Как определить координату точки на графике в mathcad

Как отметить точку на графике?

Как на 3D-графике поставить точку
Подскажите как на 3д графике поставить точку

Как поставить точку на простом графике?
Сделал через матрицы график. Как поставить на изгибах точки?(через tracers или ещё может как).

MathCAD. Как поставить на графике функции точку
Подскажите пожалуйста возможно ли в mathcad поставить на графике функций точку,если да то как?

6755 / 4830 / 2034
Регистрация: 02.02.2014
Сообщений: 12,922

Сообщение было отмечено NWO как решение

Решение

например так
Кликните здесь для просмотра всего текста
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Построить график касательной и нормали к кривой в произвольно заданной точке; эту точку отметить на графике
Подскажите пожалуйста где ошибка Построить график касательной и нормали к кривой в произвольно.

Как в charte на графике отметить несколько точек
Добрый всем вечер! Подскажите пожалуйста, как в charte на графике отметить несколько точек.

Как на 2D-графике отметить точки и соединить их по две?
Добрый день. Как на 2D-графике отметить точки и соединить их по две? Точки отметить, к примеру.

Как отметить точку в Chart
Я делаю программу поиска экстремумов функции и в результате я должен получить график функции и.

Точки пересечения графика функции с осями координат

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции \(y = f(x)\) является множеством точек \((x; y)\) , координаты которых связаны соотношением \(y = f(x).\)

Равенство \(y = f(x)\) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения \(x_1\) и \(x_2\) и найти \(f(x_1)\) и \((x_2)\) . Далее действия необходимо повторить с функцией \(g(x)\) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда \(k_1 \neq k_2\) . В противном случае \(k_1=k_2\) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При \( k_1 \neq k_2\) и \(m_1=m_2\) точка пересечения будет соответствовать \(M(0;m)\) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Имеются функции: \(f(x) = 2x-5\)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в \(f(x)\) , либо в \(g(x)\) :

\(f(8) = 2\cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11\)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Записаны две функции: \(f(x)=2x-1\)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: \(f(x)=x^2-2x+1\)

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить \(x = 0\) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

\(f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1\)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

• раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
• перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
• математические преобразования;
• определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

• разложение на множители;
• выделение полного квадрата;
• поиск дискриминанта;
• теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д

Квадратные уравнения решают таким образом:

• выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
• выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
• проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Примечание

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

• понижение степени, то есть разложение на множители;
• замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

• выполнение математических преобразований;
• выражение переменной через другую;
• решение квадратного или линейного уравнения;
• подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
• вычисление искомых корней;
• проверка;
• исключение ложных решений;
• запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Решение будет иметь следующий вид:

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

• система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
• решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
• система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

Решение имеет следующий вид:

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Далее необходимо построить график функции:

График будет являться ломанной:

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

\(y1=y2 \ или \ k1x+b1=k2x+b2\)

После преобразований получится, что:

Далее нужно выразить x:

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В данном случае при х=0 \((y=a*0+b)\) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть \(y=f(x)=0\) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение \(f(x)=0\) . В случае линейной функции получаем уравнение \(ax+b=0\) , откуда и находим \(x=-b/a\) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке \((-b/a,0).\)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение \(f(x)=0\) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, \(y=sin(x)\) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Насколько полезной была для вас статья?

вопрос по графику в эксель

Правой кнопкой на графике — потом ищем «добавить линию тренда». Это аппроксимирующая линия. Подбираем такую, которая максимально хорошо ложится на график (зависит от вида графика и места где вам надо найти вторую координату) . Находим и ставим галочку «показывать уравнение на диаграмме» в меню настройки линии тренда. (правой кнопкой на появившейся на графике новой линии) . Подставляем в уравнение известную координату и вычисляем неизвестную. Все.

