Как построить график функции
С помощью программы Desmos можно построить график одной или нескольких функций. Каждая новая функция вводится с новой строки. Для добавления точек с координатами (x,y) используйте + и вид table . Для добавления одной точки достаточно указать, например, A=(3.5,6.1) .
Чтобы настроить вид координатной сетки (пределы по осям и стрелки) используйте .
Трехмерные графики функции
- График функции онлайн
- График по точкам
- Построение графика в Excel
Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ). Видеоинструкция
Также можно начертить график по точкам. Необходимо вставить данные для X (первый столбец) и Y (второй и последующие столбцы).
- На первом этапе при заданном интервале [a;b] и шаге h рассчитываются значения функции y=f(x) .
- На втором этапе с помощью инструмента Excel Мастер диаграмм строится визуализация рассчитанных значений.
Принципы и способы построения графика функции
- При прямом вычислении значений функции y=f(x) необходимо задать интервал [a;b] вычислений и шаг h . Получается таблица, по которой можно построить график.
Например, определим для функции y=x*e 2x /3+4 интервал [-3;7], на котором будем отображать найденные точки. Чем меньше шаг h , тем точнее график функции (другими словами, тем точнее аппроксимация). Например, при h=2 количество точек для построения равно N=(7-(-3))/2+1=6 (-3; -1; 1; 3; 5; 7), а при h=0.1 уже N=(7-(-3))/0.1+1=101 . - Построение графика функции методом дифференциального исчисления предполагает схематичное построение, используя свойства функции.
Прикладное применение графика функции
Среди задач, в которых необходимо построить график функции можно выделить:
- Построение графика функции методом дифференциального исчисления.
- Приближенное решение алгебраических уравнений.
- Построение тренда.
- Построение уравнения регрессии.
- Построение уравнения касательной к графику функции.
- Построение уравнения нормали к графику функции: .
- Построение плотности и функции распределения дискретной случайной величины.
- Построение плотности и функции распределения непрерывной случайной величины.
- Построение прерывной функции при определении точек разрыва: .
- Площадь фигуры, ограниченной линиями:
Построить пирамиду ABCD по координатам можно здесь.
Построить график функции по уравнению примеры
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Декартова система координат
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .
Прямая
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , функция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Парабола
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
- Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D > 0 – две точки пересечения.
- Если D = 0 – одна точка пересечения.
- Если D 0 – нет точек пересечения.
Гипербола
Графиком функции y = k x является гипербола .
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>
Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Квадратный корень
Функция y = x имеет следующий график:
Возрастающие/убывающие функции
Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.
Построение графиков функций
О чем эта статья:
11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида область определения выглядит так
- х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
- стационарные и критические точки;
- точки экстремума;
- нули функции;
- точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
- Найти область определения функции.
- Найти область допустимых значений функции.
- Проверить не является ли функция четной или нечетной.
- Проверить не является ли функция периодической.
- Найти нули функции.
- Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
- Найти асимптоты графика функции.
- Найти производную функции.
- Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
- На основании проведенного исследования построить график функции.
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции
Упростим формулу функции:
График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 5. Построить график функции
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
Преобразование в одно действие типа
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Как построить график функции
Для задания области (например, 1≤x≤7 ) используйте пределы или >= .
Трехмерные графики функции
Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ).
- График функции онлайн
- График по точкам
- Построение графика в Excel
Чтобы создать трехмерный график достаточно, чтобы в выражении была переменная y (например, y^2-x/3 ).
Чтобы построить трехмерный график в Excel , необходимо указать функцию f(x,y) , пределы по x и y и шаг сетки h .
Принципы и способы построения графика функции
Прикладное применение графика функции
Построить пирамиду ABCD по координатам можно здесь.
Графики в excel по уравнению
Варианты построения графика функции в Microsoft Excel
Вариант 1: График функции X^2
В качестве первого примера для Excel рассмотрим самую популярную функцию F(x)=X^2. График от этой функции в большинстве случаев должен содержать точки, что мы и реализуем при его составлении в будущем, а пока разберем основные составляющие.
