Как решаются системы линейных алгебраических уравнений в среде mathcad

Как решаются системы линейных алгебраических уравнений в среде mathcad

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) «вручную» требует много времени, большого внимания, довольно громоздких преобразований и вычислений. Если допущена ошибка в решении СЛАУ, её бывает нелегко обнаружить. Целью применения пакета Mathcad в учебном процессе явилась потребность использования возможностей компьютеров для решения СЛАУ. Преимущества предлагаемого алгоритма заключаются в том, что решение СЛАУ осуществляется не формально, когда возвращается единственный вариант ответа. В процессе реализации алгоритма исследуются основные свойства СЛАУ: ранги основной и расширенной матриц системы, выбираются базисные неизвестные и свободные неизвестные, возвращаются общие решения при любом допустимом выборе базисных и свободных неизвестных. Заменяя столбцы основной матрицы СЛАУ столбцом свободных членов со свободными неизвестными, можно получать общее решение и методом Крамера, о чём в учебной литературе упоминаний нет.

системы линейных алгебраических уравнений
1. Кафедра высшей математики ТПУ. URL: http://portal.tpu.ru/departments/kafedra/vm/rabota/

2. Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров: русская версия. – СПб.: БХВ-Петербург, 2009. – 512 с.: ил.

Линейное алгебраическое уравнение можно определить как уравнение, в которое искомые неизвестные входят в первой степени и между собой не перемножаются, т.е. в левой части линейного уравнения обычно записывается линейная комбинация искомых неизвестных, а в правой – свободный член. Совокупность таких уравнений образует систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определённой. В случаях, когда решений бесконечное множество, СЛАУ называется неопределённой. Для решения определенных СЛАУ применяют методы Крамера, Гаусса, матричный, численные методы. Для неопределённой СЛАУ можно находить общее решение и какие-либо частные решения из их бесконечного множества.

В соответствии с ФГОС раздел «Линейная алгебра» модуля «Математика 1» входит в рабочие программы всех унифицированных образовательных математических кластеров дисциплины «Математика» [1]. В рабочие программы в обязательном порядке включаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по всем разделам, в том числе и по разделу «Линейная алгебра». Решение СЛАУ «вручную» требует много времени, большого внимания, довольно громоздких преобразований и вычислений. Если допущена ошибка в решении СЛАУ, её бывает нелегко обнаружить. Целью применения пакета Mathcad в учебном процессе явилась потребность использования возможностей компьютеров для решения СЛАУ.

Квадратные СЛАУ с невырожденной основной матрицей системы, а также матричные уравнения в среде пакета Mathcad легко решаются матричным методом. Например, чтобы решить СЛАУ

достаточно задать основную матрицу системы

,

столбец свободных членов

,

записав произведение обратной матрицы A –1 на матрицу В и воспользовавшись клавишей «=», получить решение:

.

Проверка правильности решения также осуществляется в одно действие умножением матрицы А на найденную матрицу решения:

.

Можно предварительно записать найденную матрицу

.

решения СЛАУ, тогда для проверки потребуется ввести с клавиатуры произведение и клавишу «=»:

.

Начиная с шестой версии Mathcad, квадратные СЛАУ с невырожденной матрицей можно решать, используя встроенную функцию lsolve(A,B): X:= lsolve(A,B), и сразу получить решение

.

Для решения неопределенных СЛАУ в среде пакета Mathcad имеется несколько возможностей. Версия Mathcad 13/14 (в предыдущих версиях Mathcad основная матрица СЛАУ должна быть квадратной) позволяет находить одно из бесконечного множества частных решений СЛАУ при помощи встроенной функции lsolve(A,B) [2]. Например, так:

lsolve,

если решается СЛАУ

.

Замена знака равенства стрелкой из палитры символьных операций Symbolic возвращает частное решение в виде рациональных чисел:

lsolve.

Но общее решение, применяя встроенную функцию lsolve(A,B), найти не удается.

Получить общее решение СЛАУ можно директивой solve палитры символьных операций Symbolic. Для этого надо в левую метку директивы solve записать матрицу из одного столбца и таким количеством строк, сколько уравнений в СЛАУ, отделяя свободные члены равенствами из палитры Boolean или вводя знаки «=» с клавиатуры вместе с клавишей Ctrl (получается «жирный» знак равенства). В правой метке следует перечислить имена всех неизвестных СЛАУ. Например,

solve,t,u,v .

Возвращается общее решение, в котором t, u – базисные неизвестные, v – свободная неизвестная. Частное решение, возвращаемое встроенной функцией lsolve(A,B), соответствует свободной неизвестной .

Недостаток применения директивы solve заключается в том, что в рассматриваемом примере базисные неизвестные выбираются единственным образом, хотя в качестве базисных неизвестных можно выбрать любую другую пару неизвестных, т.к. в рассматриваемом примере все миноры второго порядка основной матрицы системы отличны от нуля.

Обойти проблему можно, применяя предлагаемый наиболее близкий к классическому исследованию и решению СЛАУ алгоритм.

Ввести основную матрицу СЛАУ, обозначив ее A, например. В задаче исследовать СЛАУ на совместность задать расширенную матрицу системы А1.

Ввести столбец свободных членов, обозначив его, например, В.

Найти ранг основной матрицы системы: rank(A). Для СЛАУ больших размеров найти rank(A1). Если rank(A)≠rank(A1), СЛАУ несовместна, т.е. решений не имеет, и на этом исследование и решение СЛАУ заканчивается.