LucAМастер (1321) 12 лет назад

Я пробовала так.. Ни один график точно не ложится на мой. Ну, если не найду лучшего варианта, напишу 2 ответа — один на глаз, а другой с линией тренда)

Василий ПупкинПрофи (982) 12 лет назад

Можно ещё добавить дополнительную точку в график (с одной известной координатой, другой примерно той которую вы ищете — все равно ведь значение вы примерно представляете). Эта точка будет сильно выбиваться из графика, её будет видно. Вручную двигаем точку до тех пор, пока она не ляжет точно на исходную линию, смотрим полученную координату.
Вариант ещё с линией тренда — попробуйте максимально сузить график (убрать некоторые точки) именно в той области где вам неизвестна координата — может так линия тренда ляжет ближе.

Как решать системы дифференциальных уравнений в mathcad

Решение дифференциальных уравнений и систем в прикладной программе Mathcad.

Mathcad имеет ряд встроенных функций для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате решения получается матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором множестве точек (на некоторой сетке значений).

Каждая из встроенных функций, предназначенных для решения ОДУ, требует, чтобы было задано следующее:

множество точек, в которых необходимо найти решение;

cамо дифференциальное уравнение;

Наиболее употребляемой для решения ОДУ является функция rkfixed, которая использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения получается матрица, имеющая два столбца. Первый столбец – точки, в которых ищется решение ОДУ. Второй – это столбец значений найденного решения в соответствующих точках. Функция rkfixed (y, x1, x2, npoints, D) имеет следующие аргументы:

у – вектор начальных условий размерности n, где n – порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе. Для уравнения первого порядка этот вектор вырождается в точку.

x₁, х₂ – граничные точки интервала, на котором ищется решение.

Npoints – число точек (не считая начальной), в которых ищется приближенное решение. Число строк в возвращаемой матрице решения определяется как (1+npoints).

D(x, y) – функция, которая возвращает значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Рассмотрим на примере, как решаются дифференциальные уравнения первого порядка.

Пример. Решить уравнениеу¢ = 2у/x + х с начальным условиему(1) = 0 на отрезке[1; 1,5]

Для решения дифференциального уравнения первого порядка

У₀: = 0 – задание начального значения

D(x, y): = – определить функцию, задающую производную

z:= rkfixed (y,1,1.5,50,D). – находится решение в 50 точках отрезка [1, 1,5]

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Для решения дифференциального уравнения второго порядка необходимо задать:

вектор начальных условий состоит из двух элементов: значений функции и ее первой производной в начальной точке интеграла.

функция D(х, у) – вектор с двумя элементами:

D(x, y) =

Матрица решения содержит три столбца: первый значения х, в которых ищется решение, второй – у(х) и третий – у¢(x)

Пример. Решить дифференциальное уравнение второго порядка со следующими начальными условиямиу(0) = 1, у¢(0) = 3 на отрезке [0; 0,5].

Системы дифференциальных уравнений.

Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка необходимо:

определить вектор, содержащий начальные значения для каждой неизвестной функции;

определить функцию, которая возвращает значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные каждой из неизвестных функций;

выбрать точки для поиска приближенного решения.

задать функцию rkfixed.

Функция вернет матрицу, первый столбец которой – значения аргумента, а остальные столбцы содержат значения найденных приближенных решений в соответствующих точках.

Решить систему двух ОДУ

с начальным условиями х₀(0) = 0, х_i(0) = 1

Примечание. Mathcad имеет ещё две встроенные функции для решения задачи Коши. Это функции Rkadapt и Bulstoer. Эти функции имеют те же самые аргументы и возвращают решения в такой же форме, что и функция rkfixed. Первая из этих функций использует метод Рунге-Кутты с переменным шагом, что позволяет повысить точность вычислений и сократить их объём, если искомое решение имеет области, где её значения меняются быстро и области плавного изменения. Функция Rkadapt будет варьировать величину шага в зависимости от скорости изменения решения.

Функция Bulstoer реализует иной численный метод – Метод Булирша-Штёра. Её следует применять, если известно, что решение является гладкой функцией.

