Как в maple решить дифференциальное уравнение

Решение дифференциальных уравнений

Основные средства решения дифференциальных уравнений
Основная функция dsolve
Решение ОДУ первого порядка
Решение дифференциальных уравнений второго порядка
Решение систем дифференциальных уравнений
Численное решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения с кусочными функциями
Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol
Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools.
Средства пакета DEtools
Основные функции пакета DEtools
Графическое представление решений дифференциальных уравнений
Применение функции odeplot пакета plots
Функция DEplotna пакета DEtools
Функция DEplot3d из пакета DEtools
Функция PDEplot пакета DEtools.
Графическая функция dfieldplot
Графическая функция phaseportrait
Углубленный анализ дифференциальных уравнений
Задачи углубленного анализа ДУ
Проверка ДУ на автономность
Контроль уровня вывода решения ДУ
Приближенное полиномиальное решение ДУ
Что нового мы узнали?

dsolve(ODE) dsolve(ODE, y(x), extra_args) dsolve((ODE, ICs>, y(x), extra_args) dsolve(, , extra_args)

exact — аналитическое решение (принято по умолчанию);
explicit — решение в явном виде;
system — решение системы дифференциальных уравнений;
ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;
formal series — решение в форме степенного многочлена;
integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;
series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;
numeric — решение в численном виде.

Для решения задачи Коши в параметры dsolve надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньшего порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т. д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр _Т.

По умолчанию функция dsolve автоматически выбирает наиболее подходящий метод решения дифференциальных уравнений. Однако в параметрах функции dsolve в квадратных скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы следующие методы:

quadrature linear Bernoulli separable

exact Abel pot_sym

Информацию о каждом методе можно получить, используя команду Tdsolve, method и указав в ней конкретный метод. Например, команда Tdsolve,linear вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений.

Производные при записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией diff или оператором D. Выражение sysODE должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия.

Решение ОДУ первого порядка

Начнем рассмотрение практических примеров с решения одиночных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка:

Следующие примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же дифференциального уравнения ode_L разными методами:

Объем данной книги не позволяет остановиться на всех тонкостях аналитического решения дифференциальных уравнений. Множество примеров такого решения дано в справочной базе данных Maple,. 7- К ней нужно обратиться в случае, если решение того или иного дифференциального уравнения выходит за рамки учебного курса.

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Здесь видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff . С помощью символа $ можно задать производную более высокого порядка. Ниже представлено решение двух дифференциальных уравнений второго порядка:

Обратите внимание на решение второго из этих уравнений. Здесь использован прием визуализации исходного дифференциального уравнения, и оно задается значением переменной de. Кроме того, и это особенно важно, решение осуществляется при заданных начальных условиях. Именно поэтому в решении отсутствуют произвольные постоянные вида _СN .

Решение систем дифференциальных уравнений

На рис. 13.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 13.1. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple 7 в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде.

Численное решение дифференциальных уравнений

Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуется получить ответ в виде графических зависимостей.

В таких случаях для решения дифференциальных уравнений в численном виде используется функция dsolve с параметром numeric или type=numeric . При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге—Кутта—Фелберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 13.2.

Рис. 13.2. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Maple 7 предлагает ряд возможностей, и одна из них представлена на рис. 13.2 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot , предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений.

В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указание на метод решения, например опция mathod=dverk78 задает решение непрерывным методом Рунге—Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:

classical — одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;
rkf45 — метод Рунге—Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом;
dverk78 — непрерывный метод Рунге—Кутта порядка 7 или 8;
gear — одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;
mgear — одна из трех версий многошагового эктраполяционного метода Гира;
lsode — одна из восьми версий Ливенморского решателя жестких дифференциальных уравнений;
taylorseries — метод разложения в ряд Тейлора.

Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифференциальных уравнений в численном виде. Большинство пользователей Maple 7 вполне устроит автоматический выбор метода решения по умолчанию. Однако в сложных случаях возможна прямая установка одного из указанных выше методов. С деталями реализации методов можно ознакомиться по справочной системе.

