого корня переменной х1
> x2:= rez [2];# присвоение второго корня переменной х2
> subs(x=x1, y);# подстановка первого корня в уравнение
> subs(x=x2, y);# подстановка первого корня в уравнение
Если решений нет или функция не может найти решение, то возвращается пустая последовательность NULL. В этом случае целесообразно использовать функцию fsolve, которая возвращает корень уравнения в форме вещественного числа.
eqn – уравнение, неравенство или процедура;
var – имя переменной.
Как видно из результата решения данного уравнения, корень представлен с использованием мнимой единицы, что не дает представления о его числовом значении, поэтому для его решения следует воспользоваться командой fsolve.
· Решение систем линейных алгебраических уравнений
Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve. Такое решение в силу простоты записи может быть предпочтительным. Для решения система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств, то есть с использованием фигурных скобок.
> subs(rez= ,sys); # подстановка результатов в СЛАУ
· Вычисление интегралов
Вычисление неопределенного интеграла обычно заключается в нахождении первообразной функции.
Для вычисления неопределенных интегралов Maple представляет следующие функции:
Int(f,x) – отложенного действия
int(f,x) — прямого действия
Для вычисления определенных интегралов Maple представляет следующие функции
Int(f,x=a..b, continuous) – отложенного действия;
int(f,x=a..b, continuous) — прямого действия;
Здесь f – подынтегральная функция,
x – переменная, по которой выполняются вычисления,
аиb –верхний и нижний пределы интегрирования.
continuous – необязательное дополнительное условие.
Для вычисления значения определенного интеграла необходимо использовать функцию evalf:
Если верхним пределом интегрирования является бесконечность, то в функции int она обозначается словом infinity.
>restart;
>Int(sin(x)/x, x=0..1.)=int(sin(x)/x, x=0..1.);
>Int(x*exp(-x),x=0..infinity)=int(x*exp(-x), x = 0..infinity);
· Вычисление производных
Вычисление производных функций f n (x)=df n (x)/dx n – одна из самых распространенных задач мат. анализа. Для ее реализации Maple6 имеет следующие основные функции:
Diff(a,x1,x2,…, xn) Diff(a,[x1,x2,…,xn])
здесь a– дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности функция f(x1, x2,…,xn)ряда переменных, по которым производится дифференцирование.
Функция Diffявляется инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного вычисления производной в документах.
В простейшей форме diff(f(x),x)вычисляет первую производную функции f(x)по переменной x. При nбольшем 1, вычисления производных выполняются рекурсивно, например diff(diff(f(x),x),y).Или же для вычисления производных высокого порядка можно использовать оператор $.Напримервыражениеdiff(f(x), x$4),вычисляющее производную четвертого порядка по x,эквивалентно по записи diff(f(x),x,x,x,x).
Построение поверхностей в Mathcad и Maple
Быстрое построение является наиболее легким способом построения поверхностей. Для этого необходимо:
На лист Mathcad ввести формулу z(x,y):=…;
Выбрать команду главного меню «Вставка», «График», выбрать вид графика «поверхность» на панели инструментов «Графики».
В шаблон трехмерного графика ввести имя функции без указания аргументов.
Построение поверхностей по матрице аппликат.
Самый «правильный» способ построения графика поверхности, заданной функцией от двух переменных z = f ( x , y ), является заполнение матрицы значениями этой функции. При этом строки и столбцы матрицы интерпретируются как абсциссы и ординаты. Пример:
Определение функции от двух переменных z(x,y):=cos (x . y )
Число линий для построения графика и масштаба N :=40 M :=40
Определение индексов i:=0..N j:=0..N
Определение массивов абсцисс и ординат x i := y j :=
В шаблон трехмерного графика вводим название массива аппликат:
Построение с помощью функции CreateMesh .
Функция CreateMesh относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат.
Формат вызова функции:
CreateMesh(F , x1, x2, y1, y2, xgrid, ygrid, mesh).
Параметры функции CreateMesh :
Mesh – количество линий в сетке функции;
F – вид функции (может быть или формула, или трёхмерный вектор, задающий каждую координату в параметрической форме, или три отдельные функции, задающие координаты в параметрическом виде);
— x 1 – нижняя граница переменной x ;
— x 2 – верхняя граница переменной x ;
— y 1 – нижняя граница переменной y ;
— y 2 – верхняя граница переменной y ;
— xgrid – количество точек переменной х;
— ygrid – количество точек переменной y .