Решение краевой задачи для дифференциального уравнения.

Пусть имеется дифференциальное уравнение второго порядка

.

Решение уравнения требуется найти на интервале [0; 1], причём известно, что у(0)=у₀, у(1)=у₁. Понятно, что произвольный интервал [a, b] заменой переменных может быть сведен к единичному.

Для решения краевой задачи обычно применяют метод стрельб, позволяющий свести решение краевой задачи к задаче Коши. Пусть k некоторый параметр, такой что y(0)=k. Для некоторого пробного значения k может быть решена задача Коши, например, методом Рунге-Кутты. Мы хотим найти такое значение параметра, чтобы выполнялось условие y(1,k)=y₁. Фактически мы свели исходную задачу к задаче решения трансцендентного уравнения с таблично заданной функцией. Если найдены такие значения параметра k₁ и k₂, что y(1,k₁)>y₁ и y(1,k₂)1, то дальнейшее уточнение значения параметра можно проводить методом деления отрезка пополам.

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения при условияхи.

При значениях параметров _.

Для решения краевой задачи имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельб и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры:

v– вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий,

x_min, x_max – границы интервала, на котором ищется решение,

D(x,y) – вектор–функция, содержащий правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения

load(xmin,v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления

score(xmax,y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному.

Наша задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Поэтому функция D имеет вид

Задаем граничные условия:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных условия. Нам известно только одно. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента. Несмотря на это, индекс о должен быть обязательно указан, чтобы подчеркнуть векторный характер этой величины:

На левой границе интервала нам известно значение и задано начальное приближение для. Это значение записано в. Задаем вектор-функциюload. Ее нулевой элемент – начальное значение для , первый – для.

Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться, например, функцией rkfixed

Решение системы дифференциальных уравнений в маткаде

Решение системы дифференциальных уравнений в Маткаде
Здравстуйте, столкнулся с проблемой при решении системы диф уравнений. Пытался решить через.

Ошибка при решении системы дифференциальных уравнений в маткаде
Здравствуйте, необходимо решить систему из двух дифференциальных уравнений. Аргумент является.

Решение системы уравнений в маткаде
Всем привет ! Пытаюсь решить систему уравнений L12=Xb12+Yb12+(Za1-Zb1)2.

Решение системы дифференциальных уравнений
Помогите пожалуйста,во вторник надо сдать,ничего не получается(суть в том, чтобы найти значения x.

Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad

Задание 1: Найтичисленноерешение ОДУ, используя функцию Odesolve(x,b,[step]). Выполнить графическую интерпретацию результатов.

а) при начальных условиях y(0)=1 и у’(0)=3,

б) при начальных условиях y(0)=0 и у’(0)=0,

Задание 2: Найтичисленноерешение дифференциального уравнения первого порядка, используя функцию rkfixed. Выполнить графическую интерпретацию результатов.

а) на интервале от 0.2 до 5 в 1000 точках, при начальном условии y(0)=0.1;

б) на интервале от 0 до 5 в 100 точках, при начальном условии y(0)=1.

Задания 3: Найтичисленноерешение ОДУ второго порядка, используя функции rkfixed, Rkadapt и Bulstoer. Выполнить графическую интерпретацию результатов.

а) при начальных условиях y(0)=0 и у’(0)=1;

б) при начальных условиях y(0)=0 и у’(0)=0.5;

в) при начальных условиях y(0)=3 и у’(0)=1.

Задания 4: Найтирешение системы дифференциальных уравнений. Выполнить графическую интерпретацию результатов.

на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x(0)=0.1 и y(0)=1.

Экономическая задача: Функционирование двухканальной системы массового обслуживания с отказами описывается следующей системой ОДУ:

где р₀(t) – вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии, свободном от обслуживания заявок;

р₁(t) – вероятность того, что системы в момент времени t обслуживает 1 заявку;

р₂(t) — вероятность того, что системы в момент времени t обслуживает 2 заявки и очередной заявке будет отказано в обслуживании;

а – интенсивность потока заявок, час -1 ;

m – интенсивность обслуживания заявки, час -1 .

