Как построить афх?
Построить афх
Кто нибудь может построить данную функцию. Необходимо выполнить D-разбиение, для чего надо.
Построить графики афх, ачх, фчх, лачх
Помогите пожалуйста построить графики в маткаде. Очень срочно надо! получается пока что как-то.
Нужно построить графики афх, ачх, фчх, лачх
Добрый вечер. Как то тут уже решали задачи по тау. Нужно построить графики афх, ачх, фчх, лачх. Кто.
АФХ
Как перейти от выходного напряжения к мнимым и вещественным осям для построения АФХ,используется.
6755 / 4830 / 2034
Регистрация: 02.02.2014
Сообщений: 12,922
H(w) — вектор комплексных чисел, не будет графика по комплексным числам
чтобы получить график, необходимо получить вектор вещественных чисел, это:
либо модуль комплексного числа |H(w)|,
либо аргумент комплексного числа arg(H(w)),
либо вещественная часть комплексного числа Re(H(w)),
либо мнимая часть вещественного числа Im(H(w))
Регистрация: 28.09.2012
Сообщений: 60
Повторюсь. Смотрите, примеры http://model.exponenta.ru/bt/bt_M2_0402.html
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь
Построение АФХ
Добрый вечер. Помогите построить амплитудно-фазовую характеристику звена с передаточной функцией .
Не строится АФХ и ЛЧХ
Проверьте пожалуйста работу, почему то не строятся АФХ и ЛЧХ. Афх вообще не строится, а ЛЧХ почему.
Как построить АЧХ в MathCad?
Да, кажется получилось. А вы не могли бы посмотреть на мои графики и прокомментировать их?
На задали построить АЧХ и ФЧХ комплексных передаточных функций по напряжению некоторых схем. Все получилось, но соответствуют ли они действительности — я не знаю. Вы не могли бы посмотреть?
Если интересно, можно скинуть Вам на почту и маткадовский файл. Напишите, мне 294783@mail.ru
Похожие вопросы
Как построить ачх и фчх в mathcad
Суть проблемы такова: не могу понять как построить графики АЧХ и ФЧХ для простенькой передаточной функции вида W(s)=42/(2s+43). Насколько я понял, мне сначала надо перейти к комплексному виду s=jw, а потом к частотному w=2пf, затем задаться диапазоном частот и построить график. Но данные преобразования не получаются.
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции
Здравствуйте. Смоделировал схему в симуляторе, а при моделировании в Mathcad получаются другие.
Построение АЧХ и ФЧХ передаточной функции типовых звеньев
помогите построить АЧХ и ФЧХ по выражению: w(p)=1/P(T*P+1)^2; т.к.Р=j*w, то.
Построение ФЧХ передаточной функции для 150 кГц
Имеется рассчитанная передаточная ф-я фазосдвигающего устройства W(p)=\frac
Найти ФЧХ из передаточной функции
Здравствуйте! Найти ФЧХ и АФХ из передаточной функции W(s)=дробь ———————.
дописал 1, теперь так, пишет что переопределяет всроенную единицу
дописал модуль, все еще пишет что переопределяет встроенную единицу
Как построить АЧХ передаточной функции в MathCAD
Доброго времени суток,требуется помощь, имеется передаточная функция ФВЧ и значения,которые.
Построение передаточной функции
Доброго времени суток! Прошу помочь с задачей в MathCad Необходимо получить передаточную.
Построение импульсной характеристики по передаточной функции
Помогите. Надо построить импульсную характеристику фильтра в маткаде, вот его передаточная.
Построение переходного процесса по заданной передаточной функции
Построить реакцию на единичный скачок звена с передаточной функцией W(s)=k/(Ts+1), где k=300 Т=0,1
Моделирование фильтра на функциональном уровне в системе mathcad в частотной и временной областях (расчет АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ в нормированном и денормированном видах)
Для моделирования на функциональном уровне будем использовать MathCad.
Операторную передаточную функцию можно записать в следующем виде:
где K(w) — амплитудно-частотная характеристика;
*(w) — фазо-частотная характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика определяется следующим образом:
Фазо-частотная характеристика определяется следующим образом:
Построим АЧХ и ФЧХ в MathCad:
Построим АЧХ фильтра прототипа нижних частот:
Рисунок 5.1 — АЧХ фильтра прототипа нижних частот в нормированном виде
Для построения характеристик ФВЧ, осуществим пересчет параметров по методике описанной во втором разделе.
Построим АЧХ ФВЧ.
Рисунок 5.2 — АЧХ ФВЧ в нормированном виде
Построим ФЧХ ВФЧ
Рисунок 5.3 — ФЧХ ФВЧ в нормированном виде
Построим характеристику рабочего затухания.
Рисунок 5.4 — ХРЗ ФВЧ в нормированном виде
Построим характеристику группового времени запаздывания
Рисунок 5.5 — ХГВЗ ФВЧ в нормированном виде
Построим импульсную и переходную характеристики
Рисунок 5.6 — ИХ ФВЧ в нормированном виде
Рисунок 5.7 — ПХ ФВЧ в нормированном виде
Чтобы построить данные характеристики фильтра в денормированном виде, необходимо получить параметры ФВЧ в денормированном виде. Для этого воспользуемся следующими выражениями:
Построим АЧХ ФВЧ.
Рисунок 5.2 — АЧХ ФВЧ в денормированном виде
Построим ФЧХ ВФЧ
Рисунок 5.3 — ФЧХ ФВЧ в денормированном виде
Построим характеристику рабочего затухания.
Рисунок 5.4 — ХРЗ ФВЧ в денормированном виде
Построим характеристику группового времени запаздывания
Рисунок 5.5 — ХГВЗ ФВЧ в денормированном виде
Построим импульсную и переходную характеристики
Рисунок 5.6 — ИХ ФВЧ в денормированном виде
Рисунок 5.7 — ПХ ФВЧ в денормированном виде
Анализ результатов вычислений показывает, что операция денормирования произведена верно, так как характеристики фильтра в денормированном виде отличны от характеристик в нормированном виде представляемой областью частот.
Разработка принципиальной схемы фильтра и расчет элементов
По условию нам задан ФВЧ восьмого порядка, принципиальная схема в данном случае состоит из последовательно соединенных четырех структур Рауха второго порядка.
Следовательно, представим следующим образом:
где — коэффициент для структуры Рауха второго порядка.
Рассчитаем фильтровое звено второго порядка.