В одной системе координат можно построить несколько поверхностей, для этого достаточно определить их, а затем в шаблон графика ввести их имена без аргументов через запятую:
Построение одного и того же графика в декартовой, цилиндрической
и сферической системах координат
Пусть задана какая-нибудь функция, например z(x,y)=const. В различных системах координат эта функция имеет различные графики. В декартовой системе координат это плоскость, параллельная плоскости Оху, в цилиндрической – прямой круговой цилиндр с основанием радиуса const , в сферической – шар радиуса const. Для изменения системы координат, надо по шаблону графика щелкнуть правой кнопкой мыши, в появившемся перечне выбрать «Свойства», затем «Данные QuickPlot» и указать нужную систему координат. Пример:
Для построения многогранников в Mathcad есть функция Polyhedron. Её можно использовать двумя способами:
1) по имени, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“имя многогранника”);
2) по коду, тогда обращение к функции будет Polyhedron(“#номер многогранника”).
Построение поверхностей вращения.
Для построения поверхностей вращения в Mathcad удобно использовать функцию CreateMesh.
Параметры функции CreateMesh:
— x1, y1,z1 – матрицы значений для каждой координаты;
— -5 – нижняя граница переменной u;
— 5 – верхняя граница переменной u;
— 0 – нижняя граница переменной v;
— 2π – верхняя граница переменной v;
— 30 – количество линий в сетке графика.
Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Ох:
z 1( x , φ ):= y ( x ) . sin ( φ )
Параметрические уравнения для поворота вокруг оси Oy :
х2( x , φ ):= x . cos ( φ )
z 2( x , φ ):= x . sin ( φ )
Пример: рассмотрим гиперболу y 2 – x 2 = 1. При вращении этой гиперболы вокруг оси Ох получается однополостный гиперболоид, при вращении вокруг оси Оу – двуполостный гиперболоид. Построим эти поверхности вращения:
Построение пространственных линий.
Линия в пространстве, рассматриваемая как след движущейся точки, представляется системой трёх уравнений: x = x(t); y = y(t); z = z(t), выражающих координаты точки t. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями пространственной линии. Для построения пространственных линий в Mathcad существует функция CreateSpace .
Функция CreateSpace относится к категории Vector and matrix (Векторы и матрицы), так как результатом работы функции будет матрица координат. Работает аналогично CreateMesh. Главное отличие в том, что параметрические уравнения должны быть функциями одной переменной, а не двух, как в CreateMesh. Вызов функции: CreateSpace(F, t1, t2, tgrid). Параметры функции:
— F – вектор параметрических уравнений координат;
— t1 – нижняя граница переменной;
— t2 – верхняя граница переменной;
— tgrid – число линий сетки; не обязательный параметр; чем больше этот параметр, тем более гладкая получается линия; если он не достаточно велик, линия получается с изломами.
Maple . Построение поверхностей и пространственных линий.
График поверхности, заданной явной функцией.
График функции можно нарисовать, используя команду plot3d(f(x,y), x=x1…x2, y=y1…y2, options) . Параметры этой команды частично совпадают с параметрами команды plot. К часто используемым параметрам команды plot3d относится light=[angl1, angl2, c1, c2, c3] – задание подсветки поверхности, создаваемой источником света из точки со сферическими координатами ( angl1 , angl2 ). Цвет определяется долями красного ( c1 ), зеленого ( c2 ) и синего ( c3 ) цветов, которые находятся в интервале [0,1]. Параметр style=opt задает стиль рисунка: POINT –точки, LINE – линии, HIDDEN – сетка с удалением невидимых линий, PATCH – заполнитель (установлен по умолчанию), WIREFRAME – сетка с выводом невидимых линий, CONTOUR – линии уровня, PATCHCONTOUR – заполнитель и линии уровня. Параметр shading=opt задает функцию интенсивности заполнителя, его значение равно xyz – по умолчанию, NONE – без раскраски.
Привер: построим поверхность x 2 + 4 z = 4. Так как z в первой степени, то его можно выразить и сделать функцию явной, получим, z = . Вводим в Maple:
with (plots) : plot3d( , x=-5..5, y = -5..5, grid = [25,25], axes=NORMAL)
График поверхности, заданной неявно.
Трехмерный график поверхности, заданной неявно уравнением , строится с помощью команды пакета plot: implicitplot3d(F(x,y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности и размеры рисунка по координатным осям.