С помощью параметра ‘ abserr’ =аеrr можно задать величину абсолютной погрешности решения, а с помощью ‘minerr’=mine — минимальную величину погрешности. В большинстве случаев эти величины, заданные по умолчанию, оказываются приемлемыми для расчетов.

Maple 7 реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.

Еще один пример решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 13.3. Здесь на одном графике представлены зависимости у(х) и z(х), представляющие полное решение заданной системы. При этом процедура имеет особый вид listprocedure и для преобразования списка выходных данных в векторы решения Y и Z используется функция subs .

Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура DESol для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет DEtools , содержащий самые изысканные средства для графической визуализации результатов решения дифференциальных уравнений. Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем.

Рис. 13.3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей

При решении некоторых задач физики и радиоэлектроники выбираемый поумолчанию шаг изменения аргументах или t — Л может привести к неустойчивости решения. Неустойчивости можно избежать рядом способов. Можно, например, нормировать уравнения, избегая необходимости использования малого шага. А можно задать заведомо малый шаг. Например, при method=classical для этого служит параметр stepsize-h. Примеры такого подхода будут даны в уроке 17 (см. Решение физических задач и моделирование цепи на туннельном диоде).

Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений.

Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

Используя функцию dsolve , выполним решение этого дифференциального уравнения:

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменениях. Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

В конце этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций данного класса.

Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol

В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple 7 введена специальная структура:

где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная). Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf . С этим объектом можно обращаться, как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами. На рис. 13.4 показаны примеры применения структуры DESol . Обратите внимание на последний пример — в нем структура- DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Рис. 13.4. Примеры применения структуры DESol

Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools

Средства пакета DEtools

Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple 7. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями:

> with(DEtools);

Warning, the name adjoint has been redefined

[DEnormal, DEplot, DEplot3d, DEplot_pofygon, DFactor, DFactorLCLM, DFactorsols, Dchangevar, GCRD, LCLM, PDEchangecoords, RiemannPsols, Xchange, Xcommutator, Xgauge, abelsoL, adjoint, autonomous, bernoullisol, buildsol, buildsym, canoni, caseplqt, casesplit, checkrank, chinisol, clairautsol, constcoeffsols, convertAlg, convertsys, dalembertsol, dcoeffs, de2diffop, dfieldplot, diffop2de, dsubs, eigenring, endomorphism_charpoly, equinv, etajc, eulersols, exactsol, expsols, exterior’_power,firint,firtest, formal_sol, gen_exp, generate_ic, genhomosol, gensys, hamilton_eqs, indicialeq, infgen, initialdata, integrate_sols, intfactor, Invariants, kovacicsols, leftdivision, liesol, line_int, linearsol, matrixDE, matrix_riccati, moserjreduce, muchange, mult, mutest, newtonjpolygon, normalG2, odeadvisor, odepde, parametricsol, phaseportrait, poincare, polysols, ratsols, redode, reduceOrder, reduce_order, regular_parts, regularsp, remove_RootOf, riccati_system, riccatisol, rifsimp, rightdivision, rtaylor, separablesol, solvejgroup, super_reduce, symgen, symmetric_po\ver, symmetric^product, symtest, transinv, translate, untranslate, varparam, zoom]

Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 7 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть в реализациях R5, 6 и 7 системы Maple:

DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;
DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;
DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;
Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;
PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;
PDEpTot — построение графиков решения дйффереациальых уравнений в частных производных;
autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;
convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;
convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;
dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;
indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;
phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;
reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;
regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;
translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;
untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;
varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 7.