Необходимо определить вероятность того, что в произвольный момент времени t заявка будет принята на обслуживание, если а=2, m=3. Просчитать вероятность в момент времени t=1.5 часа.

Указания: следует решить систему ОДУ с заданными параметрами (а и m ввести заранее), в качестве начальных условий задать р₀(0)=1, р₁(0)=р₂(0)=0. Вероятность, что заявка будет принята на обслуживание в произвольный момент времени t равна: р(t)= р₁(t)+р₂(t).

Индивидуальные задания

1. а) Решить ОДУ xy¢ + sin x × y¢ + 7x 2 = 0, при x = 0 y = 4, y¢ =1. б) Решить систему ОДУ при t=0 х1=1, х2=0, х3=1	2. а) Решить ОДУ y’’+(x 2 -9)siny’+(x 2 -3x+2)y=0 при х=0 у=1, у’=0.5 б) Решить систему ОДУ при начальных условиях m(0)=0,1 и n(0)=0
3. а) Решить ОДУ при х=0 у=1, у’=2 б) Решить систему ОДУ при t=0 у1=-3, у2=-1, у3=1	4. а) Решить ОДУ при х=0 у=0, у’=1 б) Решить систему ОДУ при k=-0.2 При начальных условиях х1(0)=0 и х2(0)=1. Построить график зависимости х1 от х2.
5. а) Решить ОДУ y’’+6xy’+(-9x 2 -4x+11)y=0 при х=0 у=1, у’=0 б) Решить систему ОДУ при начальных условиях m(0)=0,1 и n(0)=0	6. а) Решить ОДУ cosxy”+xy’+e x =0 при х=0 у=1, у’=1 б) Решить систему ОДУ при начальных условиях m(0)=0,1 и n(0)=0
7. а) Решить ОДУ y’’+xy’+e x -1 =0 при х=0 у=1, у’=1 б) Решить систему ОДУ при начальных условиях x(0)=0,1, y(0)=0 и z(0)=0	8. а) Решить ОДУ при х=0 у=1, у’=0 б) Решить систему ОДУ при начальных условиях y(0)=0,1 и z(0)=0

Вопросы к защите:

1. Какие функции имеются в пакете MathCad для решения дифференциальных уравнений и их систем?

2. Какие возможности есть в Mathcad при выборе шага для решения дифференциальных уравнений?

3. Какие есть методы приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений?

4. Чем отличаются методы решения систем обыкновенных дифференциальных

5. Формат стандартной функции Odesolve

6. Формат стандартной функции rkfixed

7. Технология решения дифференциального уравнения первого порядка.

8. Технология решения дифференциального уравнения второго порядка и выше.

9. Технология решения системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение дифференциальных уравнений в MathCAD

Дифференциальные уравнения являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ с помощью MathCAD:

— задачи Коши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения;

— краевые задачи, для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Из дифференциальных уравнений в частных производных есть возможность решать только уравнения с двумя независимыми переменными: одномерные параболические и гиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии, волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения (уравнения Пуассона и Лапласа).

В MathCAD нет универсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть около двадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий и методов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).

Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ)

ОДУ первого порядка.

ОДУ первого порядка называется уравнение

F – известная функция трех переменных;

x – независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

y’ – ее производная.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

График решения y(x) называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Если не заданы начальные условия, таких решений y(x) будет множество. При известных начальных условиях y(x₀)= y₀ решение y(x) будет единственным.