Пример: построим поверхность Очевидно, что функция задана неявно, поэтому используем алгоритм, описанный выше.
График поверхности, заданной параметрически.
Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x = x ( u , v ), y = y ( u , v ), z = z ( u , v ), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде: plot3d([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=u1..u2, v=v1..v2) .
Пример: построить поверхность заданную параметрически: х = 2 . u + v , y = v . cos ( u ),
z = v . sin ( u ). Для начала зададим функции Х0, Y0, Z0, соответствующие функциям х, у, z.
График пространственных кривых.
В пакете plot имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически: . Параметры команды : spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=t1..t2) , где переменная t изменяется от t1 до t2 .
Пример: построить пространственную кривую, заданную параметрически х = arctg(t),
y = arcctg(t), z = t.
В Maple также существует возможность построения нескольких графиков одновременно. Для этого необходимо задать каждую поверхность, а затем использовать команду display. Пример:
Для построения поверхностей вращения в Maple есть функция Surface of revolution. Чтобы ей воспользоваться нужно во вкладке «Tools» выбрать раздел «Tutors», затем подраздел «Сalcu lus – Single Variabl е», функцию «Surface of revolution». В появившемся окне надо ввести функцию, интервал на котором будет произведено построение, выбрать ось вращения и параметры графика. Окно графика появляется при нажатии кнопки «Close».
Пример: построим поверхности, полученные вращением графика функции y=sin x на интервале от 0 до π вокруг оси Ох и Оу. Вызываем функцию Surface of revolution как описано выше. В поле «f(x)» вводим sin(x), указываем границы интервала, в поле Line of Revolution в одном случае выбираем Vertical, в другом Horizontal, нажимаем С lose .
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Исследовательская работа на тему «Исследование функции и построение графика по средствам программы Maple»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Международный конкурс по экологии «Экология России»
Доступно для всех учеников 1-11 классов и дошкольников
- Онлайн
формат - Диплом
гособразца - Помощь в трудоустройстве
Муниципальное автономное образовательное учреждение
“ Подшиваловская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза В.П.Зайцева”
Районная научно-практическая конференция школьников
“ Исследователи XXI века”
«Исследование функции и построение графика по средствам программы Maple »
Руководитель: Прозорова Ольга Александровна,
Глава 1. Графическое отображение функции …………………………4
Глава 2. Исследование функции и построение графика с помощью программы Maple …………………………………………………………9
Математика – один из важных и необходимых предметов, исследование функций и построение графиков — раздел в математике, который особенно интересен . Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной.
Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями. Я столкнулся с проблемой трудоемкости и затратности времени на исследование функции. Учитель на уроке рассказал, что существует такая программа Maple , с помощью которой можно исследовать и построить график функции.
Было принято решение провести исследование по возникшей проблеме. Актуальность выбранной темы была подтверждена в ходе обсуждения ее с учителем математики, который одобрил выбор темы исследования. Действительно, исследовать и построить график функции в программе Maple стало для меня очень заманчиво. Мы понимали, что исследование функции по средствам программы Maple будет иметь практическую значимость как для учащихся, так и педагогов.
С помощью программы Maple можно построить и исследовать функции .
Целью данной работы является исследование функции нахождение оптимальной про создание программы для исследования функции.
Объект: Исследование функции и построение графика
Предмет: Исследование функции и построение графика в программе Maple .
Выбрав тему данной работы «Исследование функции и построение графика по средствам программы Maple » я поставил следующие задачи:
— систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;
-графическое отображение функции;
-исследование функции по средствам программы Maple ;
-построение графика с помощью команды plot ();
-упрощение вычислительного процесса;
Практическая значимость . Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начала анализа помогает получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.