-
Создайте строку X, где укажите необходимый диапазон чисел для графика функции.
Ниже сделайте то же самое с Y, но можно обойтись и без ручного вычисления всех значений, к тому же это будет удобно, если они изначально не заданы и их нужно рассчитать.
Растяните функцию, зажав правый нижний угол ячейки, и приведя таблицу в тот вид, который продемонстрирован на следующем скриншоте.
Диапазон данных для построения графика функции указан, а это означает, что можно выделять его и переходить на вкладку «Вставка».
В новом окне перейдите на вкладку «Все диаграммы» и в списке найдите «Точечная».
Подойдет вариант «Точечная с гладкими кривыми и маркерами».
После ее вставки в таблицу обратите внимание, что мы добавили равнозначный диапазон отрицательных и плюсовых значений, чтобы получить примерно стандартное представление параболы.
Из дополнительных возможностей отметим копирование и перенос графика в любой текстовый редактор. Для этого щелкните в нем по пустому месту ПКМ и из контекстного меню выберите «Копировать».
Если график должен быть точечным, но функция не соответствует указанной, составляйте его точно в таком же порядке, формируя требуемые вычисления в таблице, чтобы оптимизировать их и упростить весь процесс работы с данными.
Вариант 2: График функции y=sin(x)
Функций очень много и разобрать их в рамках этой статьи просто невозможно, поэтому в качестве альтернативы предыдущему варианту предлагаем остановиться на еще одном популярном, но сложном — y=sin(x). То есть изначально есть диапазон значений X, затем нужно посчитать синус, чему и будет равняться Y. В этом тоже поможет созданная таблица, из которой потом и построим график функции.
-
Для удобства укажем всю необходимую информацию на листе в Excel. Это будет сама функция sin(x), интервал значений от -1 до 5 и их шаг весом в 0.25.
Создайте сразу два столбца — X и Y, куда будете записывать данные.
Запишите самостоятельно первые два или три значения с указанным шагом.
Далее растяните столбец с X так же, как обычно растягиваете функции, чтобы автоматически не заполнять каждый шаг.
Перейдите к столбцу Y и объявите функцию =SIN( , а в качестве числа укажите первое значение X.
Сама функция автоматически высчитает синус заданного числа.
Растяните столбец точно так же, как это было показано ранее.
Если чисел после запятой слишком много, уменьшите разрядность, несколько раз нажав по соответствующей кнопке.
Выделите столбец с Y и перейдите на вкладку «Вставка».
Создайте стандартный график, развернув выпадающее меню.
График функции от y=sin(x) успешно построен и отображается правильно. Редактируйте его название и отображаемые шаги для простоты понимания.
Помимо этой статьи, на сайте еще 12683 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.
Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.
Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007
Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.
Цели и задачи урока:
- повторение изученных графиков функций;
- повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
- закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
- формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
- формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
- формирование информационной культуры школьников.
Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.
Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).
Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).
Объявление темы урока.
1. Устная работа (актуализация знаний).
Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):
у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .
Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.
Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х1, х2, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).
Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).
Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).
Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х1, х2, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):
Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).
2. Объяснение нового материала. Практическая работа.
Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).
I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.
Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.
Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.
Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; \найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.
Выполнение задания можно разбить на этапы:
1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):
- в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;
- в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;
- выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).
При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.
После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):
- скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.
2 этап: Построение диаграммы типа График.
- выделить диапазон ячеек B2:V2;
- на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;
- на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;
- на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:
Интервал между делениями: 4;
Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;
Положение оси: по делениям;
Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);
- самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
- на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.
Примерный результат работы приведен на рис. 10:
3 этап: Определение корней уравнения.
График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х1=1; х2=4.
II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.
Пример 2: Решить графическим способом уравнение .
Для этого: в одной системе координат построить графики функций у1= и у2=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.