Если rank(A) = rank(A1), выбрать отличный от нуля базисный минор F (порядок базисного минора равен рангу основной матрицы СЛАУ) и базисные неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор.

Оставшиеся свободные неизвестные перенести к свободным членам и ввести получившийся столбец С как функцию свободных неизвестных.

Получить общее решение, умножив обратную матрицу на матрицу С.

Присвоив свободным неизвестным числовые значения, получить соответствующее частное решение.

Для проверки надо матрицу А умножить на матрицу-столбец В1 решения, составленного из свободных и базисных неизвестных или из значений неизвестных частного решения.

Применение алгоритма рассмотрим на предыдущем примере

.

1.

4. Выберем базисными неизвестными и . Тогда

Определитель матрицы F отличен от нуля: .

5. Составим матицу С:

.

6. Получим общее решение

.

7. Пусть свободная неизвестная

.

При этом значения базисных неизвестных и получатся умножением

.

8. Составим столбец

.

Тогда ,

или сделаем проверку для частного решения:

и получим .

Преимущества предлагаемого алгоритма заключаются в том, что решение СЛАУ осуществляется не формально, когда возвращается единственный вариант ответа. В процессе реализации алгоритма исследуются основные свойства СЛАУ: ранги основной и расширенной матриц системы, выбираются базисные неизвестные и свободные неизвестные, возвращаются общие решения при любом допустимом наборе базисных и свободных неизвестных. Заменяя столбцы основной матрицы СЛАУ столбцом свободных членов со свободными неизвестными, можно получать общее решение и методом Крамера, о чём в учебной литературе упоминаний нет. Вот как это можно осуществить для СЛАУ

,

решенной выше матричным методом:

;

.

Таким образом, методом Крамера получено общее решение .

Линейная алгебра — примеры с решением заданий и выполнением задач

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры.

Матрицы и операции над ними

В математике и ее приложениях наряду с числами часто бывает удобным использовать чис­ловые таблицы, которые называются матрицами. Аппарат теории матриц эффективно приме­няется, например, при решении систем линейных уравнений, как мы скоро в этом убедимся. Перейдем к точным определениям.

Определение: Матрицей размерности m х n называется прямоугольная таблица дейст­вительных чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для доступа к элементам мат­рицы используются два индекса: первый указывает на номер строки, второй — на номер столб­ца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Обозначаются матрицы, как правило, прописными латинскими буквами A, B, C,иногда указывается размерность, например, Amxn. В развернутой форме матрица записывается как таблица:

Более компактно с указанием элементов матрица записывается в виде:

Матрицы А и В одинаковой размерности считаются равными, если все элементы одной матрицы равны соответвующим элементам другой матрицы.

Рассмотрим некоторые специальные виды матриц.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей и обозначается через O.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Размерность квадратной матрицы часто называют ее порядком.

Числа в квадратной матрице называются диагональными элементами. Совокупность диагональных элементов составляет главную диагональ квадрат­ной матрицы.

Квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единице, а все остальные — нулю, называется единичной матрицей и обозначается через где n — порядок матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, треугольной является матрица

Матрица называется трапециевидной, если она представляет собой следующую таблицу:

Операции над матрицами

Введем сначала линейные операции над матрицами.

Произведением действительного числа на матрицу называется матрица

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица

Таким образом, элементы суммы матриц равны суммам соответствующих элементов данных матриц.

Разность матриц А и B можно определить как А — В = А + (-1)В.

Свойства линейных операций над матрицами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Пример №1

Найти матрицу -2А +3В.

Определим теперь операцию умножения матриц. Рассмотрим сначала матрицу-строку и матрицу-столбец с одинаковым числом элементов, т.е.

Произведением этих строки и столбца называется число1

Рассмотрим так называемые согласованные матрицы , у первой из которых число столбцов равно числу строк второй матрицы. Обозначим строку с номером i матрицы А через а столбец с номером j матрицы B через

Произведением данных согласованных матриц А и B называется матрица

Часто для суммы n чисел мы будем использовать короткое обо значение

размерности m х p, элементы которой равны произведениям строк матрицы A на столбцы B.

Пример №2

Найти произведение согласованных матриц

Решение. Найдем произведение строк матрицы А на столбцы матрицы В.

Осталось записать искомое произведение матриц:

Отметим некоторые свойства произведения матриц1.

Первые три сразу следуют из определения произведения матриц. Докажем последнее свой­ство. Пусть заданы три матрицы Элемент dij произ­ведения (AB)C равен произведению строки с номером i матрицы AB на столбец с номером j матрицы C : Поменяв порядок суммирования в последней двойной сумме, получим:

что представляет собой произведение Тем строки с номером i матрицы A на столбец с номером j матрицы ВС. Тем самым свойство 4 доказано.

Заметим, что в отличие от чисел матрицы, вообще говоря, не коммутируют (не переста­новочны). Приведем соответствующий

Контрпример. Доказать, что матрицы

Таким образом, для этих матриц

Замечание. Пользуясь случаем, введем здесь определение n-мерного векторного пространства Rn, как множество упорядоченных совокупностей n действительных чисел. Каждую такую совокупность мы будем обозначать через и называть n-мерным вектором.

Мы предполагаем, что все матрицы в свойствах согласованы.

Очевидно, каждый вектор мы можем отождествить с соответствующей матрицей-строкой или матрицей-столбцом, поэтому на векторы автоматически переносятся линейные операции, которые мы определили выше для матриц.