Графическое отображение функции
Геометрический смысл производной тангенса угла наклона касательной к графику функции в заданной точке. Касательная определяется как предельное положение секущей, проходящей через две точки графика при стремлении одной из них к другой. Все построения осуществляются на примере функции:
Вычислим производную в точке . Для этого зададим саму функцию и две точки ее графика с абсциссами, соответственно, и :
Команда slope () из пакета student вычисляет тангенс угла наклона прямой, проходящей через две заданные точки:
Теперь, если устремить h к нулю, то выражение t должно сходиться к числу, равному тангенсу угла наклона секущей в предельном положении, т.е. тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке . Зададим последовательность значений ,сходящуюся к нулю, и увидим к чему будет сходиться последовательность значений, определяемых выражением t :
Последовательность сходится, но необходимо узнать сходится ли она к значению производной функции в точке С помощью функции вычисляется производная:
Построенная последовательность сходится к значению производной в точке Уже ее пятнадцатый член имеет два точных знака после запятой. Точный результат получим, если вычислим предел выражения t при
Графические возможности Maple позволяют увидеть, как секущая приближается к касательной. Построим уравнение секущей как прямой, проходящей через две заданные точки с координатами () и соответственно ( Y является зависимой, а Х независимой переменными):
Выражаем зависимую переменную Y через независимую Х и представим в виде функции:
Построим в виде функции уравнение касательной:
Построим последовательность изображений, содержащих график функции, ее касательной и секущей при изменении параметра h , и отобразить ее в виде анимационной картинки командой :
Рисунок представляем первый кадр анимационного изображения графика функции и касательной к нему в точке x =1.
Рис.1
Рисунок представляет первый кадр анимационного изображения, на котором изображен график функции, касательная к нему в точке х=1 и секущая.
С помощью первой и второй производных можно определить характер изменения и поведения исходной функции. В точках равенства нулю первой производной функция может иметь локальный оптимум, а интервалы ее знакопостоянства определяют диапазоны возрастания и убывания исходной функции, тогда как знак второй производной в подозрительной точке на локальный экстремум определяет, будет ли это максимум (значение отрицательно) и минимум (значение положительно). Точки равенства нулю второй производной функции являются точками перегиба функции, т.е. точки, в которых функция изменяет вогнутость на выпуклость или наоборот. Все это можно наблюдать, если на одном рисунке отобразить графики функции и ее первых двух производных:
thickness=2, color=black, linestyle=[1,4,7]);
На этом рисунке график функции отображается сплошной линией, первой производной – штриховой , а второй производной – точечной линией. В точке х=0 первая производная равна нулю, и в этой же точке функция имеет локальный максимум, тогда как в точках , в которых опять-таки первая производная принимает нулевое значение, функция достигает локальных максимумов. В точках , вторая производная обращается в нуль, а функция в этих точках меняет выпуклость на вогнутость и наоборот.
Графическое отображение функции и необходимых производных дает представление о характере изменения функции и приблизительных значениях некоторых замечательных точек функции, но математика – наука точная и требует получения точных результатов, тем более что графическое представление ничего не скажет о асимптотах. На примере рассмотрим задачу, как средствами Maple следует исследовать функцию.
Исследование функции и построение графика с помощью программы Maple .
Исследовать функцию и построить ее график.
Схема исследования функции:
1.область определения функции и ее характерные точки (граничные, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат).
2.определение четности, нечетности или периодичности функции.
4.промежутки возрастания/убывания и постоянства функции.
5.локальные экстремумы, наибольшее и наименьшее значения.
6.промежутки выпуклости/вогнутости функции и точки перегиба.
7.вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Функция определена на всей числовой оси за исключением точки х=1, в которой ее знаменатель обращается в нуль. В этой точке функция имеет разрыв второго рода, так как
Найдем корни уравнения:
Функция имеет единственный корень в точке х=1/2
Для проверки на четность/нечетность функции необходимо вычислить ее значение при и сравнить со значением при . Если они равны, то функция четная, если не равны – нечетная:
Функция является функцией общего вида, так как тест на четность/нечетность не прошел и функция непериодическая:
Единственное числовое решение уравнения равно нулю.
Для определения промежутков знакопостоянства необходимо решить два неравенства :
Результаты решения неравенства: функция положительна в области (1/2,1)ᴜ(1, ) и отрицательна на интервале(- ,1/2)
Для нахождения участков монотонности функции следует вычислить ее первую производную и решить определить промежутки, где она положительна(на них функция возрастает) и отрицательна(на них функция убывает):
Результаты определения участков монотонности: на промежутке (0,1) функция возрастает, а на интервалах (- ,0) и (1, ) функция убывает.
Для определения подозрительных на экстремум точки, приравниваем к нулю первую производную и находим корни полученного уравнения:
Единственная подозрительная на экстремум точка х=0. Для определения, является ли эта точка минимумом или максимумом, нужно вычислить в ней значение второй производной функции.
Результат положительный, это говорит о том, что в точке х=0 функция имеет локальный минимум со значением:
Участки выпуклости и вогнутости определяем по знаку второй производной.
На интервале (- ,-1/2) функция выпукла, а на интервалах (-1,1) и (1, ) вогнута .