Вычислительный процессор MathCAD может работать только с нормальной формой ОДУ. Нормальная форма ОДУ – это ОДУ, разрешенное относительно производной

ОДУ высших порядков.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F – известная функция n+2 переменных;

x – независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

n – порядок уравнения.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид

Y ( n ) =f(x, y, y’, …, y ( n -1) )

Если не заданы начальные условия, то дифференциальное уравнение n – го порядка имеет бесконечное множество решений, при задании начальных условий y(x₀)= y₀, y’(x₀)= y_0,1, y’’(x₀)= y_0,2, …, y ( n -1) (x₀)= y_0,n-1 решение становится единственным (задача Коши).

Задача Коши для дифференциального уравнения n – го порядка может быть сведена к задаче Коши для нормальной системы n дифференциальных уравнений 1 го порядка, которая в векторной форме имеет вид

Y(x₀) = Y₀ – вектор начальных условий;

Эта система получается в результате следующей замены:

Для численного интегрирования ОДУ в MathCAD имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции. Оба способа обладают одинаковыми возможностями, но при использовании блока решения запись уравнений более привычна и наглядна, однако отдельная функция может быть использована в составе других функций и программ. Рассмотрим оба варианта решения.

Вычислительный блок Given/Odesolve

Ниже приведены два примера для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка с использованием вычислительного блока решения Given/Odesolve.

Вычислительный блок для решения одного ОДУ состоит из трех частей:

— ключевое слово given;

— ОДУ и начальные условия, записанные с помощью логического равенства;

— встроенная функция Odesolve(x, b) относительно независимой переменной x на интервале [a, b]; b – верхняя граница отрезка интегрирования. Допустимо и даже предпочтительнее задание функции Odesolve(a, b, step) с тремя параметрами, где step – внутренний параметр численного метода, определяющий количество шагов; чем больше step, тем с лучшей точностью будет получен результат, но тем больше времени будет затрачено на его поиск.

Функция Odesolve возвращает решение задачи в виде функции. Эта функция не имеет символьного представления и может только вернуть численное значение решения уравнения в любой точке интервала интегрирования.

Функция Odesolve использует для решения дифференциальных уравнений наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем. Если щелчком правой кнопки мыши на блоке формул с функцией Odesolve вызвать контекстное меню, то можно изменить метод вычисления решения, выбрав один из трех вариантов: Fixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования (этот метод используется по умолчанию), Adaptive – также метод Рунге-Кутта, но с переменным шагом, изменяемым в зависимости от скорости изменения функции решения, Stiff – метод, адаптированный для решения жестких уравнений и систем (используется так называемый метод PADAUS).

Альтернативный метод решения ОДУ заключается в использовании одной из встроенных функций: rkfixed, Rkadapt, или Bulstoer. Все они решают задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, но каждая из них использует для этого свой метод. Для простых систем не играет большой роли, какой метод использовать – все равно получите решение достаточно быстро и с высокой точностью. Но для сложных или специфических систем бывает, что некоторые методы вообще не могут дать удовлетворительного решения за приемлемое время. Именно для таких сложных, но не редких случаев в MathCAD и введено несколько различных методов решения систем ДУ.

— rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования. Самый простой и быстрый метод, но далеко не всегда самый точный. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Fixed.

— Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования. Величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения. Данный метод позволяет эффективно находить решения уравнений, в случае если оно содержит как плавные, так и быстро меняющиеся участки. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений – частыми. В результате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для rkfixed. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Adaptive.

— Bulstoer – метод Булирша – Штера. Этот метод более эффективен, чем метод Рунге-Кутта, в случае если решение является плавной функцией.

Имена функций Rkadapt и Bulstoer начинаются с прописной буквы. В MathCAD для некоторых имен функций неважно, с какой буквы они записаны, но для перечисленных функций это принципиально, т.к. в MathCAD также существуют функции с такими же именами, только записанные с маленькой буквы – rkadap, bulstoer. Эти функции используются в тех случаях, когда важным является решение задачи в конечной точке интервала интегрирования.

Выше приведены примеры решения тех же дифференциальных уравнений первого и второго порядка, которые были решены с использованием вычислительного блока Given/Odesolve.