1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):
2 этап: Построение диаграммы типа График.
Примерный результат работы приведен на Рис. 12:
3 этап: Определение корней уравнения.
Графики функций у1= и у2=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.
III. Метод Подбор параметра.
Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.
Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.
Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.
1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.
Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.
- выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;
- с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.
Все изменения сразу отобразятся на графике.
Примерный результат работы приведен на Рис. 13:
2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.
График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.
По графику приближенно можно определить, что х1≈0,7; х2≈4,3.
3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.
1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.
По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.
- Выделить ячейку Е2;
- перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;
В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.
В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).
Щелкнуть по кнопке ОК.
- В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:
- В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).
Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).
Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х1≈0,6972.
2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х2≈4,3029).
IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).
При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.
3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.
Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.
- ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):
- найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);
- найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).
4. Итог урока.
Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.
Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.
Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).
5. Домашнее задание.
Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.
Как построить график в Excel по уравнению
Как предоставить информацию, чтобы она лучше воспринималась. Используйте графики. Это особенно актуально в аналитике. Рассмотрим, как построить график в Excel по уравнению.
Что это такое
График показывает, как одни величины зависят от других. Информация легче воспринимается. Посмотрите визуально, как отображается динамика изменения данных.
А нужно ли это
Графический способ отображения информации востребован в учебных или научных работах, исследованиях, при создании деловых планов, отчетов, презентаций, формул. Разработчики для построения графиков добавили способы визуального представления: диаграммы, пиктограммы.
Как построить график уравнения регрессии в Excel
Регрессионный анализ — статистический метод исследования. Устанавливает, как независимые величины влияют на зависимую переменную. Редактор предлагает инструменты для такого анализа.
Подготовительные работы
Перед использованием функции активируйте Пакет анализа. Перейдите: 
Выберите раздел: 
Далее: 
Прокрутите окно вниз, выберите: 
Отметьте пункт: 
Открыв раздел «Данные», появится кнопка «Анализ». 
Как пользоваться
Рассмотрим на примере. В таблице указана температура воздуха и число покупателей. Данные выводятся за рабочий день. Как температура влияет на посещаемость. Перейдите: 
Выберите: 
Отобразится окно настроек, где входной интервал:
- Y. Ячейки с данными влияние факторов на которые нужно установить. Это число покупателей. Адрес пропишите вручную или выделите соответствующий столбец;
- Х. Данные, влияние на которые нужно установить. В примере, нужно узнать, как температура влияет на количество покупателей. Поэтому выделяем ячейки в столбце «Температура».
Анализ
Нажав кнопку «ОК», отобразится результат.
Основной показатель — R-квадрат. Обозначает качество. Он равен 0,825 (82,5%). Что это означает? Зависимости, где показатель меньше 0,5 считается плохим. Поэтому в примере это хороший показатель. Y-пересечение. Число покупателей, если другие показатели равны нулю. 62,02 высокий показатель.
Как построить график квадратного уравнения в Excel
График функции имеет вид: y=ax2+bx+c. Рассмотрим диапазон значений: [-4:4].
- Составьте таблицу как на скриншоте;
- В третьей строке указываем коэффициенты и их значения;
- Пятая — диапазон значений;
- В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3;
Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо. 
При вычислении формулы прописывается знак «$». Используется чтобы ссылка была постоянной. Подробнее смотрите в статье: «Как зафиксировать ячейку».
Выделите диапазон значений по ним будем строить график. Перейдите: 
Поместите график в свободное место на листе. 
Как построить график линейного уравнения
Функция имеет вид: y=kx+b. Построим в интервале [-4;4].
- В таблицу прописываем значение постоянных величин. Строка три;
- Строка 5. Вводим диапазон значений;
- Ячейка В6. Прописываем формулу.
Выделите диапазон ячеек A5:J6. Далее: 
График — прямая линия. 
Вывод
Мы рассмотрели, как построить график в Экселе (Excel) по уравнению. Главное — правильно выбрать параметры и диаграмму. Тогда график точно отобразит данные.