Рисунок 6.1 — Структура фильтрового звена второго порядка
Перепишем выражение (4.5) с конкретными выражениями проводимостей, имеем:
Система (6.3) для одного каскада представляет собой три уравнения с пятью неизвестными, то есть с двумя степенями свободы. Для ее решения зададим два номинала Значения коэффициентов , были высчитаны ранее. Подставим номиналы в систему уравнений и рассчитаем значение .
Аналогично рассчитаем номиналы элементов второго, третьего и четвертого каскадов.
5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРА НА ФУНКЦИОНАЛЬНОМ УРОВНЕ В СИСТЕМЕ MATHCAD В ЧАСТОТНОЙ И ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТЯХ (РАСЧЕТ АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ В НОРМИРОВАННОМ И ДЕНОРМИРОВАННОМ ВИДАХ)
Для моделирования на функциональном уровне будем использовать Math CAD .
Операторную передаточную функцию можно записать в следующем виде:
где K(w)-амплитудно-частотная характеристика;
Амплитудно-частотная характеристика определяется следующим образом:
Фазо-частотная характеристика определяется следующим образом:
Построим АЧХ и ФЧХ в Math CAD:
Построим АЧХ фильтра прототипа нижних частот:
Рисунок 5.1 АЧХ фильтра прототипа нижних частот в нормированном виде
Для построения характеристик ПФ, осуществим пересчёт параметров.
Исходя из того, что
Получим выражения для пересчёта параметров:
В выражениях 5.5-5.13 , где и .
Построим АЧХ ПФ.
Рисунок 5.2 АЧХ ПФ в нормированном виде
Построим ФЧХ ПФ.
Рисунок 5.3 ФЧХ ПФ в нормированном виде
Построим характеристику рабочего затухания.
Рисунок 5.4 ХРЗ ПФ в нормированном виде
Построим характеристику группового времени запаздывания:
Рисунок 5.5 ХГВЗ ПФ в нормированном виде
Построим импульсную и переходную характеристики:
Так как импульсная характеристика — это реакция системы на д-функцию, выражение для её построения получим следующим образом:
Рисунок 5.6 ИХ ПФ в нормированном виде
Переходная характеристика — реакция системы на единичный скачок(на функцию Хевисайда), поэтому выражение для её построения получим следующим образом:
Рисунок 5.7 ПХ ПФ в нормированном виде
Чтобы построить данные характеристики фильтра в денормированном виде, необходимо получить параметры ПФ в денормированном виде. Для этого воспользуемся следующими выражениями:
В этих выражениях — денормированная частота, а .
Таким образом деномированные коэффициенты равны:
Построим АЧХ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.8 АЧХ ПФ в денормированном виде
Построим фЧХ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.9 ФЧХ ПФ в денормированном виде
Построим ХРЗ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.10 ХРЗ ПФ в денормированном виде
Построим ХГВЗ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.11 ХГВЗ ПФ в денормированном виде
Построим ИХ и ПХ ПФ в денормированном виде:
Рисунок 5.12 ИХ ПФ в денормированном виде
Рисунок 5.13 ПХ ПФ в денормированном виде
Анализ результатов вычислений показывает, что операция денормирования произведена верно, так как характеристики фильтра в денормированном виде отличны от характеристик в нормированном виде представляемой областью частот.
После определения выражений для АЧХ и ФЧХ необходимо осуществить построение их графиков с использованием соответствующих операций из программ Mathcad
Для этой цели необходимо на экран ЭВМ вывести основное окно Mathcad. Открыть окно «Просмотр» (View) и далее через строку «Панели» открыть полосу «Математика», аналогично тому, как это делалось при расчете матриц. Затем вывести иконку «Матрица» и « х = ».
Далее следует ввести обозначения для j, т.е. j , значения элементов: с : = 1· 10 -9 , R : = 1000 и изменения частоты, например f : = 0, 100…400000. где первое число 100 указывает шаг изменения f и может изменяться, а второе число – конечное значение f. Подбирая изменения этих чисел можно изменять наглядность представления графика. Установка для f многоточия (..) осуществляется из иконки матрицы « m..n » или кнопкой « ; ». Знак присвоения « : = » вводится с иконки
« х = » или кнопками «Shift + : ». Затем следует набрать формулу для комплексного коэффициента передачи (8.11). При наборе необходимо пользоваться обычными правилами для системы «Mathcad». Выделение элементов формулы производить клавишей «Пробел» или левой кнопкой мыши.
После набора формулы для следует построить графики АЧХ и ФЧХ. Для этой цели необходимо в иконке «Математика» нажать на пункт графика, а затем в появившейся иконке «Графика» выбрать также пункт изображения графика и нажать на левую кнопку мыши. В появившуюся заготовку графика в черную горизонтальную отметку ввести букву « f », а в отметку вертикальной оси набрать обозначение модуля комплексного коэффициента, т.е. | K(f) |. Знак модуля можно ввести клавиатуры кнопками « Shift + » или мышью с иконки «Матрица» знаком | X |.
Затем следует щелкнуть левой кнопкой мыши вне графика и он будет построен.
Для построения ФЧХ следует осуществить те же процедуры, что и для АЧХ, только вертикальную ось графика следует поименовать как , что обеспечит значения ФЧХ в градусах.
Изменение в масштабах осей можно осуществить через панель, вызываемую двойным щелчком мыши на графике. Лучше использовать по горизонтальной оси логарифмический масштаб « Х-АХiS, Log Scale », «мерная линейка», а по вертикальной оси линейный масштаб «Автомасштаб».
Изменения размера графиков можно осуществлять после их выделения рамкой (щелчок левой кнопкой мыши на графике) и перемещения отметок в виде квадратиков по осям через изображение двойной стрелки « ↔ », которое появляется при подводке указателя мыши к ним. После нажатия левой кнопки мыши график можно увеличить или уменьшить как по горизонтали, так и по вертикали.
Из полученного графика АЧХ следует определить граничные частоты (уровень 0,707) и коэффициент прямоугольности (нижний уровень 0,1).
Далее следует построить АЧХ и ФЧХ, используя программный симулятор EWB5.12 и сравнить их с АЧХ и ФЧХ, рассчитанными на основе Mathcad. Такую процедуру проводить по методическим указаниям п.7.
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2022 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.013 с) .
Похожие публикации:
- Где в snapchat сохраняются фото
- Где находится знак принадлежит в mathcad
- Для чего нужно приложение hangouts на андроид и можно ли его удалить
- Как в archicad обрезать объект
Как построить ачх и фчх по уравнению
3. Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ) ч. 3.1
Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!
Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.
В этом разделе мы будем изучать частотные характеристики. Тема сегодняшней статьи:
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ
Будет интересно, познавательно и жестко.
3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ
Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).
Формула синусоидального воздействия может быть записана как:
— сдвиг фазы (нередко называют — фаза);
— амплитуда;
т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).
Используем показательную форму записи функции единичного гармонического воздействия и отклика на это воздействие (рис. 3.1.1):
Определим связь между передаточной функцией и гармоничным воздействием, пользуясь показательной формой.
Рассмотрим звено уравнение динамики которого имеет следующий вид:
В показательной форме:
Запишем в показательной форме используя соотношения 3.1.1:
Подставим эти соотношения в (3.1.1) получим:
Поскольку (амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия), то можно записать:
если вспомнить, что в преобразования Лапласа , то:
Получаем выражение для передаточной функции
— Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)
Иногда называют частотной передаточной функцией.
Модуль АФЧХ= тождественно равен амплитуде выходного сигнала:
Сдвиг фазы выходного сигнала:
Обычно АФЧХ изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить в полярных координатах
Так же можно изображать в традиционных декартовых координатах:
Если использовать для представления W(s) форму W(s)=K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням s, (причем свободные члены равны 1), а К – общий коэффициент усиления звена (системы), то
Сдвиг фазы можно определить по виду многочленов и (см. формулу (3.1.9)) т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:
Постоим АФЧХ для «абстрактного» звена (системы) с передаточной функцией:
Подставляя в формулу различные значения , получаем набор векторов, на комплексной плоскости
Рассмотрим действительную и мнимую части полученных векторов Из рисунка 3.1.3 видно, что:
Амплитуда и сдвиг фазы рассчитываются для векторов, соответствующих положительным частотам и лежащих в 4 квадранте по формулам:
В общем случае для любых углов сдвига необходимо учитывать переход между квадрантами на плоскости. Тогда формула принимает вид:
где:
j = 0, 2, 3, 4. если вектор в I и IV квадрант;
j = 1, 3, 4, 4. если вектор в II и III квадранте.
Во всех технических системах отклик системы, как правило, отстает от входного воздействия, то есть сдвиг фазы всегда отрицательный. Исходя из формулы 3.1.10, степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s). Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена еще больше отстает по фазе от входного сигнала при увеличении частоты.
В предельном случае, если частота растет до бесконечности, мы можем вообще не получить выходного воздействия. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена стремится к 0, то есть lim A(ω→∞) = 0.
при замене на имеет зеркальное изображение.
Анализируя годографы АФЧХ при > 0 (сплошная линия на рисунке 3.1.3) и при Рисунок 3.1.4 – «Зеркальная» симметрия относительно оси ординат.
Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ, широкое распространение получили анализ логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ).
ЛАХ определяется как Lm(ω)=20lgA(ω).
Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные(ln), в теории управления (также и в акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела):
+1Бел – единица, характеризующая увеличение в 10 раз.
+1дБ (децибел) – соответствует увеличению в раз.
В формуле Lm(ω)=20lgA(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах. Происхождение множителя 20 таково: A(ω) – амплитуда, линейная величина, а мощность — квадратичная величина (например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность () пропорциональна квадрату напряжения, поэтому в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике).
Если больше на 20 дБ, то это означает, амплитуда больше амплитуды в 10 раз,
Окончательно: Lm(ω)=20lg│W(iω)│= 20lgA(ω)
Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в раз.
Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:
Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) =Lm(lg(ω)), например:
Наклон (– 40 дБ/дек) соответствует уменьшению амплитуды в 100 раз при увеличении частоты в 10 раз.
Рассмотренные характеристики Lm(ω), то есть ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).
Рисунок 3.1.10 – пример ЛАХ и ФЧХ для сложной системы
Пример 1
В качестве примера построим АФЧХ для демпфера, модель которого разобрана в этой статье. . Добавим на схему блок «Построение частотных характеристик», в качестве входа возьмем возмущающее воздействие, в качестве выхода — положение положение груза. Для наглядности иллюстрации примем в качестве выхода положение в миллиметрах (х1000), поскольку модель у нас размерная и результат получается в метрах уже достаточно маленьким примерно 0.004 метра. см. рис. 3.11
Параметры блока «Построение частотных характеристик» приведены на рисунке 3.1.12, для иллюстрации зависимости АЧХ и ЛАХ. Результат работы блока — график с выбранными параметрами — изображен на рисунке 3.1.13:
Анализ графика в линейном масштабе по ω чаще всего не очень удобен, поскольку весь график собирается в узкой области, а дальше график абсолютной амплитуды практически сливается с 0. Если мы хотим исследовать частоты хотя бы до 1000 Гц, мы увидим практически вертикальные и горизонтальные прямые. Изменения масштаба шкалы АЧХ и ω на логарифмический дает возможность лучше исследовать частотные характеристики (см. рис. 3.1.14).
На рисунке 3.1.14 представлены частотные характеристики демпфера в логарифмическом масштабе и иллюстрация соотношения между абсолютной величиной амплитуды АФЧХ и ЛАХ в децибелах.
Пример 2
Постоим частотные характеристики для чуть более сложной модели, а именно — для гидравлического демпфера, рассмотренного в предыдущей лекции.
Для начала посмотрим на модель в виде блоков.
Модель, подготовленная для анализа, представлена на рисунке 3.1.15. В отличие от исходной модели, описанной ранее, входное воздействие задается блоком «ступенька» с скачком с 0 до 1 на 10 секунде расчёта. В блоке «линейная функция» происходит пересчет сигнала «ступенька»:
0 — соответствует 200 бар в камере (конечное состояние в предыдущем примере)
1 — соответствует 400 бар в камере.
Это сделано для того, чтобы можно было подавать синусоидальный сигнал и не получать отрицательное давление в камере плунжера. Также для наглядности графика мы усиливаем выходное перемещение, переводя его из метров в миллиметры.
Частотные характеристики, получаемые в конце расчёта, приведены на рисунке 3.1.16. Видно что характеристики отличаются от простого пружинного демпфера (сравните с 3.1.14)
Блок «Построение частотных характеристик» осуществляет расчет характеристик для линеаризованной модели в окрестности заданной точки. Это означает, что частотные характеристики системы в разные моменты времени могут отличаться для нелинейных моделей. Например, в нашем случае характеристики в начале расчёта будут отличаться от характеристик, полученных в конце расчёта.