Определитель матрицы и его свойства

Познакомимся теперь с такой важнейшей характеристикой матрицы, как определитель. Вве­дем предварительно понятие перестановки и изучим некоторые ее свойства.

Перестановки

Перестановкой n натуральных чисел 1, 2, . n называется строка

(1)

содержащая все эти числа.

Первым элементом перестановки может быть любое из чисел 1, 2, . n, вторым — любое из оставшихся n — 1 чисел и так далее, следовательно, число различных перестановок данных чисел равно (читается n-факториал).

Два числа в перестановке находятся в инверсии, если большее из них имеет меньший номер. Число всех инверсий в перестановке (1) мы обозначим через

В связи с этим перестановка (1) называется четной, если в ней число четно и нечетной — в противном случае.

Отметим два свойства перестановок, которые мы будем использовать ниже.

Лемма 1. Характер четности перестановки изменится на противоположный, если в ней поменять местами какие-нибудь два элемента.

Доказательство. Предположим сначала, что меняются местами рядом стоящие элементы к и l перестановки. В этом случае число инверсий в новой перестановке изменится на единицу, а именно, увеличится на единицу, если к и l не находились в инверсии, или на­столько же уменьшится, если они находились в инверсии. Таким образом, характер четности перестановки изменится на противоположный. Рассмотрим теперь случай, когда числа к и l разделяют s других элементов перестановки. Тогда поменять местами данные элементы мы можем последовательно переставляя число к с s промежуточными элементами, а затем пере­ставляя число l в обратном порядке с элементом к и всеми s промежуточными. В результате мы выполним 2s + 1 обменов рядом стоящих элементов и, таким образом, характер четно­сти исходной перестановки изменится нечетное число раз и, следовательно, он изменится на противоположный. Лемма доказана.

Из этой леммы сразу же следует, что количество четных перестановок равно количеству нечетных. В самом деле, поменяв местами любые два элемента в каждой из p четных переста­новок, мы получим p нечетных и, следовательно, где q — количество нечетных перестано­вок. Аналогично мы можем убедиться в справедливости неравенства Из этих неравенств и следует, что p = q.

Лемма 2. Пусть

(2)

— перестановка чисел 1, 2, . n — 1. Зафиксируем число j из множества и оставим его перестановку (2) на место с номером i, сдвинув вправо на одну позицию все ее элементы с номерами i, i + 1, . , n — 1 и увеличив на единицу все не меньшие, чем j элемен­ты этой перестановки. В результате получим перестановку

(3)

чисел 1, 2, . , n. Четности перестановок (2) и (3) связаны равенством

Действительно, предположим сначало, что элемент j в перестановке (3) стоит на первом месте. Тогда, очевидно, количество инверсий в этой перестановке равно Перегоним теперь число j на место с номером i, последовательно обменивая его со следующими i — 1 элементами. По лемме 1 характер четности перестановки изменится i — 1 ра и, значит,

Определитель и его вычисление для матриц второго и третьего порядков

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n :

Составим произведение элементов данной матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Упорядочив элементы этого произведения по возрастанию номеров строк, мы можем записать его в виде:

Номера столбцов в записанном произведении образуют перестановку чисел 1, 2, . , n.

Определение: Число, равное сумме всех n! произведений

называется определителем данной квадратной матрицы А (определителем n-го порядка) и обозначается через |А| или det А. В развернутой форме определитель записывается как

Найдем пользуясь этим определением выражение для определителей второго и третьего порядков.

Так как то

Аналогично, для вычисления определителя третьего порядка найдем число инверсий в каждой из перестановок чисел 1, 2, 3 :

Тогда

Для упрощения вычисления определителя третьего порядка можно использовать правило треугольников, согласно которому со знаком » + » следует брать произведения по схеме

а со знаком » — » — по схеме

Пример №3

Решение. Воспользуемся правилом треугольников: = —2 + 6 — 6 — 9 — 8 — 1 = -20.

Свойства определителя

1) Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то и определитель равен нулю.

2) Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

3) Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны суммам двух слагаемых, то данный определитель равен сумме двух определителей, в которых в указан­ной строке (столбце) стоят, соответственно, первые и вторые слагаемые, а остальные элементы обоих определителей такие же, как и в исходном определителе.

Эти свойства напрямую следуют из определения определителя.

4) Если переставить две какие-нибудь строки (столбца) определителя, то он поменяет знак на противоположный.

Действительно, переставим, например, две строки определителя. В результате получим определитель, каждое слагаемое которого отличается знаком от соответствующего слагаемого исходного определителя, так как по доказанной в пункте 1 лемме 1 четность соответствующей перестановки вторых индексов изменится па противоположную.

5) Если в определителе совпадают (пропорциональны) две какие-нибудь строки (столбцы), то этот определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе совпадают две каие-нибудь строки (столбцы), то, с одной стороны, определитель при этом не изменится, а, с другой стороны, по предыдущему свойству его знак поменяется на противоположный. Таким образом |A| = — |A| и, стало быть, |A| = 0. Если же в определителе имеются две пропорциональные строки (столбца), то после вынесе­ния за его знак по свойству 2) общего множителя элементов строки (столбца), мы получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), который равен нулю.

6) Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) доба­вить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.

Это следует из свойств 3) и 5), так как в этом случае полученный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых равен исходному, а в другом имеются пропорциональные строки (столбцы), и поэтому он равен пулю.