Как построить график по уравнению – График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения
График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения
Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.
Алгоритм построения
Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.
1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.
2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.
3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике
4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.
5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.
Пример: Построить график уравнения 3*x – 2*y =6;
Положим х=0, тогда – 2*y =6; y= -3;
Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;
Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.
Нужна помощь в учебе?
Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.
Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т.е. выполним обзор по графикам уравнений.
1. Линейное уравнение с двумя переменными
x, y – в первой степени; a,b,c – конкретные числа.
Графиком этого уравнения является прямая линия.
Мы действовали равносильными преобразованиями – y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.
В данном случае
Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли
Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?
Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки
Значит, решением исходного уравнения является множество пар чисел
У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар – сколько их? Бесчисленное множество.
Это рациональное уравнение,
Найдем y, равносильными преобразованиями получаем
Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.
Пример: Построить график рационального уравнения.
Графиком является парабола, ветви направлены вверх.
Найдем корни уравнения:
Схематически изобразим график (Рис. 2).
С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.
У уравнения бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!
Если мы зададим любое x, то получим точку
Решением исходного уравнения является множество пар
3. Построить график уравнения
Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.
Графиком функции является гипербола, функция не определена при
Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна
Решением исходного уравнения является множество пар
Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.
Например, график функции – тоже гипербола – будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.
4. Уравнение окружности
Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).
Рассмотрим конкретные примеры.
Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:
– получили уравнение окружности с центром в .
Построим график уравнения (Рис. 5).
b. Построить график уравнения
Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.
График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т.е. двух прямых.
Построим его (Рис. 6).
Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет – будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).
Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.
Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.
Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.
Строим график функции, заданный системой уравнений, в MS EXCEL. Примеры и методы
Построим в MS EXCEL график функции, заданный системой уравнений. Эта задача часто встречается в лабораторных работах и почему-то является «камнем преткновения» для многих учащихся.
Пусть дана система уравнений
Требуется на отрезке [-1; 4] построить график функции f(x). Параметры a = 5 и b = 2 необходимо задать в отдельных ячейках.
Решение (1 ряд данных)
Чтобы построить график функции в MS EXCEL можно использовать диаграмму типа График или Точечная.
СОВЕТ: О построении диаграмм см. статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL. О различии диаграмм Точечная и График см. статью График vs Точечная диаграмма в MS EXCEL.
Создадим таблицу с исходными данными для x от -1 до 4, включая граничные значения (см. файл примера, лист Ряд1):
Шаг по х выберем равным 0,2, чтобы график содержал более 20 точек.
Чтобы построить диаграмму типа Точечная:
- выделите любую ячейку таблицы;
- во вкладке Вставка в группе Диаграммы выберите диаграмму Точечная с прямыми отрезками и маркерами.
Чтобы построить диаграмму типа График:
- выделите любую столбец f(x) вместе с заголовком;
- во вкладке Вставка в группе Диаграммы выберите диаграмму График маркерами.
У обеих диаграмм один общий недостаток — обе части графика соединены линией (в диапазоне х от 1 до 1,2). Из этого можно сделать ошибочный вывод, что, например, для х=1,1 значение функции равно около -15. Это, конечно же, не так. Кроме того, обе части графика одного цвета, что не удобно. Поэтому, построим график используя 2 ряда данных.
Решение (2 ряда данных)
Создадим другую таблицу с исходными данными в файле примера, лист График:
Второй и третий столбец таблицы будут использоваться для построения 2-х рядов данных. Первый столбец — для подписей по оси х. Для значений x>1 будет построен второй график (в степени 3/2), для остальных — парабола. Значения #Н/Д (нет данных) использованы для удобства — в качестве исходных данных для ряда можно брать значения из целого столбца. В противном случае пришлось бы указывать диапазоны соответствующих ячеек при построении диаграммы. При изменении шага по х — это вызвало бы необходимость перестроения диаграммы.