Основные функции пакета DEtools

Ввиду обилия функций пакета DEtools дать их полное описание в данной книге не представляется возможным. Поэтому выборочно рассмотрим наиболее важные функции этого пакета. Функция:

тестирует дифференциальное уравнение (или систему) des . Ее параметрами помимо des являются независимая переменная ivar и зависимая переменная dvar . Следующие примеры поясняют применение этой функции:

Функция Dchangevar используется для обеспечения замен (подстановок) в дифференциальных уравнениях:

Dchangevar(trans,deqns, c_tvar, rMvar)

Dchangevar(tranl, tran2, . tranN, deqns, c_ivar, n_ivar)

В первом случае trans — список или множество уравнений, которые подставляются в дифференциальное уравнение, список или множество дифференциальных уравнений deqns . При этом c_ivar — имя текущей переменной, n_ivar — имя новой переменной (его задавать необязательно). Во второй форме для подстановки используются уравнения tranl, tran2, . Ниже представлены примеры применения функции Dchangevar :

Следует отметить, что подстановки являются мощным средством решения дифференциальных уравнений. Нередки случаи, когда дифференциальное уравнение не решается без их применения. Дополнительные примеры использования подстановок можно найти в справочной базе данных системы Maple 7.

Функция нормализации ОДУ DEnormal синтаксически записывается в виде:

где des — система дифференциальных уравнений, 1var — независимая переменная и dvar — зависимая переменная. Применение этой функции поясняют следующие примеры:

Функция convertAlg(des,dvar) возвращает список коэффициентов формы системы дифференциальных уравнений des с зависимыми переменными dvar . Это поясняют следующие примеры:

Для изменения переменных в системах дифференциальных уравнений используется функция convertsys :

convertsys(deqns, inits, vars, ivar, yvec, ypvec)

Здесь deqns — одно дифференциальное уравнение или список (множество), представляющие систему дифференциальных уравнений первого порядка, inits — множество или список начальных условий, vans — зависимые переменные, ivar — независимые переменные, yvec — вектор решений и ypvec — вектор производных. Функция:

обеспечивает полиномиальное представление для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка des . Параметр alpha намечает точку сингулярности.

обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения des (или системы уравнений, представленных списком или множеством) при зависимых переменных dvar , частном решении partsol (или списке частных решений) и флаге solutionForm , показывающем, что решение происходит явным методом ( explicitly ). Для демонстрации действия этой функции воспользуемся примером из ее справочной страницы:

вычисляет регулярные особые (сингулярные) точки для дифференциального уравнения второго порядка или системы дифференциальных уравнений des . Следующий пример поясняет применение данной функции:

Еще две функции пакета DEtools :

выполняют особую операцию трансляции дифференциального уравнения (или списка дифференциальных уравнений) из центрированного относительно 0 в центрированное относительно 1 и наоборот. С деталями этого специфического процесса заинтересованный читатель может познакомиться в справочной базе данных. И еще одна полезная функция пакета:

находит общее решение дифференциального уравнения (или системы уравнений) sols методом вариации параметров. Параметр v задает правую часть уравнения; если он равен 0, ищется только частичное решение:

Более подробную информацию об этих функциях читатель найдет в их справочных страницах, а также в информационном документе detdols.mws содержащем систематизированное описание пакета DEtools с многочисленными примерами его применения.

Графическое представление решений дифференциальных уравнений

Применение функции odeplot пакета plots

Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция odeplot из описанного выше пакета plots . Эта функция используется в следующем виде:

где s — запись (в выходной фирме) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, решаемых численно функцией dsolve, vars — переменные, г — параметр, задающий пределы решения (например, а. .Ь), и о — необязательные дополнительные опции.

На рис. 13.5 представлен пример решения одиночного дифференциального уравнения с выводом решения у(х) с помощью функции odeplot .

В этом примере решается дифференциальное уравнение:

при у(0) = 2 и x, меняющемся от-5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной diff . Результатом построения является график решения у(х).

В другом примере (рис. 13.6) представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь с помощью функции odeplot строятся графики двух функций. —у(х) и z(x).

В этом примере решается система:

при начальных условиях y(0)=0, z(0) = 1 их, меняющемся от -4 до 4 при числе точек решения, равном 25.

Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета — при этом по осям графика откладываются значения у(х) и z(х) при изменении х в определенных пределах. Рисунок 13.7 демонстрирует построение фазового портрета для системы, представленной выше.

Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения. Однако для специалистов (например, в теории колебаний) фазовый портрет порою дает больше информации, чем обычное решение. Он более трудоемок; для построения, поэтому возможность Марle 7 быстро строить фазовые портреты трудно переоценить.

Рис. 13.5. Пример решения одиночного дифференциального уравнения

Рис. 13.6. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений

Рис. 13.7. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета

Функция DEplot из пакета DEtools

Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools . В него входит ряд функций для построения наиболее сложных и изысканных графиков решения дифференциальных уравнений. Основной из этих функций является функция DEplot . Функция DEplot может записываться в нескольких формах:

DEplot(deqns, vars. trange. eqns)

DEplot(deqns, vans, trange. inits. eqns)

DEplot(deqns. vars. trange, уrange, xrgnge, eqns) .

DEplot(deqns. vars, trange. Inits, xrange. yrange, eqns)

Здесь deqns — список или множество, содержащее систему дифференциальных уравнений первого порядка или одиночное уравнение любого порядка; vars — зависимая переменная или список либо множество зависимых переменных; trange — область изменения независимой переменной t; Inits — начальные условия для решения; yrange — область изменения для первой зависимой переменной, xrange — область изменения для второй зависимой переменной; eqns — опция, записываемая в виде keyword-value. Замена имен переменных другими в данном случае недопустима.

Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной t и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем — только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге—Кутта 4-го порядка, что соответствует опции methodiclassical[rk4]. С функцией DEplot могут использоваться следующие параметры:

arrows = type — тип стрелки векторного поля (‘SMALL’, ‘MEDIUM’, ‘LARGE’, ‘LINE’
или ‘NONE’);
colour, color = arrowcolour — цвет стрелок (задается 7 способами);
dirgrid = [integer,integer] — число линий сетки (по умолчанию [20, 20]);
iterations = integer — количество итераций, представленное целым числом;
linесоlor, linecolor = lineinfo — цвет линии (задается 5 способами);
method=’rk4 ‘ — задает метод решения (‘euler’, ‘backeuler’, ‘impeuler’ или ‘rk4’);
obsrange = TRUE.FALSE — задает (при TRUE ) прерывание вычислений, если кривая решения выходит из области обзора;
scene = [name.name] — задает имена зависимых переменных, для которых строится график;
stepsize = h — шаг решения, по умолчанию равный abs((b-a))/20 и представленный вещественным значением.

На рис. 13.8 показано решение системы диффкренциальных уравнений

описывающих модель Лотки—Вольтерра при заданных в документе изменениях t, x(t) и y(t). Решение представлено в виде векторного поля стрелки которого являются касательными к кривым решения (сами эти кривые не строятся). Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля, делающую решение особенно наглядным (правда, лишь на экране цветного дисплея, а не на страницах книги).

Рис. 13.8. Решение системы дифференциальных уравнений Лотки—Вольтерра , с выводом в виде графика векторного поля

Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 13.9. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий:

x(0) = y(0) = 1,2 и x(0) = 1 и у(0)=0,7.

Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения.

Рис. 13.9. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля

Функция DEplotSd из пакета DEtools

В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция DEplot3d :

DEplot3d(deqns, vars, trarige, initset, о)

DEplot3d(deqns, vars, trang, yrange, xrange, initset, o)

Назначение параметров этой функции аналогично указанному для функции DEplot .

Рисунок 13.10 поясняет применение функции DEPlqt3d для решения системы из двух дифференциальных уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости x(t), y(t). В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков/линий равной высоты.

Другой пример (рис. 13.11) показывает решение системы из двух дифференциальных уравнений с построением объемного фазового портрета. В этом случае используется трехмерная координатная система и графические построения соответствуют параметрическим зависимостям x(t), y(t) и z(t). Вид фазового портрета напоминает разворачивающуюся в пространстве объемную, спираль.

Функциональная окраска делает график пикантным.