Для подробных и нелинейных моделей, блок «Построение частотных характеристик» может не работать из за наличия разрывов и нелинейностей в модели. Как например, для «точной» модели демпфера, которую мы проверяли в предыдущей статье. В этом случае возможно построить частотные характеристики непосредственно моделированием, путем подачи синусоидального сигнала с разной частотой и измерения отклика. В SimInTech для этого используется блок «Гармонический анализатор», который подключается ко входу модели и генерирует синусоидальное воздействие. В этот же блок направляется отклик системы, и производится вычисление необходимых параметров для построения различных характеристик системы, которые можно вывести на графики с помощью блока «фазовый портрет».
Модель гидравлического демпфера, собранного из библиотечных блоков SimInTech, представлена на рисунке 3.1.7
Расчеты с моделью показывают, что при сохранении общего вида графиков значения, полученные для «подробной модели», отличаются от линеаризованной модели (см. рис. 3.18 — 3.19)
Использование прямого моделирования для получения характеристик является более надежным способом и работает не только с линейными моделями, но также может быть применимо для построения характеристик некоторых реальных объектов, если их можно подключить к среде моделирования и воздействовать в реальном режиме времени. Однако затраты на вычисления значительно будут больше. Например, для получения характеристик демпфера пришлось выполнить процесс в 40 000 секунд модельного времени, на обычном компьютере это заняло порядка 35 минут. График процесса перемещения плунжера в процессе вычисления характеристик приведен на рисунке 3.1.20.
Блок «Гармонический анализатор» имеет выходы:
Re(w*t) – текущее значение действительной части амплитудно-фазовой частотной характеристики исследуемой системы;
Im(w*t) – текущее значение мнимой части амплитудно-фазовой частотной характеристики.
Это позволяет построить годограф исследуемой системы с помощью фазового портрета. (см. рис. 3.1.21)
Модели, использованные для иллюстрации в лекции можно взять здесь.
Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
Содержание:
Частотные методы анализа электрических цепей:
Частотные характеристики являются компонентами комплексных функций цепи.
Комплексная функция цепи (КФЦ)
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
Фазочастотная характеристика (ФЧХ)
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) (комплексная функция цепи)
где 
— вещественная частотная характеристика (ВЧХ); 
— мнимая частотная характеристика (МЧХ).
Комплексные функции простых цепей можно рассчитать непосредственно по закону Ома.
На рис.4.1 показаны АЧХ и ФЧХ, а на рис.4.2 — АФЧХ простейшей интегрирующей цепи (апериодического звена). По АЧХ определяют полосу пропускания
Полосой пропускания П называется диапазон частот, на границах которого мощность сигнала уменьшается в 2 раза, а амплитуда (действующее значение) напряжения (тока) — в раз по сравнению с максимальными значениями.
Полоса пропускания может измеряться в радианах в секунду или в герцах (Гц).
Например, для простой интегрирующей цепи полоса пропускания (см. рис. 4.1)
Для сложных цепей КФЦ рассчитывают по MKT или МУН. В табл. 4.1 приведены соотношения для расчета КФЦ, выраженные через определитель и алгебраические дополнения матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей.
Частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом
Примеры решения типовых задач:
Пример 4.2.1.
Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению для дифференцирующего RC-контура (рис.4.3, а), рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ.
Решение
1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.3, б).
2. Определим комплексное напряжение на выходе цепи в виде
Преобразуем полученное выражение, вынеся зa скобки в числителе и знаменателе члены, не содержащие 
. После преобразований получим 
Следовательно.
Величина 
называется постоянной времени цепи и измеряется в секундах. Величина 
имеет смысл коэффициента усиления по напряжению на постоянном токе, т. е. на частоте 
С учетом принятых обозначений
Для получения аналитических выражений АЧХ и ФЧХ запишем комплексную функцию в показательной форме.
Так как выражение (4.2) есть отношение двух полиномов, то удобно числитель и знаменатель записать отдельно в показательной форме, а затем разделить:
3. Из (4.3) запишем АЧХ и ФЧХ соответственно:
4. Построим график АЧХ и ФЧХ качественно по двум точкам. Для этого рассчитаем значения для крайних значений частот:
График АЧХ 
(рис. 4.4, а) является кривой, монотонно возрастающей от значения 
График функции ФЧХ 
можно построить качественно как сумму двух графиков (рис. 4.4). Из рис. 4.4,б видно, что оба слагаемых монотонно увеличиваются: первое от нуля до +90° и вносит опережение по фазе. Второе до -90° и вносит отставание по фазе. Но первое слагаемое растет быстрее, так как 
что следует из формулы (4.1). Поэтому функция 
следовательно, дифференцирующий RС-контур вносит опережение по фазе.
Исследуя функцию (4.5) на экстремум, можно показать, что она имеет максимум на частоте
где
Подставляя в (4.5), получим
Графики АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 4.4.
Пример 4.2.2.
Для электрической цепи, изображенной на рис. 4.5, определить АЧХ граничную частоту полосы пропускания. Рассчитать АЧХ, ФЧХ и построить графики, если параметры цепи:
Решение
1. Найдем комплексную функцию К(; (/ш) но формуле делителя напряжения
Преобразуем полученное выражение к виду
2. Рассчитаем граничную частоту. По определению
Из уравнения (4.9) получаем, что
3. Построим график функций.
Вычислим значения (4.7) и (4.8) для частот с дискретностью
Графики и таблицы выполним в среде Mathcad (рис. 4.6).
Пример 4.2.3.
Определить комплексный коэффициент передачи интегрирующей цепи (рис. 4.7, а), используя метод контурных токов. Построить в среде Mathcad график АЧХ, определить полосу пропускания.
Решение
1. Представим цепь комплексной схемой замещения (рис. 4.7, б). Данная цепь имеет два независимых контура. Ток в первом контуре замыкается через источник, который на схеме не изображен. Направления контурных токов выбираем одинаковыми.
2.Составим матрицы контурных сопротивлений для двух независимых контуров
3.Определим комплексный коэффициент передачи, используя соотношение, приведенное в табл. 4.1.
где сопротивление нагрузки равно
Подставляя найденные выражения, получаем
4. Рассчитаем для крайних значений частоты и
Объяснить полученные результаты можно, рассуждая так: на нулевой частоте (режим постоянного тока) сопротивление емкости бесконечно велико, ток в ней равен нулю, что эквивалентно разрыву этой ветви. При этом цепь становится резистивным делителем напряжения с передаточной функцией С ростом частоты емкостное сопротивление уменьшается. Если то и шунтирует сопротивление . При этом
По полученным выражениям строим график АЧХ (рис. 4.8) и среде Mathcad.