Прежде чем сформулировать очередное свойство, введем понятие алгебраического дополне­ния к элементу матрицы.

Алгеброическим дополнением элемента aij квадратной матрицы A = (aij)nxn мы будем называть число

где — определитель порядка n — 1, полученный из определителя этой матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

7) Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столб­ца) на соответствующие алгебраические дополнения. Таким образом,

Докажем, например, первую из этих формул. Убедимся в том, что правая часть данной формулы содержит все слагаемые определителя матрицы А. Выражение

содержит n(n — 1)! = n! различных произведений элементов определи теля матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Осталось проверить соответствие знаков.

Рассмотрим произвольное произведение

Каждое слагаемое определителя представляет собой произведение элементов данной мат­рицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, исключая строку с номером i и столбец с номером j. Знак этого произведения определяется четностью перестановки

чисел 1, 2, . , n — 1. Умножив данное произведение на число и поставив множитель на место с номером i, мы получим соответствующее произведение определителя матрицы А с перестановкой вторых индексов и знаком который по лемме 2 пункта 1 соответствует четности перестановки

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

Пример №4

Решение. Разложим этот определитель по элементам второй строки:

Пример №5

Вычислить определитель треугольной матрицы

Разлагая этот и следующие определители по первому столбцу, получим:

таким образом, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных эле­ментов.

8) Сумма произведений n действительных чисел на алгебраические дополнения к элементам какой-нибудь строки (столбца) равна определителю, в котором в указанной строке (столбце) расположены данные числа, а все остальные элементы совпадают с соответствующими элементами исходного определителя.

Это свойство является прямым следствием предыдущего.

9) Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические до­полнения к элементам какой-нибудь другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Действительно, по предыдущему свойству эта сумма произведений равна определителю с двумя совпадающими строками (столбцами), а такой определитель по свойству 5) равен нулю.

10) Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е.

Достаточно громоздкое доказательство этого свойства мы приводить не будем.

Обратная матрица

Определение: Обратной к квадратной матрице называется обозначаемая через А-1 матрицы, для которой АА-1 = А-1А = Е, где Е — единичная матрица.

Из этого определения следует, что матрица А-1 также является квадратной той же размер­ности, что и матрица А.

Отметим некоторые свойства обратной матрицы, следующие из ее определения.

а) У матрицы не может существовать больше одной обратной.

Действительно, пусть для матрицы А имеются две обратные Тогда

Умножив обе части первого равенства слева на матрицу получим

c) Если для квадратных матриц А и В одного порядка существуют обратные, то и у матрицы АВ также существует обратная , причем

Выясним условия, при которых обратная матрица существует.

Теорема (критерий существования обратной матрицы). Для того, чтобы существовала матрица, обратная данной, необходимо и достаточно, чтобы данная матрица была невырожденной, то есть чтобы ее определитель был не равен нулю.

Доказательство. Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть для матрицы А существует обратная матрица. Тогда из равенства АА-1 = E, воспользовавшись свойством 10) определителя произведения матриц, получаем: det(AA-1) = det А det А-1 = det E = 1. Следователь но, det А 0.

Убедимся теперь в том, что условие теоремы является и достаточным. Предположим, что матрица А является невырожденной. Проверим, что обратной к данной является матрица со следующей структурой 1:

Действительно, если

откуда, воспользовавшись свойствами 7) и 9) определителя (§2, пункт 3), заключаем:

т. е. АА-1 = Е. Аналогично убеждаем, что А-1А = Е. Теорема доказана.

В строках указанной ниже матрицы записаны алгебраические дополнения к элементам соответствующих столбцов.

Пример №6

Найти обратную к матрице

Решение. Найдем сначала определитель матрицы: Обратная матрица существует. Находим алгебраические дополнения к элементам данной матрицы:

Следовательно,

Обратную матрицу можно использовать при решении линейных матричных уравнений. Пусть, например, требуется решить матричное уравнение

с известными матрицами А и B, причем матрица A является невырожденной. Умножая обе части данного матричного уравнения слева на обратную матрицу A-1, получим:

Аналогично, решением матричного уравнения XA = B является матрица X = BA-1, а ре­шением матричного уравнения AXB = С с невырожденными матрицами A и B является матрица X = A-1CB-1.

Ранг матрицы и его вычисление

Рассмотрим произвольную матрицу

Минором порядка k матрицы A называется определитель, стоящий на пересечении выбран­ных k строк и k столбцов данной матрицы.

Определение: Рангом матрицы А называется максимальный из порядков ненулевых миноров этой матрицы. Обозначается ранг через rang A.

Естественно считать, что rang O = 0. Очевидно также, что

Пример №7

Найти ранг матрицы

Решение. Вычислим минор, находящийся на пересечении первых двух строк и первого и четвертого столбцов:

Все же миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как третья строка равна разности второй и первой строк. Следовательно, rang A = 2.

Как видно из определения, вычисление ранга матрицы через миноры является весьма тру­доемкой задачей, особенно для матриц большой размерности. Значительно сократить объем вычислений позволяет другой метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции над ее стро­ками или столбцами:

1. перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2. умножение строки (столбца) на ненулевое действительное число;
3. добавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на действительное число.