Рис. 13.10. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с помощью функции DEptot3d

Возможности функции DEplot3d позволяют решать системы, состоящие более чем из двух дифференциальных уравнений. Однако в этом случае число решений, представляемых графически, выходит за пределы возможного для трехмерной графики. При этом от пользователя зависит, какие из зависимостей опускаются при построении, а какие строятся.

Функция PDEplot пакета DEtools

Еще одна функция пакета DEtools — DEtools[PDEp1ot] — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных.

Эта функция используется в следующем виде:

PDEplotCpdiffeq, van, i_curve, srange, о)

PDEplot(pdiffeq, var, i_curve. srange, xrange, yrange, urange, o)

Рис. 13.11. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с построением трехмерного фазового портрета

Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следующие: pdiffeq — квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка ( PDE), vans — независимая переменная и i_curve — начальные условия для параметрических кривых трехмерной поверхности. Помимо опций, указанных для функции DEplot , здесь могут использоваться следующие опции:

basechar = TRUE, FALSE. ONLY — устанавливает показ базовых характеристик кривых;
basecolor, basecolor = b_color — устанавливает цвет базовых характеристик;
initcolor, initcolor =i_color — инициализация цветов;
numchar = integer — задает число отрезков кривых, которое не должно быть меньше 4 (по умолчанию 20);
numsteps = [integerl.integerZ] — задает число шагов интегрирования (по умолчанию [10, 10]).

Рисунок 13.12 демонстрирует применение функции PDEplot . Этот пример показывает, насколько необычным может быть решение даже простой системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Рис. 13.12. Пример применения функции PDEplot

В данном случае решение представлено трехмерной фигурой весьма нерегулярного вида.

Другой пример использования функции PDEplot показан на рис. 13.13. Он иллюстрирует комбинированное построение графиков решения разного типа с применением функциональной закраски, реализуемой по заданной формуле с помощью опции initcolor .

Еще раз отметим, что, к сожалению, рисунки в данной книге не дают представления о цвете выводимого Maple графика. Поэтому наглядность решений, видимых на экране монитора, существенно выше.

Графическая функция dfieldplot

Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно, что демонстрирует рис. 13.14, на котором показан пример решения следующей системы дифференциальных уравнений:

Рис. 13.13. Построение комбинированного графика с помощью функции PDEplot

Обратите внимание на использование опций в этом примере, в частности на вывод надписи на русском языке. В целом список параметров функции phaseportrait аналогичен таковому для функции DEplot (отсутствует лишь задание начальных условий).

Графическая функция phaseportrait

Графическая функция phaseportrait служит для построения фазовых портретов по результатам решения одного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений deqns . Она задается в следующем виде:

При задании уравнений достаточно указать их правые части. На рис. 13.15 представлен пример применения функции phaseportrait для решения системы из трех дифференциальных уравнений первого порядка.

В этом примере система дифференциальных уравнений задана с помощью оператора дифференцирования D. Функциональная окраска линии фазового портрета достигается использованием параметра linecolor, в правой части которого задана формула для цвета.

Рис. 13.14. Построение фазового портрета в виде графика векторного поля

Рис. 13.15. Построение фазового портрета с помощью функции phaserportrait

Еще более интересный пример решения дифференциального уравнения представлен на рис. 13.16. Здесь построены фазовые портреты для асимптотических решений.

В целом надо отметить, что возможности визуализации решений дифференциальных уравнений с помощью системы Maple 7 весьма велики и приведенные выше примеры лишь частично иллюстрируют сказанное. В справочной системе можно найти ряд других весьма эффектных решений систем дифференциальных уравнений с визуализацией последних. ,

Рис. 13.16. Построение асимптотического решения на фоне графика векторного поля

Углубленный анализ дифференциальных уравнений

Задачи углубленного анализа ДУ

Maple 7 существенно доработана по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка прежде всего направлена на получение верных решений как можно большего числа ДУ разных классов и систем с ДУ.