5. Определяем полосу пропускания. По определению
Поэтому из (4.11) имеем
После преобразований уравнения (4.12) получаем
Следовательно, цепь имеет полосу пропускания
На рис. 4.8 указана граничная частота
Данная цепь представляет собой фильтр нижних частот с полосой пропускания сигналы на частотах проходят с большим затуханием.
Пример 4.2.4.
Найти комплексную передаточную проводимость для цепи, изображенной на рис. 4.9, а методом узловых напряжений.
Определить АЧХ и ФЧХ, построить их графики в среде Mathcad.
Решение
1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.9, б). Схема имеет два независимых узла. В данном случае
2. Составим матрицу узловых проводимостей. При определении собственной проводимости узлов необходимо помнить, что собственная проводимость ветви, состоящей из последовательно включенных пассивных элементов, находится из соотношения , где — эквивалентное сопротивление ветви. Как найти проводимость ветви с последовательно включенными
В начале рассчитывают комплексное сопротивление этой ветви, , а затем комплексную проводимость
Составим матрицу проводимостей цепи 1 2
Как видим, общие проводимости узлов взяты со знаком минус, так как узловые напряжения направлены одинаково, к базисному yзлy.
3.Определим комплексную передаточную проводимость по соотношению, приведенному в табл. 4.1
где -комплексная проводимость ветви, по которой протекает ток ,так как по определению
Найдем алгебраические дополнения:
После подстановки найденных значений получим
Для определении АЧХ и ФЧХ запишем выражения для модуля и аргумента
4. Рассчитаем значения на частотах
Примечание. Эти значения можно найти без вывода аналитического выражения для Для этого достаточно воспользоваться эквивалентными схемами цепи на рассматриваемых частотах.
Учитывая, что получим две схемы, показанные на рис. 4.10. а, б, соответственно.
Для первой схемы:
Аналогично для второй схемы получим
При расчете сложных схем такой прием можно применять для проверки правильности полученного аналитического выражения КФЦ.
Из (4.13) видно, что функция наметен монотонной, но для качественного построения графика АЧХ (рис. 4.11) необходимо воспользоваться ПЭВМ, например построить функцию в среде Mathcad.
Пример 4.2.5.
Для интегрирующего RС-контура (рис.4.12,а) определить комплексный коэффициент передачи по напряжению, рассчитать АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ. Построить графики АЧХ, ФЧХ. АФЧХ, если
Решение
1. Составим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.12, б).
2. Определим из соотношения где
3. Для нахождения АЧХ и ФЧХ комплексную функцию представленную в виде отношения двух полиномов мнимой частоты записывают в показательной форме
Найдем модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) комплексной функции;
Для определения вещественной и мнимой частотных характеристик запишем КФЦ в алгебраической форме. Для этого умножим и разделим (4.14) на комплексно-сопряженный знаменатель:
4. Для приближенного построения графиков АЧХ, ФЧХ. АФХ найдем значения для трех значений частот: Результаты расчетов для удобства построения графиков сведем в табл. 4.2.
Для более точного и наглядного представления графиков воспользуемся ПЭВМ и математической средой Mathcad.
Графики характеристик приведены на рис. 4.13.
АЧХ представляет монотонно убывающую функцию (рис. 4.13, а).
ФЧХ принимает отрицательные значения, т.е. контур вносит фазовое отставание, а на частоте ФЧХ имеет экстремум (рис.4.13, б). Найдем из соотношения
Взяв производную, получим
Решая полученное уравнение относительно , найдем
Подставляя в выражение определим максимальное значение фазовой частотной характеристики.
АФХ (рис. 4.13, в) представляет собой полуокружность, расположенную в 4-м квадрате. Центр окружности находится на оси в точке с абсциссой, равной
Радиус окружности нетрудно определить из соотношения:
Отрицательное значение свидетельствует о том, что
принимает отрицательное значения, т.е. интегрирующий контур вносит запаздывание по фазе.
5. Проверка расчетов АЧХ. Воспользуемся эквивалентными схемами цепи для частот (рис. 4.14).
На частоте цепь разомкнута (рис. 4.14, а), поэтому
При схема представляет собой резистивный делитель напряжения (рис. 4.14, б) с коэффициентом передачи
Подставляя эти значения частот в аналитическое выражение (4.14) для получаем
Следовательно, расчет АЧХ выполнен верно.
Частотные характеристики последовательного колебательного контура
Основные теоретические сведения:
В последовательном колебательном контуре (рис. 4.21) возникает резонанс напряжений, если выполняется условие
Волновое сопротивление контура
Сопротивление контура при резонансе
Собственная добротность контура
Добротность нагруженного контура
Абсолютная полоса пропускания (рис. 4.22)
Относительная полоса пропускания
Для нагруженного контура:
Комплексные коэффициенты передачи по напряжению:
на активном сопротивлении
Примеры решения типовых задач:
Пример 4.3.1.
Последовательный колебательный контур (рис. 4.23) подключен к источнику напряжению. Контур настроен в резонанс.
Определить резонансную частоту, волновое сопротивление. добротность и полосу пропускания, ток и напряжения на элементах контура.
Построить АЧХ и ФЧХ по напряжению на конденсаторе в среде Mathcad.
Решение
1. Определяем резонансную частоту контура
2. Находим волновое сопротивление контура
3. Вычисляем добротность нагруженного контура
4. Определяем полосу пропускания
5. Рассчитываем ток и напряжения на элементах контура при резонансе
Напряжение на R равно
Напряжения на реактивных элементах
6. Рассчитаем АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения с емкости.
Учитывая (4.22), из (4.29) получим:
Для построения графиков АЧХ и ФЧХ, выполнения расчетов используем среду Mathcad. АЧХ, ФЧХ в виде графиков и таблиц приведены на рис. 4.24.
Следует заметить, что максимум А11Х достигается на частоте
т.е. при смещение максимума мало, тогда
Задача 4.3.2.
К последовательному колебательному контуру (рис. 4.25) с параметрами подключена нагрузка
Определить собственную добротность и добротность нагруженного контура, полосу пропускания нагруженного и ненагруженного контура.
Решение
1. Рассчитаем вторичные параметры ненагруженного контура:
2.Определим вторичные параметры наруженного контура. Так как сопротивление нагрузки активное, причем то согласно (4.15) и (4.16) резонансная частота и волновое сопротивление не изменяются.