Для определения точки перегиба, находим корни уравнения y ”=0 и проверяем, меняет ли вторая производная знак при переходе через них:
Точка x =-1/2 является точкой перегиба.
Коэффициенты а, b уравнения наклонной асимптоты определяются через вычисление пределов:
Вычисляем предел функции:
У графика исследуемой функции одна горизонтальная асимптота ось абцисс: y =0. Для функции вертикальной асимптотой будет являтся прямая х=1
В табдице указаны характерные точки функции, в соответствии с которыми разбита на интервалы область определения функции. На каждом интервале указаны знаки первой и второй производных, а также характер изменения самой функции. В критических точках, входящих в область определения фнкции, вычислено ее значение и указан тип точки.
Проверкой послужит график функции построеный с помощью команды plot ():
Было получено точное решение, на графике можно увидеть «характер» изменения функции.
Работа над содержанием темы « Исследование функции и построение графика по средствам программы Maple » повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи болеем высокой сложности по сравнению с обязательным курсом с помощью программы Maple .
Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее:
В ходе исследования было рассмотрено графическое отображение функции;
Изучена литература по исследованию функции;
Создана программа для исследования функции и построению ее графика;
Анализируя планируемые результаты исследования, можно отметить, что основной результат работы создан и затраты по времени сократились.
А.В.Мотросов. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики
А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. –М.:Мнемозина, 2006.
Похожие публикации:
- Почему mathcad не строит график
- Почему не скачивается telegram
- Чем открыть tgs telegram файл
- Что значит удаленный аккаунт в telegram
Создать график неявной функции
Есть функция f:=exp(x)=7*(1-x)^2;
Нужно сделать ее график. Проблема в том ,что она задана неявно, и implicitplot тут не подходит, т.к. ему нужны х и у, а тут только х. Вариант с заданием двух функций exp(x) и 7*(1-x)^2, а потом же график ,невозможен. Нужно именно через f:=exp(x)=7*(1-x)^2
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Как построить вместе графики явной и неявной функции в Maple
Как отобразить в одном графике и явную функцию, и неявную?
График неявной функции
Не получается сделать что-то подобное такому.
Исследовать и построить график неявной функции
Исследовать и построить график неявно функции y=f(x) F(x,y)=0 F(x,y)=lnx + lny — 2x + y + 1
5184 / 3975 / 1379
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 11,991
Сообщение от igormel 
Есть функция f:=exp(x)=7*(1-x)^2;
Нужно сделать ее график
1 2 3
restart; f:=exp(x)-7*(1-x)^2; plot(f,x);
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Построить график неявной заданой функции
Что-то не строится именно этот. Но другие строятся. Что не так?
График кривых в неявной форме в Delphi
Помогите написать программу которая строит график кривых в неявной форме с помощью компонента.
Необходимо построить график при неявной зависимости
Здравствуйте. Задача выглядит следующим образом , в итоге необходимо построить зависимости функций.
Производная неявной функции
Функция у (х) задана неявно уравнением 3x-2y+ ln (x^2 * y^2) = 1. Известно, что у(1) =1. Найти.
Как построить график комплексной функции?
Выделить мнимую часть комплексной функции и построить через contourplot
подскажите как выделить мнимую и действительную часть функции а потом построить через contourplot.
Как построить график функции
Как построить график функции
Как построить график функции
как построить график функции
Как построить график функции арктангенс()
Прошу прощение, ошибку поздно заметил.