В частности, расширен круг нелинейных дифференциальных уравнений, для которых Maple7способна дать аналитические решения.

Весь арсенал средств решения ДУ-и методика их применения вполне заслуживают отражения в отдельной большой книге. Мы ограничимся описанием только трех средств системы Maple 7 — проверки ДУ на автономность, углубленным анализом решения с помощью контроля уровня выхода и получением приближенного полиномиального аналитического решения. Более подробное знакомство с новыми возможностями решения дифференциальных уравнений можно получить из соответствующей статьи справки symbolics в разделе What is new.

Проверка ДУ на автономность

Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений называются автономными, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной. Для автономных дифференциальных уравнений или систем при построении графиков решений функцией DEplot не обязательно задавать начальные условия, но нужно указывать диапазон изменения искомых переменных.

Для проверки уравнений (или систем) на автономность используется функция:

где des — заданное дифференциальное уравнение или (в виде списка) система дифференциальных уравнений, vars — зависимые переменные; ivar — независимая переменная. Если система автономна, то эта функция возвращает true , в противном случае false .

В первом случае система дифференциальных уравнений (модель. Лотки-Воль-терра) автономна, а во втором случае дифференциальное уравнение не автономно.

Контроль уровня вывода решения ДУ

Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью системной переменной infilevel(dsolve)=level. Значение level =all дает обычный вывод решения без Комментариев, уровень 1 зарезервирован для информации, которую может сообщить пользователь, уровень 2 или 3 дает более детальный вывод (включая сообщения об использованном алгоритме и технике решения) и, наконец, уровни 4 и 5 дают наиболее детальную информацию (если тиковая есть в дополнение к той информации, которую дает уровень 2 или 3).

Приведем пример .аналитического решения ДУ третьего порядка с контролем уровня вывода решения:

В данном случае повышение уровня вывода до 4 или 5 бесполезно, поскольку вся информация о решении сообщается уже при уровне 2 (или 3).

Приближенное полиномиальное решение ДУ

Во многих случаях аналитические решения даже простых ДУ оказываются весьма сложными, например содержат специальные математические функции. При этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением. Наиболее распространенным приближенным решением в этом случае может быть полиномиальное решение, то есть замена реального решения полиномом той или иной степени. При этом порядок полинома задается значением системной переменной Order , а для получения такого решения функция dsolve должна иметь параметр series .

На рис. 13.17 представлено решение ДУ третьего порядка различными методами: точное аналитическое и приближенное в виде полинома с максимальным заданным порядком 10 и 60. График дает сравнение этих решений для зависимости y(t).

Дадим небольшой комментарий. Нетрудно заметить, что точное аналитическое решение весьма сложно и содержит специальные функции Бесселя и гамма- функции. При порядке полинома 8 (он несколько меньше заданного максимального) решение практически совпадает с точным до значений t < 2, а при максимальном заданном порядке 60 область совпадения расширяется до значений t < 5,5. Затем приближенное решение резко отходит от точного.

Этот пример, с одной стороны, иллюстрирует хорошо известный факт — быстрое нарастание погрешности полиномиального приближения за пределами области хорошего совпадения решений. С другой стороны, он показывает, что степень полинома более 60 (и даже выше) вовсе не так уж бесполезна, как это утверждается во многих статьях и книгах по полиномиальному приближению. Точность полиномиальных вычислений Maple 7 достаточно высока, чтобы обеспечить получение приближенных полиномиальных выражений со степенью порядка десятков и иногда даже сотен. Другое дело, что столь «длинный» полином не всегда удобен для аналитических расчетов, даже несмотря на его структурную простоту.

Рис. 13.17. Примеры решения ДУ третьего порядка

Что нового мы узнали?

В этим уроке мы научились:

Использовать основную функцию решения дифференциальных уравнений dsolve .
Решать дифференциальные уравнения первого порядка. О Решать дифференциальные уравнения второго порядка.
Решать системы дифференциальных уравнений, .
Выполнять численное решение дифференциальных уравнений.
Решать дифференциальные уравнения с кусочными функциями.
Использовать структуру неявного представления дифференциальных уравнений DESol
Применять инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools
Осуществлять графическое представление решений дифференциальных уравнений.
Осуществлять углубленный анализ аналитических решений дифференциальных уравнений.

Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Голанова Анна Викторовна, Голикова Екатерина Ивановна

В статье представлен алгоритм решения геометрических задач , приводящих к дифференциальным уравнениям первого порядка, и рассмотрена его реализация в системе Maple.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE SYSTEM OF COMPUTER MATHEMATICS MAPLE TO SOLVE PROBLEMS OF DIFFERENTIAL GEOMETRY

The article presents an algorithm for solving geometric problems leading to differential equations of the first order, and its realization in Maple system.

Текст научной работы на тему «Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии»

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Голанова Анна Викторовна

канд. пед. наук, доцент кафедры информатики и вычислительной математики

Ленинградского государственного университета имени А.С. Пушкина, РФ,

г. Пушкин E-mail: golanova @yandex.ru Голикова Екатерина Ивановна канд. пед. наук, доцент кафедры информатики и вычислительной математики

Ленинградского государственного университета имени А. С. Пушкина, РФ,

E-mail: golikova kat@inbox.ru

THE SYSTEM OF COMPUTER MATHEMATICS MAPLE TO SOLVE PROBLEMS OF DIFFERENTIAL GEOMETRY

candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University, Russia, Pushkin

В статье представлен алгоритм решения геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям первого порядка, и рассмотрена его реализация в системе Maple.

The article presents an algorithm for solving geometric problems leading to differential equations of the first order, and its realization in Maple system.

Ключевые слова: компьютерное моделирование; дифференциальное уравнение, геометрическая задача

Keywords: computer simulation; differential equation, geometric problem.

В компьютерном моделировании дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование какого-либо реального явления или процесса часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами

законы, которым подчиняется то или иное явление или процесс, записывают в виде дифференциальных уравнений.

В курсе «Компьютерное моделирование» для бакалавров по направлению 050100.62 «Педагогическое образование» рассматриваются геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка [1].

Выделим основные типы таких задач (по [2, с. 158—161]):

1. задачи, приводящие к решению уравнений с разделяющимися переменными (например, найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания);

2. задачи, приводящие к решению однородных уравнений (например, найти кривые, у которых поднормаль равна разности между модулем радиус-вектора кривой и абсциссой точки касания);

3. задачи, приводящие к решению линейных уравнений (например, найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3 а2);

4. задачи, приводящие к решению уравнений, не разрешённых относительно производной (например, найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2);

5. задачи, приводящие к уравнениям, допускающим понижение порядка (например, найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинуса угла между касательной и осью абсцисс).

Рассмотрим алгоритм решения геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям первого порядка:

1. построить чертёж в декартовых или полярных координатах;

2. обозначить искомую кривую через у = у(х) (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через три величины: х, у, у;

3. воспользоваться данным в условии задачи соотношением, которое позволяет получить дифференциальное уравнение;

4. решить полученное уравнение и найти искомую функцию y(x).

Для составления дифференциального уравнения необходимо знать некоторые простейшие результаты по теории плоских кривых из дифференциальной геометрии, а именно:

1. способы задания кривых: в декартовых координатах, в параметрическом виде, в полярных координатах;

2. положительное направление кривой;

3. уравнение касательной, уравнение нормали, положительное направление касательной, положительное направление нормали;

4. подкасательная кривой, поднормаль кривой;

5. длина дуги кривой;

6. радиус кривизны кривой, радиус-вектор.

Для решения полученного дифференциального уравнения можно использовать системы компьютерной математики (например, Mathcad, Maple) и онлайн калькуляторы.

В качестве примера приведём решение следующей геометрической задачи: найдите уравнение кривой, проходящей через точку (1,2) и обладающей тем свойством, что отношение ординаты любой её точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k = 3 [1, c. 114, № 368].