У такой диаграммы имеется недостаток — в диапазоне х от 1 до 1,2 на диаграмме теперь нет вообще значений. Чтобы избежать этого недостатка — построим диаграмму типа Точечная с 3-мя рядами данных.
Решение (3 ряда данных)
Для построения графика используем 2 таблицы с данными для каждого уравнения, см. файл примера, лист График.
Первое значение второго графика возьмем чуть больше 1, например, 1,00001, чтобы как можно ближе приблизиться к значению, в котором происходит разрыв двух графиков. Также для точки со значением х=1 построим на диаграмме одну точку (ряд №3), чтобы показать, что для этого х значение второго уравнения не вычисляется (хотя фактически вычисляется).
Применение графиков в решении уравнений
I ) Графическое решение квадратного уравнения:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем его так:x2=-px-q.(1)
Построим графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.
Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.
Представим его в виде x2=3x-7/4.
Построим параболу y=x2 и прямую y=3x-7/4.
Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить уравнение : x2-x+1=0.
Запишем уравнение в виде: x2=x-1.
Построив параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Проверим это. Вычислим дискриминант:
А поэтому уравнение не имеет корней.
3. Решить уравнение: x2-2x+1=0
Если аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).
II ) Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 – окружность, и т.д..
Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.
Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25 (1)
Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим в одной системе координат графи)
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.
III) Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.
Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.
Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)
Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства с модулем.
Решить неравенство |x-1|+|x+1|
На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносиьно линейному неравенству –2х-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2
Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)
II)Неравенства с параметрами.
Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например, неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.
Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.
Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.
Для решения данного неравенства с двумя параметрами aub воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.
Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).
III ) Тригонометрические неравенства:
При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sinx имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sinx>a, sinx>=a,
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.
Пример 1: Решить неравенство sinx>-1/2.(рисунок 10)
Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sinx=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sinx монотонно возрастает. Значит, если –π/2sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.
На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sinx монотонно убывает и уравнение sinx = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7π/6;3π/2] имеем sinx
Графики уравнений. Экологическое воспитание
Дополнительные сочинения
На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.
Тема: Системы уравнений
Урок: Графики уравнений
1. Тема урока, введение
Мы рассматриваем рациональное уравнение вида и системы рациональных уравнений вида
Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.
Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т. е. выполним обзор по графикам уравнений.
2. График линейного уравнения
1. Линейное уравнение с двумя переменными
x, y – в первой степени; a, b,c – конкретные числа.
Графиком этого уравнения является прямая линия.
Мы действовали равносильными преобразованиями – y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т. е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.
В данном случае
Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли
Эта функция возрастает, т. е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?
Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки
Значит, решением исходного уравнения является множество пар чисел
У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар – сколько их? Бесчисленное множество.
3. График рационального уравнения
Это рациональное уравнение,
Найдем y, равносильными преобразованиями получаем
Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.
Пример: Построить график рационального уравнения.
Графиком является парабола, ветви направлены вверх.
Найдем корни уравнения:
Схематически изобразим график (Рис. 2).
С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.
У уравнения бесчисленное множество решений, т. е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!
Если мы зададим любое x, то получим точку
Решением исходного уравнения является множество пар
4. График уравнения – гипербола
3. Построить график уравнения
Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.
Графиком функции является гипербола, функция не определена при
Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна
Решением исходного уравнения является множество пар
Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.
Например, график функции – тоже гипербола – будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.
5. График уравнения окружности
4. Уравнение окружности
Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).
Рассмотрим конкретные примеры.
Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:
– получили уравнение окружности с центром в .
Построим график уравнения (Рис. 5).
b. Построить график уравнения
Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.
График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т. е. двух прямых.
Построим его (Рис. 6).
Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет – будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).
Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т. к. угловой коэффициент положителен.
Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.
6. Вывод
Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.
Список рекомендованной литературы
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College. ru по математике .
2. Интернет-проект «Задачи» .
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .
Рекомендованное домашнее задание
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.