Для определения добротности рассчитаем сопротивление , вносимое в контур за счет нагрузки, и построим эквивалентную схему нагруженного контура (рис. 4.25, б). Так как то
Вывод. Подключение нагрузки ухудшает добротность контура, что приводит к расширению полосы пропускания.
Пример 4.3.3.
На рис. 4.26, а изображена входная цепь приемника, а на рис. 4.26, б — ее эквивалентная схема. Известны входное сопротивление и входная емкость транзистора входного каскада УВЧ: . На резонансной частоте антенна наводит в контуре ЭДС Емкость конденсатора катушка индуктивности имеет
Определить абсолютную полосу пропускания и ток в контуре на резонансной частоте.
Решение
1. Определяем эквивалентную емкость контура
2. Рассчитываем резонансную частоту контура
3. Находим волновое сопротивление и сопротивление, вносимое в контур за счет транзистора усилителя (рис. 4.26, в):
4. Определяем добротность нагруженного контура
5. Рассчитаем абсолютную полосу пропускания нагруженного контура
6. Находим ток в контуре
Пример 4.3.4.
Рассчитать емкость последовательного колебательного контура, если резонансная частота контура полоса пропускания при сопротивлении потерь 0,5 Ом.
Построить АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения с индуктивности в среде Mаthcad.
Решение
1. Определим требуемую добротность контура
2. Рассчитаем емкость конденсатора. Из формулы найдем
3. Рассчитаем АЧХ и ФЧХ.
Воспользуемся комплексным коэффициентом передачи напряжения с индуктивности по формуле (4.28). Учитывая 4.22), запишем:
Вычислим значения функций на частотах:
Определим частоту, при которой АЧХ имеет максимум
Смещением частоты можно пренебречь.
Результаты расчетов АЧХ и ФЧХ б графическом и табличном видах приведены на рис. 4.27.
Частотные характеристики параллельного колебательного контура
Основные теоретические сведения:
Параллельный колебательный контур образуется путем параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора. Оба элемента, кроме основного эффекта (запасания энергии), имеют потери энергии. В расчетной схеме (рис. 4.29, а) тепловые потери в элементах учтены включением условных сопротивлений
где резонансная частота колебаний
Для реального контура поэтому при расчете можно полагать, что
При резонансе сопротивление контура является активным, поэтому ток в цепи и напряжение в контуре синфазны. Эквивалентные схемы цепи в режиме резонанса токов показаны на рис. 4.31, а, б.
Сопротивление параллельного колебательного контура при резонансе максимально и равно (без учета внешней цепи)
Добротность нагруженного контура меньше собственной добротности Ее можно выразить через сопротивления элементов цепи
или через их проводимости
Важными параметрами цепи при резонансе являются токи в ветвях и напряжение на контуре. Ток в обшей ветви (ток источника) при резонансе минимален и равен (см. рис. 4.31)
При этом напряжение на контуре максимально и равно
Токи в индуктивности и в емкости при резонансе равны по значению и противоположны по направлению. Они образуют замкнутый ток в контуре, равный
Частотные свойства параллельного колебательного контура обычно оценивают по нормированной АЧХ
где -обобщенная расстройка контура без учета внешних цепей; — фактор расстройки.
Параллельный контур, показанный на рис. 4.29, имеет по одной реактивности в ветвях. Такой контур называется простым или контуром I вида. Для уменьшения шунтирующего действия внешних цепей часто применяют сложные параллельные контуры.
На рис. 4.32, а, б, в показаны контуры II, (III и IV) видов, соответственно.
Главной особенностью этих контуров является то, что их резонансное сопротивление меньше резонансного сопротивления простого контура с такими же параметрами.
Сопротивление контуров (рис.4.32) при резонансе рассчитывается по формулам, соответственно:
где — коэффициенты включения:
Примеры решения типовых задач:
Пример 4.4.1.
Параллельный контур (см. рис. 4.29, а) подключен к источнику с параметрами Контур настроен в резонанс на длину волны, равную 1000 м.
Параметры катушки индуктивности:
Определить действующие значения тока в контуре, тока на входе цепи и напряжения на контуре при резонансе, абсолютную и относительную полосы пропускания контура, добавочное сопротивление необходимое для расширения полосы пропускания в 2 раза.
Решение
1. Определим резонансную частоту колебания
2. Рассчитаем волновое сопротивление
3. Определим сопротивление контура при резонансе
4. Найдем действующее значение тока на входе контура (см. рис. 4.31, а) при резонансе
5. Определим соответственную добротность контура
6. Найдем ток в контуре и напряжение на нем:
7. Определим добротность нагруженного контура
8. Рассчитаем абсолютную и относительную полосы пропускания:
9. Определяем добавочное cопротивление из (4.31)
Пример 4.4.2.
Рассчитать полосу пропускания колебательного контура (см. рис. 4.30, а).
Дано:
Определить сопротивление шунта, необходимого для расширения полосы пропускания до 10 кГц.
Решение
1. Рассчитаем волновое сопротивление и резонансную частоту контура:
2.Рассчитаем добротность цепи без шунта. Воспользуемся трехветвевой эквивалентной схемой цепи и соотношением (4.32). Найдем проводимость элементов схемы:
3. Определим полосу пропускания
4. Найдем сопротивление шунта, необходимою для расширения полосы до 10 кГц,
В этом случае добротность цепи должна быть равна
Тогда из (4.32) получаем
Следовательно, сопротивление шунта должно быть равно
Пример 4.4.3.
Параллельный колебательный контур с параметрами: подключен к источнику
Определить собственную добротность контура, добротность нагруженного контура, абсолютную полосу пропускания и граничные частоты полосы пропускания. Построить резонансную кривую по напряжению на ЭВМ.
Решение
1. Определим волновое сопротивление контура
2. Рассчитаем собственную добротность контура
3. Найдем сопротивление контура при резонансе
4. Определим добротность нагруженного контура по формуле (4.31)
5. Рассчитаем резонансную частоту
6. Найдем полосу пропускания
7. Определим граничные частоты полосы пропускания:
8. Построим резонансную характеристику контура но напряжению. Из выражения (4.33) запишем
Напряжение па контуре при резонансе
Для построения резонансной характеристики задаемся характерными значениями частот: Результаты расчетов в графическом виде представлены на рис. 4.33.
Пример 4.4.4.
Определить резонансную частоту, эквивалентное сопротивление при резонансе и добротность сложного контура (рис. 4.32, а), подключенного к источнику напряжения.