Тот факт, что матрица В получена из матрицы А с помощью одного или нескольких последовательно выполненных элементарных преобразований, мы будем обе тачать как

Теорема. Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Доказательство этого утверждения для первого и второго элементарных преобразований следует из того, что по свойствам 2) и 4) определителя (§2, пункт 3) миноры исходной матрицы могут отличаться от миноров преобразованной разве лишь знаком или ненулевым множителем, что. естественно, не отражается на ранге матрицы. Пусть теперь матрица А’ получена из матрицы А с помощью третьего элементарного преобразования, для определенности будем считать, что к строке с номером i добавлена строка с номером j, умноженная на действительное число Возьмем в матрице А’ минор М порядка (если такого минора нет, то rang ). Этот минор либо совпадает с минором матрицы A, либо по свойствам 3). 2). 4) определителя он равен сумме двух миноров матрицы А с действительными коэффициентами, один из которых равен 1. а второй В обоих случаях по определению ранга матрицы минор М равен 0. Следовательно, rang А’ n.

Следствие: Для того чтобы однородная система n уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю.

Доказательство:

Достаточность: система имеет нетривиальное решение. Так как единственный минор n -го порядка равен нулю, то r

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Решение систем линейных уравнений методом гаусса

В данной работе рассмотрен один из способов решения систем линейных уравнений — метод Гаусса, а также возможность применения метода Гаусса к решению прикладных задач.

Скачать:

Вложение	Размер
vektor.docx	838.24 КБ

Предварительный просмотр:

1. Введение 2
2. Понятие матрицы 5
3. Немного из биографии Гаусса 6
4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 7
5. Проведение обучающего эксперимента 12
6. Заключение 14
7. Список используемой литературы 15

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений. Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. В седьмом классе на уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Нужно заметить, что не всегда системы линейных уравнений удобно решать данными способами. Мы решили выяснить существуют ли другие методы решения систем линейных уравнений. Изучив данную тему, мы выяснили, что существуют такие методы, как: метод Крамара, метод Гаусса, метод обратной матрицы.

Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности.

На примерах был изучен и исследован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. На первом этапе система приводится к треугольному виду, а на втором (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из указанной треугольной системы.

Метод Гаусса — один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры. Поэтому поиск решения системы линейных уравнений методом Гаусса имеет не только важное значение, но и является частью алгоритма решения многих задач, что позволяет говорить об актуальности изучения метода Гаусса. В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

Системы линейных алгебраических уравнений имеют широкое применение в решении многих задач практического приложения математики. Данная тема в школьном курсе алгебры не изучается, чтобы изучить данную тему, необходимо познакомиться с понятиями матрицы, матрица системы и расширенная матрица системы. Получение новых знаний и нового опыта способствует развитию личности, формирует некоторые особенности мышления и оказывает влияние на отношение к миру.

Научиться решать системы уравнений с помощью метода Гаусса

и применять этот метод на практике, ознакомить и научить одноклассников решать системы уравнений методом Гаусса.

1. Познакомиться с понятием «матрица» и «матрица системы».

2. Изучить метод Гаусса.

3. Научиться применять метод Гаусса на практике .

Объект(изучения): Метод Гаусса

Предмет: Системы линейных уравнений с двумя и более переменными.

Методы исследования: анализ, обобщение, эксперимент, опрос.

Гипотезы: С помощью данного метода увеличивается скорость решения систем линейных уравнений . Метод Гаусса можно изучать на уроках алгебры в 7 — 8 классах как дополнительный метод решения систем уравнений с двумя и более переменными.

1. Решение матричных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂, …………………………. a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n Эта система в свёрнутом виде может быть записана в виде , i = 1, 2, …, n. В соответствии с правилом умножения матриц, рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде , где , ,. Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец , элементами которой являются правые части уравнений системы, называетсяматрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец , элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы. Таким образом система линейных алгебраический уравнений может быть записана в матричном виде – в виде простейшего матричного уравнения (коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности) . Если матрица системы невырождена (т.е. её определитель отличен от нуля), то у неё существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения слева на матрицу А -1 : А -1 (А) = А -1 , а посколькуА -1 А = Е и Е =, то= А -1 .

2. Решение линейной системы методом Гаусса.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на точные и приближённые. Метод решения задачи относят к классу точных, если в предположении отсутствия округлений с его помощью можно найти решение в результате конечного числа операций. Например, метод Крамера – точный метод. Метод Гаусса (методом гауссовых исключений) – точный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Он состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂, …………………………. a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей x₁ + c₁₂x₂ + … + c_1nx_n = d₁, x₂ + … + c_2nx_n = d₂, ……………. x_n = d_n, решение которой находят по рекуррентным формулам _{, ,} i = n — 1, n — 2, …, 1. В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: , а затем (обратный ход Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых столбцах получилась единичная матрица: 1 0 ….. 0 х₁ 0 1 ….. 0 х₂ ………………. 0 0 ..… 1 х_n Последний, (n + 1)-й столбец этой матрицы содержит решение системы. В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(А).

3. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций.

Данный метод часто применяется для систем с разреженными матрицами, т.е. большинство элементов которых – нули. Рассмотрим простейший итерационный метод решения линейной системы – метод простых итераций. Метод состоит в том, что система уравнений C=d преобразуется к виду =+A и её решение вычисляется как предел последовательности x(k) = +A(k-1),k= 1, 2,…. Преобразовать систему C=d к виду = + A можно, выделив диагональные элементы: ,i=1, 2,…,n. Для того, чтобы сформулировать достаточное условие сходимости метода, напомним определения норм, наиболее часто употребляемых при исследовании линейных систем. Понятие нормы позволяет оценить степень близости двух векторов. В частности, если норма разности точного и приближённого решений системы мала, то, по-видимому, приближённое решение хорошо аппроксимирует точное решение. Существует много способов введение нормы вектора. Чаще всего используются следующие три нормы:

1. 
2. 
3. 