Применение встроенных функций в документах MathCAD выглядит сходным образом, т.е. функции Rkadapt и Bulstoer имеют тот же синтаксис, что и выше приведенная функция rkfixed. Назначение аргументов в этих встроенных функциях следующее:

— y – вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему. В случае одного уравнения и одной неизвестной функции – это просто число.

— а – начало отрезка, на котором ищется решение системы (отрезка интегрирования). Именно в этой точке значения неизвестных функций принимаются равными элементам вектора y.

— b – конец отрезка интегрирования.

— n – количество частей, на которые разбивается отрезок [a, b] при решении системы. Чем больше это число, тем точнее получается решение, но расчет занимает больше времени.

— F(x,y) – векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы в нормальной форме (когда левые части – первые производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют). Аргументами этой функции являются вектор y, элементы которого соответствуют различным неизвестным функциям системы, и скалярный аргумент x , соответствующий независимой переменной в системе. В случае одного уравнения функция F может быть скалярной функцией, зависящей от двух скалярных переменных x и y.

Возвращаемым значением всех вышеперечисленных встроенных функций является матрица. Первый столбец этой матрицы – это точки, на которые разбивается отрезок [a, b], а остальные столбцы – это значения функций системы в этих точках. Если в аргументе функции rkfixed было указано количество частей n = 100, то матрица будет содержать 101 строку вместе с начальной.

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для численного интегрирования систем ОДУ в MathCAD также имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции rkfixed, Rkadapt и Bulstoer.

При решении систем ОДУ MathCAD требует, чтобы система ОДУ была представлена в нормальной форме (когда левые части – первые производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют):

где Y и Y’ – соответствующие неизвестные векторные функции переменной t, а F – вектор правых частей системы уравнений первого порядка. Именно векторное представление используется для ввода системы ОДУ в среде MathCAD.

Если в систему ОДУ входят и уравнения высших порядков, то оно тоже сводится к системе уравнений первого порядка, как было показано выше. При этом количество нулевых условий для вычислительного блока Given/Odesolve, а также размер вектора начальных условий y и размер вектора правых частей F(x,y) для встроенных функций rkfixed, Rkadapt и Bulstoer должны быть равны сумме порядков всех уравнений.

Вначале покажем решение систем ОДУ первого порядка с использованием вычислительного блока Given/Odesolve

Функция Odesolve для системы ОДУ имеет несколько иной, по сравнению с одним уравнением, синтаксис. Теперь она возвращает вектор функций, составляющих решение системы. Поэтому в качестве первого аргумента функции нужно ввести вектор, состоящий из имен функций, использованных при вводе системы. Второй и третий аргументы то же самое, что и в задаче с одним ОДУ.

Решение системы ОДУ показано на графике слева. Как известно, решения ОДУ часто удобнее изображать не в таком виде, а в фазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждой из найденных функций (как показано на рисунке справа). При этом аргумент входит в них лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ такой график – фазовый портрет системы – является кривой на фазовой плоскости. В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N – мерным. При N > 3 наглядность теряется, и для визуализации фазового портрета приходится строить его различные проекции.

Рассмотрим решение этой же системы ОДУ первого порядка с использованием встроенной функции rkfixed.

Полученное решение полностью соответствует вышеприведенному решению с использованием вычислительного блока Given/Odesolve. Следует отметить, что начальные условия здесь задаются в виде вектора y, а функциям x(t) и y(t) соответствуют элементы этого вектора y₁ и y₂. Вектор начальных условий y и вектор правых частей F имеют размер равный двум, т.к. система состоит из двух уравнений первого порядка. Для системы ОДУ, состоящей из двух уравнений второго порядка, размер этих векторов будет равен четырем

Похожие публикации:

1. Как найти на компьютере windows movie maker
2. Как написать arcsin в mathcad
3. Как обновить telegram desktop
4. Как определить координату точки на графике в mathcad