Дано:
Решение
1. Определим резонансную частоту и сопротивление параллельного контура при резонансе:
Сопротивление контура при резонансе
2. Рассчитаем эквивалентное сопротивление сложного контура II вида
3. Найдем добротность нагруженного контура II вида
Сравним значения с добротностью простого нагруженного контура
Вывод. За счет неполного включения индуктивности уменьшилось шунтирующее действие источника. Поэтому добротность сложного контура больше, чем простого с теми же параметрами элементов.
Частотные характеристики связанных колебательных контуров
Основные теоретические сведения:
С целью повышения коэффициента прямоугольности АЧХ контуров применяют связанные контуры последовательного и параллельного питания (рис. 4.37, а, б).
Частотные характеристики связанных контуров рассмотрим на примере системы из двух контуров.
Эквивалентные схемы связанных контуров
Во всех случаях систему связанных контуров можно представить в виде Т- или П-образной эквивалентной схемы (рис. 4.38).
Количественной характеристикой связи является сопротивление связи в Т-образной эквивалентной схеме (рис. 4.38,а) или проводимость связи в П-образной эквивалентной схеме (рис. 4.38, б).
Удобным параметром для оценки связи является коэффициент связи
В случае реактивной связи для Т-образной схемы
Для П-образной схемы
где — сопротивление (проводимость) связи; — сопротивления (проводимости) контуров, однотипные элементу связи. Для анализа связанных контуров удобно применять схемы, приведенные к первичному (рис. 4.39, а) или ко вторичному (рис. 4.39, б) контуру.
Для этого используют понятия вносимого сопротивления и вносимой проводимости Эти схемы представляют собой одиночные последовательные (параллельные) контуры с параметрами:
Резонансы в связанных контурах:
При настройке контуров в резонанс добиваются максимального тока (напряжения) во вторичном контуре.
Настройка связанных контуров может производиться различными способами, поэтому различают шесть резонансов. В табл. 4.3, 4.4 приведены виды и условия резонансов, способы настройки и соотношения для токов (напряжений) в связанных контурах последовательного (параллельного) питания.
Резонансные характеристики связанных контуров:
Для двух неидентичных связанных контуров: последовательного питания
где — параметр связи.
Если контуры идентичны, то обобщенная расстройка
На рис. 4.40 приведены резонансные характеристики при различных факторах связи.
Относительная полоса пропускания:
б) связь критическая
в) связь сильная
При достигается максимально возможная полоса пропускания
Примеры решения типовых задач:
Пример 4.5.1.
В системе двух индуктивно связанных контуров (см. рис.4.37,а) известны следующие параметры: коэффициент связи
Определить емкость при которой в системе наступает первый частный резонанс, если частота источника равна 500 кГц.
Решение
Емкость конденсатора определим но реактивному сопротивлению первого контура:
Определим реактивное сопротивление , первого контура из условия первого частного резонанса (см. табл. 4.3)
Peaктивное сопротивление второго контура
Рассчитаем полное сопротивление второго контура
Определим сопротивление связи контуров
Находим емкость первого контура
Пример 4.5.2.
Рассчитать емкости связанных контуров (см. рис. 4.37,а) и оптимальное сопротивление связи, если система настроена и полный резонанс. Определить токи, мощности в контурах при этом режиме, а также КПД системы.
Дано:
Решение
1. Определим емкость конденсатора , полагая, что
2. Сопротивление оптимальной связи при полном резонансе
3. Рассчитаем токи в первом и втором контурах при полном резонансе
4. Определим активные мощности в первом и втором контурах и КПД связанных контуров:
Пример 4.5.3.
На рис. 4.37, а показана система из двух идентичных связанных контуров с параметрами: Рассчитать полосы пропускания одиночного контура и связанных контуров при различной связи:
Решение
1. Определим полосу пропускания одиночного контура
2. Рассчитаем полосу пропускания системы связанных контуров:
1) определим параметр связи для
Таким образом при связь меньше критической При этом относительная полоса пропускания
Абсолютная полоса пропускания (рис. 4.41, резонансная кривая А = 0,5)
2) при параметр связи Таким образом, коэффициент связи является оптимальным, а связь критическая, система настроена в полный резонанс. Полоса пропускания в этом случае
3) если то параметр связи следовательно, связь больше критической.
Рассчитаем полосу пропускания для этого случая.
Вид резонансных кривых по току и полоса пропускания для критической и сильной связи показаны на рис. 4.41, кривые А = 1 и А = 2.
Пример 4.5.4.
Антенный контур (см. рис. 4.37,б) индуктивно связан с входным контуром усилителя высокой частоты. Оба контура настроены в резонанс на частоту принимаемого сигнала. В антенном контуре наводится
Дано:
Входное сопротивление УВЧ считать бесконечно большим.
Определить емкости и добротности контуров, их взаимную индуктивность, а также ток и напряжение на емкости во вторичном контуре.
Решение
1.Емкости контуров определим из формулы резонансной частоты. Емкость конденсатора первого контура
Емкость конденсатора второго контура
2. Рассчитаем волновое сопротивление контуров:
3. Рассчитаем добротности контуров и параметр связи:
4. Определим взаимную индуктивность двух связанных контуров
5. Рассчитаем ток во вторичном контуре. Известно (см. табл. 4.3), что при полном резонансе
Тогда, учитывая, что контуры настроены в резонанс, то из (4.34) получаем
Оба контура по условию настроены в резонанс, поэтому расстройки равны нулю:
С учетом этого рассчитаем ток во втором контуре
6. Найдем напряжение на конденсаторе вторичного контура
Пример 4.5.5.
На рис. 4.42 приведена схема одного каскада УПЧ радиоприемника, в котором избирательность обеспечивается двумя связанными контурами с емкостной связью. Оба контура настроены в резонанс на промежуточную частоту
Эквивалентная схема этого каскада (рис. 4.43) имеет следующие параметры:
Определить емкости и добротности контуров, емкость связи, напряжение на емкости во вторичном контуре, а также полосу пропускания каскада УПЧ.
Решение
1. Из формулы резонансной частоты найдем емкость первого контура. С учетом влияния выходной емкости транзистора и емкости монтажа получаем
Емкость второго контура с учетом влияния входной емкости транзистора и емкости монтажа
2. Определим емкость связи
3. Рассчитаем добротности нагруженных контуров при отсутствии связи между ними. Для расчета воспользуемся формулой (4.31)
4. Рассчитаем параметр связи
5. Рассчитаем напряжение на втором контуре. Известно (см. табл. 4.4), что при полном резонансе
Тогда, учитывая, что контуры настроены в резонанс из (4.35) получаем
Найдем проводимость контуров
6. Рассчитаем полосу пропускания каскадов УПЧ. учитывая, что А = 1,2.