где х=(х₁, х₂,…,х_n). Эти нормы эквивалентны: когда некоторая последовательность векторов по одной из этих норм стремиться к нулю, то она стремиться к нулю и по другой норме. Для сходимости метода простых итераций (k)= +A(k-1) достаточно, чтобы выполнялось условие < 1по какой-либо норме матрицы, согласованной с нормой векторов. В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие , где — заданная погрешность приближённого решения. Приложение D Общая теория линейных систем Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … + a_1nx_n= b₁,a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ … + a_2nx_n= b₂, …………………………………… a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных ́, х₂= х₂́, …, х_n=x_ń, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, система, не имеющая ни одного решения, — несовместной. Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: , где А – матрица системы, – правая часть, – искомое решение, А_р – расширенная матрица системы: , ,, .

1. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Однородной системой линейных уравненийназывается система, правая часть которой равна нулю: a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … + a_1nx_n= 0,a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ …+a_2nx_n= 0, ………………………………… a_m1x₁+a_m2x₂+ … +a_mnx_n= 0. Однородная система всегда совместна, поскольку имеет по крайней мере одно решение: х₁= 0, х₂= 0, …, х_n= 0. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение – нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.Доказано, что при m=n для нетривиальной совместимости необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Применив к матрице системы алгоритм гауссовых исключений, приведём матрицу системы к ступенчатому виду

1. с₁₂…с_1r…c_1n

1. 1 …c_2r…c_2n

…………………………… 0 0 … 1 …c_rn0 0 … 0 … 0 …… ……………………… 0 0 … 0 … 0 Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначается r=rg(A) или r=Rg(A). Для того, чтобы однородная матрица была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n. Пример исследования на совместимость однородной системы: Исходная система: 2x₁+x₂+ 4x₃+ 3x₄= 03x₁— 4x₂+ 7x₃+ 5x₄= 04x₁— 9x₂+ 8x₃+ 5x₄= 0-3x₁+ 2x₂— 5x₃+ 3x₄= 0 В Mathcad ранг матрицы можно вычислить с помощью функции rank(A).Система тривиально совместна, имеет только нулевое решение. Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, среди которых можно выделить ровно n—r линейно независимых. Совокупность таких решений называется фундаментальной системой решений. Таким образом, если ранг r матрицы А однородной линейной системы А=0меньше числа неизвестных n и векторы е₁, е₂, …, е_n—r образуют её фундаментальную систему решений (Ае_i= 0,i= 1, 2, …,n—r), то любое решение х системы А=0можно записать в виде x= с₁е₁+с₂е₂+ … + с_n—re_n—r, где с₁,c₂, …,c_n—r – произвольные постоянные. Выражение x= с₁е₁+ с₂е₂+… + с_n—re_n—r, называется общим решением однородной системы. Исследовать однородную систему – это значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы. Исследуем однородную систему методом Гаусса. Пусть — матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r1 0 … 0 c_{1, r+1}… c_1n0 1 … 0 c_{2, r+1}… c_2n …………………………… 0 0 … 1 c_{r, r+1}… c_rn0 0 … 0 0 …… 0 …………………………… 0 0 … 0 0 …… 0 Соответствующая эквивалентная система имеет вид x₁+c_1,r+1x_r+1+ … +c_1nx_n= 0x₂+c_2,r+1x_r+1+ … +c_2nx_n= 0 …………………………………… x_r+ c_{r, r+1}x_r+1+ … + c_rnx_n= 0 Отсюда легко получить выражения для переменных x₁,x₂, …,x_r через x_r+1,x_r+2, …,x_n. Переменные x₁,x₂, …,x_r называют базисными переменными, а переменные x_r+1,x_r+2, …,x_n – свободными переменными. Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы x₁= — c_1,r+1x_r+1-…— c_1nx_nx₂= —c_2,r+1x_r+1-…-c_2nx_{n…………………………………………..}x_r= —c_r,r+1x_r+1-…-c_rnx_n которые определяют общее решение системы. Положим последовательно значения свободных переменных равными: x_r+1= 1x_r+2= 0x_r+3= 0 …..x_n= 0x_r+1= 0x_r+2= 1x_r+3= 0 …..x_n= 0 ……………………………………….x_r=1= 0x_r+2= 0x_r+3= 0 …..x_n= 1 и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n — r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы: , , …, , .

1. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:a₁₁x₁+ a₁₂x₂+… + a_1nx_n= b₁,a₂₁x₁+a₂₂x₂+ …+a_2nx_n=b₂, ………………………………… a_m1x₁+a_m2x₂+ … +a_mnx_n=b_m. Такая система совместна не всегда. Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера – Капели): для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы. Исследовать неоднородную систему– значит установить, является ли она совместной, и если является – найти выражение для общего решения системы. Исследуем неоднородную систему методом Гаусса. Пусть — расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и rn. Такая матрица гауссовыми исключениями приводится к ступенчатому виду 1 0 … 0 c_{1, r+1}… c_1nd₁0 1 … 0 c_{2, r+1}… c_2nd₂ ………………………………… 0 0 … 1c_r,r+1…c_rnd_r0 0 … 0 0 … 0 0 ………………………………… 0 0 … 0 0 … 0 0 Соответствующая эквивалентная система имеет вид x₁+c_1,r+1x_r+1+ … +c_1nx_n=d₁x₂+ c_{2, r+1}x_r+1+ … + c_2nx_n= d₂ …………………………………… x_r+ c_{r, r+1}x_r+1+ … + c_rnx_n= d_r Из этой системы легко получить выражения базисных переменных x₁,x₂, …,x_r через свободные переменные x_r+1,x_r+2, …,x_n. Формулы x₁=d₁— c_1,r+1x_r+1-…— c_1nx_nx₂=d₂—c_2,r+1x_r+1-…-c_2nx_{n……………………………………………}x_r= d_r-c_{r, r+1}x_r+1-…- c_rnx_n определяют общее решение системы. Положив свободные переменные равными нулю, x_r+1= 0,x_r+2= 0, ….x_n= 0, и вычислив соответствующие значения базисных переменных, получим частное решение исследуемой системы: x₁= d₁, x₂= d₂, …, x_r= d_r, x_r+1= 0, x_n= 0. Приложение Е Пусть М – множество элементов произвольной природы, для которых определены сложения и умножения на действительное число:

• Паре элементов хМ, уМотвечает элемент х + уМ,называется суммой элементов х и у;
• Паре х,, гдехМи — любое действительное число, отвечает элементхМ,называемый произведением числа и элементах.

Множество М называется линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов х, у,zМ и произвольных чисел ,справедливо:

1. x+y=y+x, сложение коммутативно;
2. x+ (y+z) = (x+y) +z, сложение ассоциативно;
3. существует нулевоу элемент 0М такой, что х + 0 = х;
4. для каждого элемента существует противоположный элемент – х такой, что х + (-х) = 0;
5. , умножение на число ассоциативно;
6. 1;
7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Эти равенства называют аксиомами линейного пространства. Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы – векторами.

1. Базис и размерность линейного пространства.

Координаты вектора в заданном базисе. Элемент (вектор) линейного пространства Lлинейно выражается через элементы (векторы) е₁, е₂, . е_nL, если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде x= ₁e₁+ ₂e₂+ … + _ne_n. Если хотя бы один вектор системы е₁, е₂, . е_n векторов линейного пространства L линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Справедливо следующее утверждение. Системае₁, е₂, . е_nвекторов линейного пространстваLлинейно независима тогда и только тогда, когда из равенства ₁e₁+ ₂e₂+ … + _ne_n= 0следует равенство нулю всех коэффициентов: ₁= 0, ₂= 0, …, _n= 0. Если в линейном пространстве L существует линейно независимая система из n векторов, а любая система из (n+1)-го вектора линейно зависима, то число n называется размерностью пространстваL и обозначается n=dim(L). В этом случае пространство L=L_n называют n—мерным линейным пространством или n—мерным векторным пространством. Любая упорядоченная линейно независимая система n векторов е₁, е₂, . е_nn-мерного линейного пространства L образует базис пространства, и любой вектор хL единственным образом выражается через векторы базиса: x = ₁e₁ + ₂e₂ + … + _ne_n. Числа х₁, х₂, …, х_n называют координатами векторах в базисе е₁, е₂, . е_n и обозначают х = ( х₁, х₂, …, х_n). При этом для любых двух произвольных векторов n-мерного линейного пространства х = ( х₁, х₂, …, х_n), у = (у₁, у₂, …, у_n) и произвольного числа справедливох + у = (x₁+y₁,x₂+y₂, …,x_n+y_n) и x= (x₁, x₂, …, x_n). Поэтому линейные пространства X и Y называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что если векторам х и х ́ из Х соответствуют векторы у и у ́ из Y, то вектору х + х ́ соответствует вектор у+ у ́ и при любом векторухХ соответствует вектор уY. Изоморфизм n-мерных линейных пространств пространству Rn означает, что соотношения между элементами n-мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из Rn и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из Rn справедливо для соответствующих элементов любого n-мерного линейного пространства. Например, доказано, что система векторов е₁, е₂, . е_nизRn, , …, образует базис в Rn тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы со столбцами е₁, е₂, . е_n: . Для векторов е₁, е₂, . е_n из L_n это означает, что они образуют базис в L_n тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов е₁, е₂, . е_n. Пусть е₁, е₂, . е_n и f₁,f₂, …f_n – два базиса в L_n. Матрицей перехода от базиса е₁, е₂, . е_n к базису f₁,f₂, …f_n называется матрица С, столбцами которой являются координаты векторов f₁,f₂, …f_n в базисе е₁, е₂, . е_n: f₁= f₁₁e₁+ f₂₁e₂+ … + f_n1e_nf₁=(f₁₁f₂₁… f_n1)Tf₂= f₁₂e₁+ f₂₂e₂+ … + f_n2e_nf₂=(f₁₂f₂₂… f_n2)T_{…………………………………………….… .}f_n= f_1ne₁+ f_2ne₂+ . + f_nne_nf_n= (f_1nf_2n… f_nn)TC=,detC. Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Тогда, если x=х₁e₁+х₂e₂+…+х_ne_n=y₁f₁+y₂f₂+..+y_nf_n , то координаты х₁, х₂, …, х_n вектора в базисе е₁, е₂, . е_n и его координаты у₁, у₂, …, у_n в базисе f₁,f₂, …f_n связаны соотношениями , или x_e=Cx_f,x_f=C-1x_e, если ввести обозначения x_e= (x₁x₂…x_n)T и x_f= (y₁y₂…y_n)T для векторов-столбцов координат вектора х в соответствующих базисах.