5184 / 3975 / 1379
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 11,991
Сообщение было отмечено VSI как решение
Решение
Сообщение от Veronika17
какой командой в maple можно построить график комплексной функции
Calling Sequence
complexplot(expr, t=a..b, xv, yv, options)
complexplot(f, a..b, xv, yv, options)
complexplot(L, xv, yv, options)
Parameters:
expr-algebraic; expression in parameter t defining a curve
t-name; curve parameter
f-procedure; procedure in one variable defining a curve
a, b-realcons; endpoints of parameter range
L-list; complex numbers specified as points
xv-(optional) range or name=range; view of horizontal axis
yv-(optional) range or name=range; view of vertical axis
options-(optional) sequence of equations; plot options
Calling Sequence
complexplot3d([expr1, expr2], x=a..b, y=c..d)
complexplot3d([f1, f2], a.. b, c.. d)
complexplot3d(expr3, z=a + b*I..c + d*I)
complexplot3d(f2, a + b*I..c + d*I)
Parameters
expr1, expr2-algebraic; expressions in parameters x and y
f1, f2-procedures; functions to be plotted
expr3-algebraic; expression in parameter z
a, b, c, d-realcons; endpoints of parameter ranges
Построение 3D графика
Добрый день! Очень нужна ваша помощь. Есть формула T := int(q0*erfc(-h*sqrt(k2)*(1+Z*tau1/(h*t))/sqrt(1+tau1/t))*exp(-r^2/(4*alpha(t+tau0)))/((16*cp*k1*alpha^(3/2)*sqrt(k2))*(t+tau0)*sqrt(t+tau1)), t = 0 .. 10)
Нужно построить 3D график
Строю через plot3D plot3d(T, Z = 0 .. S, r = 0.75 .. -0.75, shading = z, axes = boxed, numpoints = 1000, labels = [Глубина*проникновения*Z*см, Расстояние*от*центра*действия*электронного*луча*см, Температура*Т*], orientation = [-131, 62], title = «РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ:», grid = [25, 25])
Но тут возникает у меня проблема r меняется от 0.75..-0.75(это крайние нужные значения), и я не знаю как правильно запрограммировать, чтобы правильно менялось r. По программе r у меня известны , то есть есть значения r[1], r[2], r[3] и тд до r[z1-1]. Подскажите пожалуйста можно ли как-то запрограммировать так, чтобы r менялось как надо.
Также Maple отказывается строить график densityplot(T, Zz = 0 .. S, r12 = 0.75 .. -0.75, axes = boxed, color = magenta, titlefont = [TIMES, 16], title = «Распределение Температур», labels = [Расстояние*см, Глубина*проникновения*см]).
Скидываю программу, чтобы было наглядно понятнее. Прошу не обращать внимание на ее корявость, ведь мои навыки в Maple очень неочень( Очень надеюсь на вашу помощь!
Вложения
| программа.rar (245.4 Кб, 8 просмотров) |
Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Построение графика производной для каждого графика из 3 режимов
Дорогие друзья, прошу помочь доделать три программы. В каждой программе выводится по одному графику.
Построение графика графика квадратичной функции
Как построить график квадратичной функции? Построил только простую параболу, как ее сдвигать? .
Построение графика графика квадратичной функции
Как построить график квадратичной функции? Построил только простую параболу, как ее сдвигать? .
Графика Си. Построение графика функции
Построить график функции y=2x^3 — 4x и y=(sin x)^3+(cos x)^2 +1 на промежутке с шагом разбиения.
5184 / 3975 / 1379
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 11,991
Сообщение было отмечено VSI как решение
Решение
Yoriaka, немного подправил Вашу программу. Все считает и ВСЕ строит. Только надо иметь терпение! При Ваших параметрах строит относительно ДОЛГО. Поэтому я несколько уменьшил значения параметра grid=[N,N]. Чем больше N, тем дольше строит. (Maple v.16)
Вложения
| программа_NEW.rar (141.5 Кб, 20 просмотров) |
Регистрация: 04.04.2013
Сообщений: 16
Спасибо большое, а с первым графиком все-таки не знаете как можно сделать, может через процедуру какую, чтобы r менялось именно через r[1], r[2], r[3 ] и тд до r[z1-1]?
Вот эта вот выше описанная проблема: Но тут возникает у меня проблема r меняется от 0.75..-0.75(это крайние нужные значения), и я не знаю как правильно запрограммировать, чтобы правильно менялось r. По программе r у меня известны , то есть есть значения r[1], r[2], r[3] и тд до r[z1-1]. Подскажите пожалуйста можно ли как-то запрограммировать так, чтобы r менялось как надо.
5184 / 3975 / 1379
Регистрация: 30.07.2012
Сообщений: 11,991
Сообщение от Yoriaka
Но тут возникает у меня проблема r меняется от 0.75..-0.75(это крайние нужные значения), и я не знаю как правильно запрограммировать, чтобы правильно менялось r.
Если Вы внимательно посмотрите на процедуры, которые строят графики, Вы должны заметить запись r12=-0.75..0.75 На этом промежутке все правильно меняется.
Сообщение от Yoriaka
По программе r у меня известны , то есть есть значения r[1], r[2], r[3] и тд до r[z1-1].
Непонятно, зачем Вам строить по отдельным точкам, когда есть возможность ПЛАВНО построить графики на этом интервале (от -0,75 до 0,75)?