Частотные методы расчета и построения переходных и установившихся процессов в электрических цепях
Основные теоретические сведения:
Зная частотную характеристику электрической цепи можно определить ее выходную величину при подаче на вход синусоидального (гармонического) сигнала. Действительно, если на вход цепи подано синусоидальное напряжение комплексное изображение которого то в установившемся режиме комплексное изображение выходного напряжения
где амплитуда и сдвиг по фазе выходных колебаний соответственно.
С помощью частотной характеристики электрической цели можно не только определить выходную величину цепи в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии, но и найти реакцию цепи в переходном процессе на произвольное воздействие . Действительно, представляя это воздействие в зависимости от того, является оно периодической или непериодической функцией, в виде ряда или интеграла Фурье, т.е. в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. По частотной характеристике можно определить реакцию электрической цепи на каждое из этих элементарных колебаний, а затем, просуммировав все реакции, найти результирующую реакцию в виде суммы или интеграла [4].
Найдем реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию (т.е. найдем переходную функцию цепи), используя ее частотную характеристику. Как известно, интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции имеет вид
т.е. единичная ступенчатая функция может быть представлена как бесконечная сумма элементарных колебаний вида
Каждому из этих колебаний соответствует выходное колебание а реакция системы на единичную ступенчатую функцию выражается интегралом
Представляя в алгебраической форме и преобразуя выражение (4.37), получаем следующую формулу для переходной функции |4, 6|:
где — вещественная частотная характеристика (ВЧХ) КФ электрической цепи. Полученное выражение связывает ВЧХ КПФ цепи с ее переходной функцией. Таким образом, при частотном методе анализа косвенной характеристикой переходной функции является вещественная частотная характеристика КФ электрической цепи.
Построение переходной функции с помощью вещественной частотной характеристики методами численного интегрирования:
Выражение (4.38) позволяет вычислить переходную функцию ЭЦ и определить качество переходного процесса. Однако интегрирование этого выражения аналитическими методами — задача весьма трудоемкая, а чаще всего просто практически невыполнимая. С применением современных ЭВМ и методов численного интегрирования (метод прямоугольников, трапеций, метод Симпсона и др.) эта задача существенно упрощается, ее решение сводится к составлению программы для ПЭВМ. В инженерной практике интегрирование достаточно осуществлять в области существенных частот от В области частот влияние ВЧХ на переходную функцию (4.38) мало и им можно пренебречь. В dtom случае используют модифицированное выражение от (4.38) [4]
В результате интегрирования получают совокупность значений переходной функции системы и исследуемом интервале времени и строят график переходной функции, по которой определяют показатели качества переходного процесса.
В качестве примера построения алгоритма численного интегрирования рассмотрим интегрирование с точки зрения простоты вычислений и точности результата. Сущность метода заключается в следующем. Пусть необходимо вычислить определенный интеграл
Вид подынтегральной функции, соответствующей выражению
при фиксированном времени приведен на рис. 4.47, кривая для t = 10 с, кривая 2 для , а кривая 3 изображает ВЧХ электрической цепи. Функция представляет функцию модулированную «замечательным» синусом. Известно, что интеграл (4.40) численно равен площади под кривой функции Если интервал аргумента разбить на равных частей, то длина одного интервала будет равна Площадь под кривой можно аппроксимировать суммой площадей прямоугольных трапеций с основаниями и высотой Тогда интеграл (4.40) можно представить как сумму площадей прямоугольных трапеций:
Очевидно, что погрешность численного интегрирования зависит и от выбора числа интервалов разбиения аргумента при конкретном времени При увеличении времени , как видно из рис. 4.47, период подынтегральной функции уменьшается. Следовательно, необходимо увеличивать число интервалов, которое определился выражением
При этом одно полное колебание подынтегральной функции представляется не менее чем шестнадцатью трапециями.
В качестве примера для построения переходной функции возьмем электрическую цепь, ВЧХ которой была построена и приведена на рис. 4.47 (кривая 3). На рис. 4.48 приведена переходная функция этой сложной электрической цепи.
Переходная функция на рис. 4.48 получена с помощью пакета ПП «Сигнал» [5].
Для вычисления интеграла (4.39) необходимо определить значение частоты для верхнего предела интегрирования Это значение легко может быть определено из кривой вещественной частотной характеристики (ВЧХ) КФ электрической цепи. В качестве примера возьмем простую интегрирующую цепь (см. рис. 4.1), КФ которой имеет вид
Алгебраическая форма КФ
где — вещественная и мнимая части КФ. Построим кривую (рис. 4.49) в среде Mathcad, если .
Из графика ВЧХ видно, что при Влияние ВЧХ в области больших частот на переходную функцию несущественно, поэтому за частоту можно принять частоту, при которой ВЧХ принимает значение Эту частоту принято называть «существенной частотой» и обозначать . В нашем примере Переходная функция, вычисленная по выражению (4.39), приведена на рис. 4.49.
Для случая электрических цепей с дифференцирующими свойствами может оказаться, что при ВЧХ КФ этой цепи Тогда для расчета переходной функции необходимо использовать мнимую частотную характеристику (МЧХ) в соответствии с выражением
Приведенный пример наглядно показывает, что использование частотных характеристик для построения временных характеристик с помощью ЭВМ существенно расширяет возможности частотных методов анализа электрических цепей.
Спектральный метод расчета и построения выходных величин электрических цепей при сложных входных воздействиях:
Применение частотных методов при анализе и синтезе электрических цепей с требуемыми динамическими характеристиками и использованием ЭВМ позволяет не только строить переходные характеристики, но и строить реакцию цепи на любые детерминированные воздействия, оценивать их в установившихся режимах.
Математической основой частотных методов анализа электрических цепей и систем автоматического управления является обратное преобразование Фурье, позволяющее получать изображение выходного сигнала системы y(t) с помощью вещественной и мнимой частотных характеристик систем. В свою очередь, по вещественной или мнимой частотным характеристикам можно построить переходный процесс выходной величины и оценить реакцию цепи в переходном и установившемся режимах.
Как известно, реакция системы определяется по формуле обратного преобразования Фурье [4]
После соответствующих преобразований выражение (4.46) примет вид:
I) для ступенчатой входной функции спектром
2) для линейной входной функции со спектром