1. Исследование линейной зависимости. Ранг матрицы

Пусть А – прямоугольная матрица размерности m×n: . Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из Rm:, j=1, 2, …, n, И исследовать их на линейную зависимость. Исследовать систему на линейную зависимость – это значит установить, является система векторов линейно зависимой или нет. Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторов Rnна линейную зависимость следующим образом. Пустьf₁,f₂, …f_k – исследуемая система векторов. Запишем матрицу F, столбцами которой являются векторы f₁,f₂, …f_k : , j = 1, 2, …, k, и вычислим её ранг: r=Rg(F).Еслиr=k, то исследуемая система векторов линейно независима, если же rk, то она линейно зависима. Если же матрица F приведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками1 0 … 0 _{1, r+1}… _1k0 1 … 0 _{2, r+1}… _{2k……………………………………………}0 0 … 1_r,r+1…_rk=F0 0 … 0 0 … 0 …………………………… 0 0 … 0 0 … 0 то векторы-столбцы f₁,f₂, …f_r , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую подсистему, а векторы f_r+1,f_r+2, …,f_k следующим образом линейно выражаются через базисные векторы: f_r+1= _{1, r+1}f₁+ _{2, r+1}f₂+ … + _{r, r+1}f_rf_r+2= _{1, r+2}f₁+ _{2, r+2}f₂+ … + _r,r+2f_r ……………………………………………… f_k= _1,kf₁+ _2,kf₂+ … + _r,kf_r Приложение G Элементарная теория линейных операторов Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу хХставится в соответствие единственный элемент yY, называется оператором, действующим в линейных пространствах Х,Y. Результат действия оператора А на элемент х обозначают у=Ах или у = А(х). Если элементы х и у связаны соотношением у=Ах, то у называют образом элемента х, а х – прообразом у. Множество элементов линейного пространства Х, для которых определено действие оператора А, называют областью определения оператора А и обозначают D(A). Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из D(A), называют образом оператора А и обозначают Im(A). Если у=Ах, то хD(A),yIm(A). Оператор А, действующий в линейных пространствах Х,Y, называется линейным оператором, если A(u + v) = A(u) + A(v)иA(u) =A(u) для любых u,v из Х и для любого числа . Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве Х.

1. Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве Х,dim(X) =n, и пусть е₁, е₂, . е_n – базис в Х. Обозначим через Ае₁ = (а_11, a₂₁, …, a_n1), Ae_n = (a_12, a₂₂, …, a_n2), …, Ae_n = (a_1n, a_2n, …, a_nn) Образы базисных векторов е₁, е₂, . е_n. Матрица , столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе. Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве Х, отвечает единственная квадратная матрица n; и обратно – каждая квадратная матрица порядка n задаёт единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения у=Ах,, с одной стороны, связывают координаты у=Ах с координатами прообраза х, с другой стороны, описывают действие оператора, заданного матрицей А. При изменении базисного линейного пространства матрица оператора изменяется. Пусть в пространстве Х произошёл переход от базиса к базису. Связь между матрицей е и матрицейэтого оператора в базисезадаётся формулой=,. Здесь и— матрица перехода от базисае к базису и обратная к ней.

1. Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в конечномерном линейном пространстве Х. Доказано, что образ Im(A) линейного оператора А – линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A):r=Rg(A) =dim(Im(A)). Ядром линейного оператора называется множество элементов из Х, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A):Ker(A) = xX:Ax=0>. Ядро линейного оператора – линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обознается Def(A):d=Def(A) =dim(Ker(A)). Для линейного оператора А, действующего в n-мерном линейном пространстве Х_n, справедливы следующие утверждения:

• Сумма ранга и дефекта оператора А равна размерности пространства, в котором действует оператор: Def(A) +Rg(A) =n;
• Ранг оператора равен рангу его матрицы;
• Ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы, матрицей которой является матрица оператора; размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а её фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
• Столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора, образуют базис в образе оператора.

1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть А — линейный оператор, действующий в линейном пространстве. Число λ называется собственным значением, а ненулевой вектор х – соответствующим собственным вектором линейного оператора А , если они связаны между собой соотношением Ах = λх. Пусть А – матрица оператора в некотором базисе. Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (А— λI)х = 0, где I – единичный оператор, а 0 – нулевой элемент пространства Х. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (А- λЕ)х =0, которое существует тогда и только тогда, когда det(А- λE) = 0. Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения (А- λЕ) = 0, а собственные векторы – как решение соответствующих однородных систем. Уравнение det(А- λE) = 0 называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det(А- λE) – характеристическим многочленом оператора. Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

• Характеристический многочлен det(А- λE) оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, является многочленом n-й степени относительно λ;
• Линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве, имеет не более n различных собственных значений;
• Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;
• Если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве Х, имеет n различных собственных значений, то в пространстве Х существует базис из собственных векторов оператора; этот базис называют собственным базисом оператора; матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Литература

Похожие публикации:

1. Как включить 2 наушника xiaomi
2. Как откатить биос на ноутбуке acer
3. Как снять ручку двери уаз буханка
4. Какой холодильник лучше купить vestel или shap