При решении задачи будем использовать описанный выше алгоритм.

1. Построим чертёж к задаче в декартовых координатах (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрация задачи

2. Обозначим искомую кривую через y=y(x).

3. Составим дифференциальное уравнение, воспользовавшись условием задачи.

Отношение ординаты любой точки к абсциссе пропорционально коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, т. е.

Коэффициент пропорциональности равен 3, отсюда: x . Так как кривая проходит через точку (1,2), то начальное условие задачи Коши: y(1) = 2.

4. Найдём аналитическое решение получившегося дифференциального уравнения в системе Maple.

Подключим пакет DETools для решения дифференциального уравнения и зададим само уравнение:

with(DETools): d := y(x)/x = 3*(diff(y(x), x)):

Воспользуемся функцией dsolve для нахождения общего решения: dsolve(d, y(x)); В результате получим: y(x) = _C1 x1/3;

Найдём частное решение дифференциального уравнения, воспользовавшись начальным условием y(1) = 2. dsolve(, y(x)); В результате получим: y(x) = 2 x1/3;

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид: y(x) = . Отметим, что система Maple позволяет решить дифференциальное уравнение не только аналитически, но и численно. Для этого воспользуемся функцией dsolve, но с дополнительными параметрами, например:

dsol:=dsolve(d1, type = numeric, method = classical[foreuler], output = array([1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2])),

где d1 — задача Коши, type — параметр, указывающий на то, что решение будет численным, method — выбранный численный метод решения, output -массив выводимых значений.

В Maple реализованы следующие численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Рунге-Кутта-Фельберга 4—5-ого порядка (rkf45); классический метод Рунге-Кута 4-ого порядка (classical[rk4]); прямой метод Эйлера (classical[foreuler]); усовершенствованный метод Эйлера (classical[heunform]); модифицированный метод Эйлера (classical[impoly]); метод Рунге-Кутта 7—8 порядка (dverk78); одношаговый (gear) и многошаговый методы Гира (mgear).

Существует возможность построения графиков аналитического и численного решений.

Для построения графика аналитического решения воспользуемся функцией plot из пакета plots, например:

plot(2*xA(1/3), x = 1 .. 2, style = point, color = yellow),

где: 2*xA(1/3) — найденное аналитическое решение, x — интервал построения,

style — стиль графика, color — цвет графика.

Для построения графика численного решения воспользуемся функцией odeplot из пакета DETools, например:

odeplot(dsol, [x, y(x), color = red, style = POINT], 1 .. 2),

где: dsol — найденное численное решение, x, y(x), color, style — параметры графика, 1..2 — интервал построения.

pi := odeplot( dsol, [x, y(x), style = point color = blue, symbol — circle, symbolsize = 15 ], 1 ..2):

p2 plot(2- x1 x = 1 .2,, color = black thickness = 1): display (p2, pi):

2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2

1 1.2 1.4 1 £ 1.8 2

Рисунок 2. Графики аналитического и численного решений дифференциального уравнения

Таким образом, использование системы Maple при решении данной геометрической задачи позволяет не только найти аналитическое и численное решение, но и визуализировать его. Возможность построения графиков аналитического и численного решения в одной плоскости даёт возможность оценить ошибку найденного численного решения.

1. Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П.; Под ред. Ю.С. Арутюнова. М.: Высш. школа, 1983. — 128 с.

2. Голанова А.В., Голикова Е.И. К вопросу об отборе содержания лабораторных работ по дисциплине «Компьютерное моделирование» для бакалавров по направлению «Педагогическое образование». // XVIII Царскосельские чтения: материалы междунар. науч. конф. СПб: ЛГУ им. А.С. Пушкина, — 2014. — Т. III. — С. 130—134.

3. Зайцев В.Ф., Петрушенко А.А., Швецкий М.В. Дифференциальные уравнения (структурная теория). Практикум. Часть 1. Учебное пособие для студентов математического факультета. СПб.: Интерлайн, 2008. — 596 с.

Как в maple решить дифференциальное уравнение